8.5双曲线（练习）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以双曲线定义、方程及性质为核心，通过基础辨析-性质计算-综合应用-真题演练的层级设计，构建从概念到考向的完整复习链，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|定义辨析、方程参数判断|从双曲线定义生成标准方程，明确a,b,c关系| |性质应用|20题|离心率、渐近线、焦点计算|性质推导（离心率e=c/a、渐近线方程）与直接应用| |综合拓展|10题|与椭圆交汇、参数范围、轨迹判断|知识迁移（椭圆与双曲线焦点关系）及综合运算| |真题再现|4题|2022-2026年山东春考真题|对接高考考向，强化应用意识与推理能力|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题八 8.5 双曲线 【考点 双曲线的定义、标准方程及性质】 1.若双曲线标准方程为，则(  ) A. B. C. D. 2.双曲线的为(  ) A. B. C. D. 3.双曲线的顶点坐标是(  ) A. B. C. D. 4.双曲线的焦点所在坐标轴为(  ) A.轴 B.轴 C.直线 D.无法判断 5.到两定点距离之差的绝对值为大于的常数，且该常数小于两定点距离的点的轨迹是(  ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 6.双曲线的渐近线方程是(  ) A. B. C. D. 7.双曲线的离心率为(  ) A.1 B. C. D.2 8.双曲线的实轴长为(  ) A. B. C. D. 9.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且，其方程为(  ) A. B. C. D. 10.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是(  ) A. B. C. D. 11.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于4，则双曲线的标准方程为(  ) A. B. C. D. 12.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数m为(  ) A. B. C. D.1 13.双曲线的离心率为，则(  ) A. B. C.4 D.2 14.点P是双曲线上一点，设，是双曲线的两个焦点，若，则(  ) A.7 B.27 C.7或27 D.9 15.已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，且. (1)求标准方程； (2)写出渐近线方程. 16.双曲线的两个焦点为，求的值. 【考点 双曲线的定义、标准方程及性质】 17.若双曲线方程为，则下列说法正确的是(  ) A.焦点在轴上 B.顶点为 C.顶点为 D.离心率小于 18.“”是“双曲线的焦点在y轴上”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 19.若表示双曲线，则角的终边所在的象限是(  ) A.第一象限或第四象限 B.第二象限或第三象限 C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限 20.以直线为渐近线且过点的双曲线方程为(  ) A. B. C. D. 21.已知椭圆和双曲线焦点相同，则(  ) A.2 B.1 C. D. 22.设，若是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 23.若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是(  ) A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆 24.若双曲线与椭圆共焦点，且双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的方程为(  ) A. B. C. D. 25.双曲线的焦点到渐近线的距离与该双曲线的离心率之和为(  ) A.5 B.6 C. D.8 26.与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程为(  ) A. B. C. D. 27.已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 28.在同一平面直角坐标系中，和的图像可能是(  ) A.   B.C. D  29.对于双曲线和，给出下列四个结论:①离心率相等；②渐近线相同；③没有公共点；④焦距相等，其中正确的结论序号是(  ) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.②④ 30.已知双曲线的离心率是方程的一个根，则该双曲线的渐近线方程是(  ) A. B. C. D. 31.设为实数，则双曲线的焦距为________. 32.设双曲线:，椭圆:的离心率分别为，，若，则________． 33.已知椭圆和双曲线，若椭圆与双曲线的离心率之积为，则该双曲线的渐近线方程是__________. 34.设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，__________________. 35.双曲线的离心率为，则_______. 36.已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点 .求： (1)该双曲线的标准方程； (2)该双曲线的焦点坐标. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知是双曲线的左焦点，过斜率为2的直线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若，则两条渐近线所成夹角的正切值是___________． 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是(  ) A. B. C.2 D.3 3.(2023年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过右焦点F且垂直于x轴的直线，与双曲线在第一象限交于点P，双曲线的右顶点A是OF的中点，若，则该双曲线的实轴长等于(  ) A. B. C. D. 4.(2022年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是(  ) A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题八 8.5 双曲线 【考点 双曲线的定义、标准方程及性质】 1.若双曲线标准方程为，则(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出的值即可得解. 【详解】双曲线标准方程为，则， 故选:. 2.双曲线的为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程即可求解. 【详解】由双曲线得， 所以，解得. 故选:A. 3.双曲线的顶点坐标是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先求解出a的值，再由焦点位置求解顶点坐标即可. 【详解】双曲线中， 焦点位于轴，则顶点坐标为. 故选:C. 4.双曲线的焦点所在坐标轴为(  ) A.轴 B.轴 C.直线 D.无法判断 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程的形式来判断焦点所在的坐标轴即可. 【详解】在双曲线方程中，的系数为正， 所以该双曲线的焦点在轴上. 故选:B. 5.到两定点距离之差的绝对值为大于的常数，且该常数小于两定点距离的点的轨迹是(  ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可得解. 【详解】到两定点距离之差的绝对值为大于0的常数，且该常数小于两定点距离的点的轨迹是双曲线， 故选:. 6.双曲线的渐近线方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由双曲线方程即可求得渐近线方程. 【详解】焦点在轴上的双曲线渐近线为， 由已知可得: 渐近线: 故选:B 7.双曲线的离心率为(  ) A.1 B. C. D.2 【答案】B 【分析】根据双曲线离心率的公式计算. 【详解】在双曲线方程中，可知，， 可得，所以， 所以离心率， 故选:B. 8.双曲线的实轴长为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，求得a的值，继而求解. 【详解】因为双曲线的标准方程是， 所以，解得， 所以双曲线的实轴长为. 故选:A. 9.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且，其方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程的形式求解. 【详解】因为，所以， 因为焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选:D. 10.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 11.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于4，则双曲线的标准方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和性质求出、的值即可． 【详解】因为双曲线的焦点在x轴上， 所以设双曲线的标准方程为， 因为焦距为，所以，则， 因为双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于4， 所以，则， 所以， 故双曲线的标准方程为， 故选:A． 12.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数m为(  ) A. B. C. D.1 【答案】D 【分析】根据椭圆方程确定焦点，再由双曲线的焦点列方程求解即可. 【详解】已知椭圆， 则，其焦点为， 所以双曲线的焦点为， 则，则，解得， 因为为正实数，所以， 故选:D. 13.双曲线的离心率为，则(  ) A. B. C.4 D.2 【答案】C 【分析】由双曲线方程求出，再利用离心率为列方程求解即可. 由双曲线方程可得，焦点在轴上， 则， 所以离心率为， 故选:C. 14.点P是双曲线上一点，设，是双曲线的两个焦点，若，则(  ) A.7 B.27 C.7或27 D.9 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程求出的值，结合双曲线的定义及性质即可得解. 【详解】双曲线，则，， 设为半焦距，则，， ，， 解得或， 因为双曲线上的点到焦点的最小距离为，所以不符合题意， 所以， 故选:. 15.已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，且. (1)求标准方程； (2)写出渐近线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意求得，结合双曲线的标准方程和焦点位置，求解即可. (2)根据双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】(1)双曲线中，， 故， 又双曲线焦点在轴上，方程为. (2)因为双曲线焦点在轴上，且， 其渐近线方程为. 16.双曲线的两个焦点为，求的值. 【答案】 【分析】根据双曲线方程求出值即可得解. 【详解】双曲线， 则，所以，解得， 所以. 【考点 双曲线的定义、标准方程及性质】 17.若双曲线方程为，则下列说法正确的是(  ) A.焦点在轴上 B.顶点为 C.顶点为 D.离心率小于 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程和性质可判断. 【详解】根据双曲线的标准方程和性质可知： 双曲线的焦点和顶点都在轴上，顶点为 ，离心率大于1 . 故选:C 18.“”是“双曲线的焦点在y轴上”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线焦点在轴上的特点即可得解. 【详解】双曲线的焦点在y轴上，则， 所以当时，双曲线的焦点在y轴上，故充分性成立； 当双曲线的焦点在y轴上时，，故必要性不成立， 所以“”是“双曲线的焦点在y轴上”的充分不必要条件. 故选:. 19.若表示双曲线，则角的终边所在的象限是(  ) A.第一象限或第四象限 B.第二象限或第三象限 C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限 【答案】D 【分析】根据题意结合双曲线方程的特点即可得解. 【详解】因为表示双曲线，所以或， 当时，角的终边在第二象限； 当时，角的终边在第四象限， 综上所述，角的终边在第二象限或第四象限， 故选:. 20.以直线为渐近线且过点的双曲线方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由双曲线的渐近线为直线，设该双曲线方程为， 由该双曲线过点，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即. 21.已知椭圆和双曲线焦点相同，则(  ) A.2 B.1 C. D. 【答案】A 【详解】因为椭圆和双曲线焦点相同， 所以，解得. 22.设，若是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意利用焦点在轴上的双曲线方程的特点，列出不等式组，结合象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】是焦点在轴上的双曲线， 则，因为，则， 故选:. 23.若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是(  ) A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆 【答案】C 【分析】由直线图象得出，再根据双曲线的定义判断即可. 【详解】因为直线经过第二、三、四象限， 所以直线斜率，截距 ， 方程，可化为， 所以方程表示的是焦点在轴上的双曲线. 故选:C. 24.若双曲线与椭圆共焦点，且双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据椭圆，双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】由题意得，在椭圆中，，所以， 则椭圆的焦点为和． 因为双曲线的一条渐近线方程是，所以； 又椭圆与双曲线共焦点，则，在双曲线中，， 解得，，则双曲线的方程为． 故选:D． 25.双曲线的焦点到渐近线的距离与该双曲线的离心率之和为(  ) A.5 B.6 C. D.8 【答案】C 【分析】根据双曲线方程求出焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，再求出离心率即可得解. 【详解】双曲线，则，， ，即， 且双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，即， 所以焦点坐标为， 则焦点到渐近线的距离为， 离心率， 所以焦点到渐近线的距离与该双曲线的离心率之和为， 故选:. 26.与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标即可求得. 【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为， 将点代入，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即， 故选:A. 27.已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先根据焦点在轴上的双曲线标准方程写出渐近线方程，代入已知点坐标得到与的比值，再结合双曲线的关系计算离心率. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为. 已知点在渐近线上，所以，或，化简得或，即或. 因为，则. 所以，即，因此. 故选:D. 28.在同一平面直角坐标系中，和的图像可能是(  ) A.   B.C. D  【答案】D 【分析】根据一次函数图像的性质，椭圆及双曲线方程的定义即可得解. 【详解】选项，由一次函数图像可知，，所以此时不符合椭圆方程的定义，故错误； 选项，由一次函数图像可知，，此时不符合椭圆方程的定义，故错误； 选项，由一次函数图像可知，，此时不符合双曲线方程的定义，故错误， 选项，由一次函数图像可知，，此时的图像为焦点在轴的双曲线，故正确， 故选:. 29.对于双曲线和，给出下列四个结论:①离心率相等；②渐近线相同；③没有公共点；④焦距相等，其中正确的结论序号是(  ) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.②④ 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率、渐近线方程以及焦距的相关公式可判断①②④；联立方程组可判断③. 【详解】对于双曲线，其中，， 可得，则， 所以的离心率，渐近线方程为，焦距为. 对于双曲线，其中，， 可得，则， 所以的离心率，渐近线方程为，焦距为. 因此与的离心率不相等；渐近线相同；焦距相等，故①错误，②④正确， 联立方程组，两式相加得，显然不成立， 故方程组无解，则两双曲线没有公共点，③正确， 综上，正确的结论序号是②③④， 故选:C. 30.已知双曲线的离心率是方程的一个根，则该双曲线的渐近线方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，先求出方程的根，继而求得双曲线的离心率，结合双曲线的标准方程及之间的关系，即可求得的值，继而求得渐近线方程. 【详解】因为，即，解得，， 所以双曲线的离心率，即， 又，所以， 所以，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选:A. 31.设为实数，则双曲线的焦距为________. 【答案】6 【分析】由双曲线方程结合双曲线中的关系，建立关于半焦距和参数的方程，求解即可. 【详解】由双曲线，可得，， 因为，所以， 得，故焦距. 故答案为:6. 32.设双曲线:，椭圆:的离心率分别为，，若，则________． 【答案】 【分析】根据双曲线的方程确定离心率，再由椭圆的离心率求出的值即可. 【详解】由双曲线:， 得，所以，， 所以该双曲线的离心率为， 因为，所以， 由椭圆:得，， 则，解得， 因为，所以， 故答案为:. 33.已知椭圆和双曲线，若椭圆与双曲线的离心率之积为，则该双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆及双曲线性质得出离心率分别为，，代入得出即可得解. 【详解】设椭圆和双曲线的离心率分别为，， 则，， 所以， 即， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为:. 34.设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，__________________. 【答案】 【分析】根据双曲线方程得到即两焦点坐标，通过双曲线定义将求周长最小值转换为求的最小值， 再根据两点之间线段最短得到，即可求解. 【详解】由双曲线方程，得，，， 故右焦点，设左焦点为. 根据双曲线定义，左支上的点满足，即. 的周长，其中为定值， 因此周长最小即最小. 根据两点之间线段最短，当三点共线时，最小， 即， 此时. 故答案为:. 35.双曲线的离心率为，则_______. 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率公式列方程求解即可. 【详解】已知双曲线， 化为标准方程为， 则，， 因为离心率为，则， 即，解得， 故答案为:. 36.已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点 .求： (1)该双曲线的标准方程； (2)该双曲线的焦点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据渐近线方程设出双曲线方程，将点代入即可得解. (2)根据双曲线方程求出焦点坐标即可得解. 【详解】(1)双曲线的渐近线方程为，且过点， 设双曲线方程为， 将点代入得，解得， 所以双曲线方程为，即. (2)因为双曲线方程为，焦点在轴上， 且，，解得， 所以焦点坐标为. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知是双曲线的左焦点，过斜率为2的直线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若，则两条渐近线所成夹角的正切值是___________． 【答案】/2.4 【分析】首先求出焦点，进而得到直线方程，联立渐近线方程得到点，再根据向量坐标求解即可. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线方程为. 过斜率为2的直线方程为. 联立直线和两条渐近线，解得，交点. 由，可得， 代入坐标得， 约去非零的，化简得，整理得，即. 两条渐近线斜率为， 根据两直线夹角正切公式，代入得. 故答案为:. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是(  ) A. B. C.2 D.3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选:C. 3.(2023年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过右焦点F且垂直于x轴的直线，与双曲线在第一象限交于点P，双曲线的右顶点A是OF的中点，若，则该双曲线的实轴长等于(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质在图中作出直角三角形，根据勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，因为双曲线的右顶点A是OF的中点，所以，则 在直角三角形中，易知， 则由勾股定理可得，，解得，则实轴长为． 故选:D. 4.(2022年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，则直线的方程为.联立方程可得，又因为，代入化简可得，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，又， 则直线的方程为， 由，可得， 由，及， 得， 化简得，则. 故选:A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $