8.5双曲线（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 平面解析几何 8.5 双曲线 【复习目标】 1.掌握双曲线的概念、标准方程和性质； 2.能灵活运用它们解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点 双曲线的定义、标准方程及性质 1.双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离的 等于同一常数2a(且2a＜|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.其中，定点F1、F2叫作双曲线的 ，两焦点的距离叫作双曲线的 2c.即: . 2.双曲线的标准方程和性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 对称轴:坐标轴；对称中心:原点(也称为双曲线的中心) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴长 ，虚轴长 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) “以正负定焦点位置”，哪一项为正，焦点在哪一项对应的坐标轴上 焦距 |F1F2|＝2c(c＞0) a、b、c关系 离心率 e＝(e＞1)(e越大，双曲线开口越宽阔) 渐近线 3.等轴双曲线 实轴和虚轴 的双曲线称为等轴双曲线． 等轴双曲线的性质： (1)离心率 ； (2)渐近线方程 ； (3)两条渐近线互相垂直； (4)等轴双曲线方程可设为 . 【即时训练】 1.双曲线中为(  ) A. B. C. D. 2.方程表示的双曲线焦点在(  ) A.轴 B.轴 C.两坐标轴夹角平分线 D.原点 3.对于，左右两个顶点为(  ) A. B. C. D. 4.双曲线的离心率与的大小关系是(  ) A. B. C. D. 5.若双曲线，则顶点在(  ) A.轴 B.轴 C.直线 D.坐标原点 6.双曲线的一条渐近线是(  ) A. B. C. D. 7.双曲线的实轴长为(  ) A. B. C. D. 8.动点到的距离差的绝对值为，则对应双曲线中的值为(  ) A.3 B.5 C.6 D.10 9.双曲线的焦距为(  ) A. B. C. D. 10.焦点在轴上，且的双曲线方程是(  ) A. B. C. D. 11.双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 12.若双曲线满足(其中为半焦距)，则等于(  ) A.9 B.11 C.13 D.31 13.双曲线上的点的横坐标的取值范围是(  ) A. B. C. D. 14.已知双曲线的方程为，则焦点坐标为(  ) A.， B.， C.， D.， 15.已知双曲线的离心率为3，焦距为18，则它的虚轴长是(  ) A.6 B.12 C. D. 16.若双曲线的一条渐近线为，且，则(  ) A. B. C. D. 17.方程表示双曲线，则实数的取值范围是(  ) A. B. C. D. 18.已知双曲线的离心率为，且双曲线过点，则双曲线的标准方程为(  ) A. B. C. D. 19.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为(  ) A.9 B.25 C. D. 20.已知，分别为椭圆(其中)的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______． 21.双曲线的实轴长为________． 22.已知双曲线的焦点为，，点P为双曲线上的一点，则焦距________． 23.点到双曲线的渐近线的距离为__________. 24.根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点，且焦点在x轴上； (2)已知双曲线两个焦点的坐标为，，双曲线上一点P到，的距离之差的绝对值等于6． 25.已知双曲线的焦点在x轴上，实半轴的长为，且经过点，求： (1)适合条件的双曲线的标准方程； (2)双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知是双曲线的左焦点，过斜率为2的直线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若，则两条渐近线所成夹角的正切值是___________． 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是(  ) A. B. C.2 D.3 3.(2023年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过右焦点F且垂直于x轴的直线，与双曲线在第一象限交于点P，双曲线的右顶点A是OF的中点，若，则该双曲线的实轴长等于(  ) A. B. C. D. 4.(2022年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是(  ) A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 平面解析几何 8.5 双曲线 【复习目标】 1.掌握双曲线的概念、标准方程和性质； 2.能灵活运用它们解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点 双曲线的定义、标准方程及性质 1.双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于同一常数2a(且2a＜|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.其中，定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距2c.即:||PF1|－|PF2||＝2a. 2.双曲线的标准方程和性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 对称轴:坐标轴；对称中心:原点(也称为双曲线的中心) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴长2a，虚轴长2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) “以正负定焦点位置”，哪一项为正，焦点在哪一项对应的坐标轴上 焦距 |F1F2|＝2c(c＞0) a、b、c关系 c2＝a2＋b2 离心率 e＝(e＞1)(e越大，双曲线开口越宽阔) 渐近线 y＝±x y＝±x 3.等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线． 等轴双曲线的性质： (1)离心率e＝； (2)渐近线方程y＝±x； (3)两条渐近线互相垂直； (4)等轴双曲线方程可设为x2－y2＝λ. 【即时训练】 1.双曲线中为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据双曲线中的关系即可求解. 【详解】双曲线中， 则. 故选:A. 2.方程表示的双曲线焦点在(  ) A.轴 B.轴 C.两坐标轴夹角平分线 D.原点 【答案】A 【分析】根据双曲线方程与焦点的位置关系即可得解. 【详解】双曲线，则焦点在轴上， 故选:. 3.对于，左右两个顶点为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据双曲线的几何性质即可求得结果. 【详解】是焦点在轴上的双曲线，顶点落在轴上. 令，解得， 所以顶点坐标. 故选:. 4.双曲线的离心率与的大小关系是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由双曲线性质可直接得出结果. 【详解】双曲线恒有 ，离心率 . 故选:A 5.若双曲线，则顶点在(  ) A. 轴 B. 轴 C.直线 D.坐标原点 【答案】A 【分析】利用双曲线性质即可得出结果. 【详解】因为双曲线，看正项对应的变量；项为正，顶点就在轴. 所以双曲线，焦点、顶点都在轴上. 故选:A 6.双曲线的一条渐近线是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据渐近线方程公式即可得解. 【详解】双曲线，焦点在轴上， 则，， 所以渐近线方程为， 结合选项可知，正确， 故选:. 7.双曲线的实轴长为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由双曲线性质即可得出结果. 【详解】双曲线标准形式，可得，. 实轴长. 故选:C 8.动点到的距离差的绝对值为，则对应双曲线中的值为(  ) A.3 B.5 C.6 D.10 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义即可得解. 【详解】动点到的距离差的绝对值为， 则对应双曲线中，解得， 故选:. 9.双曲线的焦距为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由双曲线性质即可求得结果. 【详解】由已知可得:，则，即.焦距. 故选:D 10.焦点在轴上，且的双曲线方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意结合双曲线的定义即可得解. 【详解】焦点在轴上，且的双曲线方程是， 故选:. 11.双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】在双曲线中，， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选:C. 12.若双曲线满足(其中为半焦距)，则等于(  ) A.9 B.11 C.13 D.31 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程以及、、之间的关系求解. 【详解】对于双曲线，其焦点在轴上，其中，， 由，得，解得，故选:C. 13.双曲线上的点的横坐标的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质即可得解. 【详解】在双曲线中，，则， 所以横坐标的取值范围是， 故选:. 14.已知双曲线的方程为，则焦点坐标为(  ) A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【分析】将双曲线的方程转化为标准方程，求解即可. 【详解】因为双曲线的方程为，即， 所以双曲线焦点在轴且， 所以，又因为，所以， 因此焦点坐标为:，. 故选:C. 15.已知双曲线的离心率为3，焦距为18，则它的虚轴长是(  ) A.6 B.12 C. D. 【答案】D 【分析】根据离心率以及焦距可求解a的值，再根据双曲线中a，b，c的关系求解即可. 【详解】∵双曲线的焦距为18， ∴， ∵双曲线的离心率为3， ∴，可得， ∴， ∴双曲线的虚轴长是. 故选:D. 16.若双曲线的一条渐近线为，且，则(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线的求法求解. 【详解】由题意，双曲线的渐近线为， 已知一条渐近线为，所以，解得. 故选:C. 17.方程表示双曲线，则实数的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选:C. 18.已知双曲线的离心率为，且双曲线过点，则双曲线的标准方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率，可设出双曲线的标准方程，将已知点的坐标代入，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以该双曲线是等轴双曲线， 设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线的标准方程为. 故选:C. 19.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为(  ) A.9 B.25 C. D. 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆与双曲线的性质即可得解. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上， , 所以椭圆焦点也在x轴上， , 则，解得， 故选:. 20.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线方程求出的值，然后根据双曲线的离心率公式求解. 【详解】设为双曲线的半焦距， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 则，所以双曲线的离心率为. 故选:D. 21.双曲线的实轴长为________． 【答案】6 【分析】由双曲线的方程求得，从而可得实轴长． 【详解】双曲线即，其中，解得. 则实轴长为. 故答案为:6. 22.已知双曲线的焦点为，，点P为双曲线上的一点，则焦距________．    【答案】6 【分析】根据双曲线方程求出，再根据焦距求解即可. 【详解】双曲线中，所以，即. 进而. 故答案为:6. 23.点到双曲线的渐近线的距离为__________. 【答案】 【分析】首先求出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 则点到的距离， 点到的距离， 即点到双曲线的渐近线的距离为. 故答案为:. 24.根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点，且焦点在x轴上； (2)已知双曲线两个焦点的坐标为，，双曲线上一点P到，的距离之差的绝对值等于6． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设出双曲线的标准方程，再根据双曲线经过点求解； (2)设出双曲线的标准方程，再根据条件求出即可． 【详解】(1)因为，且焦点在轴上， 故可设双曲线的标准方程为． 因为双曲线经过点， 所以，即，解得或(舍去)． 所以所求双曲线的标准方程为． (2)因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 由题意知，，所以，． 所以． 所以所求双曲线标准方程为． 25.已知双曲线的焦点在x轴上，实半轴的长为，且经过点，求： (1)适合条件的双曲线的标准方程； (2)双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率. 【答案】(1) (2)顶点坐标为；渐近线方程为；离心率 【分析】(1)根据题意，可设出双曲线的标准方程，将已知点代入求得的值，继而求得双曲线的标准方程； (2)根据题意，可求出的值，继而求得双曲线的顶点坐标、渐近线方程及离心率. 【详解】(1)由题意，知，所以， 又双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线方程为， 将点代入得，解得， 所以双曲线的标准方程为； (2)因为，且双曲线的焦点在x轴上， 所以顶点坐标为； 由(1)知，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即； 所以， 所以离心率. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)如图所示，已知是双曲线的左焦点，过斜率为2的直线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若，则两条渐近线所成夹角的正切值是___________． 【答案】/2.4 【分析】首先求出焦点，进而得到直线方程，联立渐近线方程得到点，再根据向量坐标求解即可. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线方程为. 过斜率为2的直线方程为. 联立直线和两条渐近线，解得，交点. 由，可得， 代入坐标得， 约去非零的，化简得，整理得，即. 两条渐近线斜率为， 根据两直线夹角正切公式，代入得. 故答案为:. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是(  ) A. B. C.2 D.3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选:C. 3.(2023年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过右焦点F且垂直于x轴的直线，与双曲线在第一象限交于点P，双曲线的右顶点A是OF的中点，若，则该双曲线的实轴长等于(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质在图中作出直角三角形，根据勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，因为双曲线的右顶点A是OF的中点，所以，则 在直角三角形中，易知， 则由勾股定理可得，，解得，则实轴长为． 故选:D. 4.(2022年山东省春季高考数学真题)已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，则直线的方程为.联立方程可得，又因为，代入化简可得，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，又， 则直线的方程为， 由，可得， 由，及， 得， 化简得，则. 故选:A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $