8.4椭圆（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 平面解析几何 8.4 椭圆 【复习目标】 1.掌握椭圆的概念、标准方程和性质； 2.能灵活运用它们解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点 椭圆的定义、标准方程及性质 1.椭圆的定义 平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数 (2a＞|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.其中，定点F1，F2叫作椭圆的 ，两焦点的距离叫作椭圆的 2c. 即:|PF1|＋|PF2|＝ 当2a＝2c时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，轨迹不存在． 2.椭圆的标准方程和性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 对称性 对称轴:坐标轴； 对称中心:原点(也称为椭圆的中心) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，－a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为 、短轴B1B2的长为 . 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c＞0)(“以大小定焦点位置”，哪个分母大，焦点在哪一项相应的坐标轴上) a、b、c关系 离心率 e＝(0＜e＜1)(离心率越小，椭圆就越圆；离心率越大，椭圆就越扁) 【即时训练】 1.焦点在轴上， 的椭圆标准方程是(  ) A. B. C. D. 2.点在椭圆上，若两焦点为，且椭圆中，则(  ) A. B. C. D. 3.椭圆的焦距为(  ) A. B. C. D. 4.若椭圆的长轴长为，短轴长为，则等于(  ) A. B. C. D. 5.椭圆的顶点中，位于短轴端点的是(  ) A. B. C. D. 6.椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 7.椭圆的焦点坐标为(  ) A. B. C. D. 8.椭圆的长轴长为(  ) A. B. C. D. 9.从对称性看，椭圆关于(  )对称. A.轴、轴和原点 B.只关于轴 C.只关于轴 D.只关于直线 10.若表示焦点在轴的椭圆，且，则等于(  ) A.4 B.12 C.20 D.24 11.设，为椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则的周长为(  ) A.12 B.16 C.18 D.20 12.经过点与点的椭圆的标准方程为(  ) A. B. C. D. 13.方程表示焦点在轴上的椭圆，若离心率为，则(  ) A.28 B. C.36 D. 14.已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若，则椭圆的长轴长为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 15.设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 16.椭圆中，______. 17.焦点在轴上，且的椭圆标准方程为______. 18.椭圆的右焦点坐标为______. 19.已知点在椭圆上，则________. 20.已知，分别为椭圆(其中)的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______． 21.若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是_________. 22.已知是椭圆上的动点，，，且，则_____. 23.已知椭圆的离心率为，且过点，求椭圆C的方程. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是(  ) A. B. C. D. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)椭圆长轴长为10，点在椭圆上，为焦点，，是中点，则___________． 3.(2024年山东省春季高考数学真题)椭圆的离心率是_________. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程是(  ) A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 平面解析几何 8.4 椭圆 【复习目标】 1.掌握椭圆的概念、标准方程和性质； 2.能灵活运用它们解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点 椭圆的定义、标准方程及性质 1.椭圆的定义 平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.其中，定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距2c. 即:|PF1|＋|PF2|＝2a 当2a＝2c时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，轨迹不存在． 2.椭圆的标准方程和性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 对称性 对称轴:坐标轴； 对称中心:原点(也称为椭圆的中心) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，－a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a、短轴B1B2的长为2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c＞0)(“以大小定焦点位置”，哪个分母大，焦点在哪一项相应的坐标轴上) a、b、c关系 c2＝a2－b2 离心率 e＝(0＜e＜1)(离心率越小，椭圆就越圆；离心率越大，椭圆就越扁) 【即时训练】 1.焦点在轴上，的椭圆标准方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意得，，则， 因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为:. 故选:D. 2.点在椭圆上，若两焦点为，且椭圆中，则(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】椭圆上点到两焦点距离之和等于，所以． 故选:C. 3.椭圆的焦距为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据椭圆中、、之间的关系求出的值，进而得到焦距. 【详解】设椭圆的半焦距为， 对于椭圆，可知，， 则，即， 所以椭圆的焦距为， 故选:D. 4.若椭圆的长轴长为，短轴长为，则等于(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据椭圆的长轴长与短轴长求解的值，再由椭圆中的关系求解即可. 【详解】因为椭圆的长轴长为，短轴长为， 所以，， 所以，， 所以. 故选:A. 5.椭圆的顶点中，位于短轴端点的是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先判断椭圆的焦点位置，再由短轴的位置求解端点即可. 【详解】在椭圆中，， 因为，所以该椭圆的焦点位于轴， 所以短轴在轴上，故短轴端点为. 故位于短轴端点的是. 故选:A. 6.椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出的值，代入离心率公式即可得解. 【详解】椭圆，则，， ，解得， 所以离心率为. 故选:. 7.椭圆的焦点坐标为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出值即可得解. 【详解】椭圆，焦点在轴上，且， 则，解得， 所以焦点坐标为， 故选:. 8.椭圆的长轴长为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出值即可得解. 【详解】椭圆，则， 所以长轴长为， 故选:. 9.从对称性看，椭圆关于(  )对称. A.轴、轴和原点 B.只关于轴 C.只关于轴 D.只关于直线 【答案】A 【分析】根据题意利用椭圆的对称性即可得解. 【详解】椭圆，中心为原点，焦点在轴上， 所以椭圆关于轴、轴和原点对称. 故选:. 10.若表示焦点在轴的椭圆，且，则等于(  ) A.4 B.12 C.20 D.24 【答案】C 【分析】根据椭圆的焦点在轴，可得，再由椭圆中的位置关系求解即可. 【详解】因为表示焦点在轴的椭圆， 所以， 因为， 所以. 故选:C. 11.设，为椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则的周长为(  ) A.12 B.16 C.18 D.20 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解三角形的周长. 【详解】对于椭圆，可得，，所以，， 可得，即， 由椭圆的定义可知，， 又因为， 所以的周长， 故选:C. 12.经过点与点的椭圆的标准方程为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意，结合点的坐标，即可求得a和b的值，继而求椭圆的标准方程. 【详解】因为椭圆过点与点， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 故选:B. 13.方程表示焦点在轴上的椭圆，若离心率为，则(  ) A.28 B. C.36 D. 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点位置以及离心率求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则，即. 焦点在轴上，因此，得. 已知离心率，解得，即. 因此，即，解得. 故选:B. 14.已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若，则椭圆的长轴长为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【分析】根据题意利用椭圆的性质及通径公式即可得解. 【详解】    设椭圆的标准方程为， 离心率为，则，， 过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，且， 由通径公式可知，，解得， 所以长轴长为， 故选:. 15.设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】由为中位线求出，再由椭圆的定义求即可. 【详解】、分别是椭圆的左、右焦点，则a=5，2a=10， 是椭圆上一点， 因为是的中点，是的中点， 所以为中位线，，则， 又由椭圆的定义，可得，所以. 即点到椭圆左焦点的距离为. 故选:D. 16.椭圆中，______. 【答案】4 【分析】明确椭圆中，，之间的关系，并根据椭圆方程确定和的值即可. 【详解】椭圆中，， 所以，所以. 故答案为:4. 17.焦点在轴上，且的椭圆标准方程为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意得，，则， 因为焦点在轴上，所以椭圆标准方程为. 故答案为:. 18.椭圆的右焦点坐标为______. 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出值即可得解. 【详解】椭圆，则，且焦点在轴上， ，解得， 所以右焦点为. 故答案为:. 19.已知点在椭圆上，则________. 【答案】 【分析】利用曲线上的点的坐标满足曲线方程的性质，将已知点坐标代入椭圆方程计算的值. 【详解】因为已知点在椭圆上，将，代入椭圆方程， 可得：，解得：. 故答案为:. 20.已知，分别为椭圆(其中)的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式即可求解. 【详解】    如图所示，作出图像，因为为正三角形， 即，则， 故离心率， 故答案为:. 21.若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可列式求解. 【详解】由题意，若方程表示椭圆，需满足， 解得，且， 所以实数k的取值范围是. 故答案为:. 22.已知是椭圆上的动点，，，且，则_____. 【答案】5 【分析】根据椭圆的定义确定椭圆的焦点位置，进而求出的值. 【详解】因为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 易知，，即，， 所以. 故答案为:5. 23.已知椭圆的离心率为，且过点，求椭圆C的方程. 【答案】 【分析】由得到的关系，然后把已知点的坐标代入椭圆方程即可求解． 【详解】因为椭圆的离心率为， 又点在椭圆上，则， 由，解得， 所以椭圆C的方程为. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质以及离心率公式的计算. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分， 所以可得，即，从而， 故选:A. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)椭圆长轴长为10，点在椭圆上，为焦点，，是中点，则___________． 【答案】3 【分析】根据椭圆的定义先求解出的长度，再根据为的中位线求解即可. 【详解】连接，如图， ∵椭圆长轴长为10，， ∴， ∵点O与点M分别为与的中点， ∴. 故答案为:3. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)椭圆的离心率是_________. 【答案】 【分析】根据椭圆的方程求出易得答案. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以. 故答案为:. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据图像和椭圆的定义分析即可. 【详解】由图像可知，椭圆的焦点在轴上， 顶点为 所以， 则其标准方程为． 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $