专题32 直线与圆的位置关系及应用（讲义）-2027年江苏省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年江苏省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江苏省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32直线与圆的位置关系及应用 【复习目标】 1. 理解直线与圆的位置关系，会判断直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，会解决弦长问题和距离最值问题。 2. 能解决简单的与直线、圆有关的实际问题。 【考点1直线与圆的位置关系及应用】 1．设直线l：Ax+By+C=0和圆C:，若圆心C到直线l的距离为d，由直线l和圆C联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为△，则它们的位置关系见下表： 位置关系 交点个数 代数法（△法） 几何法 相交 相切 相离 【即时训练】 1．某直线路径与圆形区域的关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．重合 2．圆与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 3．直线 与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能判断 4．若直线为圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 5．已知直线l将圆C：平分，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 6．直线与圆的位置关系是（     ） A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离 7．直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C．2 D．3 8．直线与圆有交点，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 9．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（    ）米.（注意：≈）    A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 10．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用表示，公园外两点与公园边上任意一点连接后修建一处三角形状舞台，则舞台面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走是储备基地的边界上的点A，接着向东再走到达公路上的点B；从基地中心O向正北走到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路的专用线，则的最短距离为（   ） A． B． C． D． 12．如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高米，则拱桥的直径为（   ） A．米 B．米 C．9米 D．米 13．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以为半径，B为公园入口，道路为东西方向，道路经过点O且向正北方向延伸，，现计划从B处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（   ） A． B． C． D． 14．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的车顶（平顶）距离地面的高度不得超过（   ） A．米 B．3米 C．米 D．2米 15．已知点满足：，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能 17．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是（    ） A． B． C． D． 19．直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则m的范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 20．直线和圆的位置关系是______. 21．若直线与圆相切，则_______________________. 22．圆上的点到直线的距离的最大值是__________. 23．已知点，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为1，过作圆C:的切线为切点，则的最小值为___________. 24．在平面直角坐标系中，已知圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为_______ 25．圆上的点到直线的距离范围是______． 【考点2两圆的位置关系】 （1）代数法：将两个圆的方程联立组成二元二次方程组，若方程组有 实数解，则两圆相交；若方程组有 实数解，则两圆相切；若 解，则两圆外离或内含. （2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为 () ①两圆外离 ；②两圆外切 ；③两圆相交 ；④两圆内切 ；⑤两圆内含 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 【即时训练】 1．已知圆，圆，则两圆的位置关系为（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 2．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 3．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 4．若已知圆与圆，若两圆的位置关系内切，则______． 5．已知圆:,圆:,则两圆的位置关系为______(填“内含”､“内切”､“相交”､“外切”或“外离”),它们的公切线条数为______. 考点32直线与圆的位置关系及应用 （2024江苏省职教高考数学真题）若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江苏省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32直线与圆的位置关系及应用 【复习目标】 1. 理解直线与圆的位置关系，会判断直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，会解决弦长问题和距离最值问题。 2. 能解决简单的与直线、圆有关的实际问题。 3. 【考点1直线与圆的位置关系及应用】 1．设直线l：Ax+By+C=0和圆C:，若圆心C到直线l的距离为d，由直线l和圆C联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为△，则它们的位置关系见下表： 位置关系 交点个数 代数法（△法） 几何法 相交 2 △>0 d<r 相切 1 △=0 d=r 相离 0 △<0 d>r 【即时训练】 1．某直线路径与圆形区域的关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．重合 【答案】C 【分析】先求出圆心到直线的距离，与半径作比较，即可判断直线与圆的关系 . 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 2．圆与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，最后通过比较距离与半径的大小来判断位置关系即可. 【详解】已知圆的方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为圆心到直线的距离，圆的半径，即， 所以圆与直线相切. 故选：B. 3．直线 与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能判断 【答案】C 【分析】由圆方程得圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离. 故选：C 4．若直线为圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得圆心，代入直线方程即可求解. 【详解】由圆得圆心为，因为直线为圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，则，解得. 故选：C. 5．已知直线l将圆C：平分，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平分圆的直线必过圆心，结合两直线平行的性质设方程，代入圆心坐标求解参数即可. 【详解】已知圆C：中，圆心， 设与直线平行的直线方程为， 因为直线l将圆C平分，所以圆心在直线l上， 将圆心代入得， 解得，所以直线l的方程为， 故选：D. 6．直线与圆的位置关系是（     ） A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再将圆心到直线的距离与半径比较大小即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】已知的圆心， 半径为，则圆心到直线的距离为， 由，且得直线与圆相交不过圆心， 故选：B. 7．直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先由圆的标准方程确定圆心和半径；再根据点到直线距离公式计算圆心到直线的距离；最后根据圆的弦长公式即可求解. 【详解】圆中圆心，半径. 圆心到直线的距离， 弦长． 故选：B. 8．直线与圆有交点，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线与圆有交点，根据圆心到直线的距离小于等于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径. 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离d满足： ，化简得：， 解得：，所以实数m的取值范围是. 故选：A 9．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（    ）米.（注意：≈）    A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出圆的方程，根据题目条件求出半径以及圆心，再代入求解即可. 【详解】以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.    设圆心坐标为，则. 可设圆拱所在圆的方程为，由题意可得： 解得：. 所以所求圆的方程为. 将代入圆方程，得：， 因为，所以. 故选：A. 10．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用表示，公园外两点与公园边上任意一点连接后修建一处三角形状舞台，则舞台面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再计算|AB|，然后求圆上的点到直线AB的最小距离，最后根据三角形面积公式求出舞台面积的最小值. 【详解】圆的方程可化为，即圆心为，半径为， 又， 则直线的斜率为，, 所以， 则圆心到l的距离， 所以圆上点到直线的最小距离为，即边上的高的最小值为， 所以舞台面积． 故选：A. 11．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走是储备基地的边界上的点A，接着向东再走到达公路上的点B；从基地中心O向正北走到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路的专用线，则的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，确定圆O及直线BC的方程，当圆心到直线BC的距离减去半径得到DE的最小值，即可求DE的长度. 【详解】以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为. 因为点，所以直线的方程为，即． 当点D选在与直线平行的直线（距较近的一条）与圆相切所成切点处时， 为最短距离．此时的最小值为． 故选：B. 12．如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高米，则拱桥的直径为（   ） A．米 B．米 C．9米 D．米 【答案】B 【分析】设圆心为O，半径为r，由勾股定理列方程求值即可. 【详解】设圆心为O，半径为r， 由勾股定理得，， 因为，， 则，， 即，解得，所以拱桥的直径为. 故选：B. 13．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以为半径，B为公园入口，道路为东西方向，道路经过点O且向正北方向延伸，，现计划从B处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，再根据直线与圆相切时距离最短求解即可. 【详解】 如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标，则. 由题意，则修建的新路所在直线斜率存在， 可设直线方程为，即. 则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时，解得（不符合题意）. 直线方程为，进而直线与道路相交于点. 此时求得新路长度为． 故选：A. 14．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的车顶（平顶）距离地面的高度不得超过（   ） A．米 B．3米 C．米 D．2米 【答案】B 【分析】根据题意，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意得，以半圆直径所在直线为x轴，过圆心与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的坐标系． 则半圆的半径，因为货车宽2米，所以， 由勾股定理可得，米. 即这辆货车的车顶（平顶）距离地面的高度不得超过米. 故选：B. 15．已知点满足：，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可设则可得答案. 【详解】由，可设则 由，可得 故选：A 【点睛】本题考查圆中的最值问题，考查三角换元，属于基础题. 16．已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离,所以，在中，，所以为钝角．为钝角三角形．选C 17．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 18．直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆M的圆心和半径，可排除B，C选项，再由圆心的位置可得其横纵坐标的正负，从而可判断直线的位置． 【详解】解：由x2＋y2－2ax＋2by＝0，得， 所以圆心，半径为， 由此可知圆过坐标原点，所以排除B，C， 由选项A，D可知， 所以直线l：ax－y＋b＝0过一、三、四象限， 故选：A． 19．直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程与圆的方程联立，根据交点位置可得，由此可解不等式求得结果. 【详解】设直线与交于，，则， 联立，消去得： ，解得：    的取值范围为 故选： 【点睛】本题考查根据直线与圆的交点个数及位置确定参数范围的问题，关键是能够通过直线与圆方程联立，根据交点位置确定根与系数关系式所满足的不等式. 二、填空题 20．直线和圆的位置关系是______. 【答案】相交 【分析】先求得直线所过定点，结合该定点与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】直线过定点， 圆，即，圆心，半径为1， 由得在圆上， 所以直线与圆相交或相切， 若直线与圆相切，由于圆心，半径为1，直线定点， 可得直线方程为，这与直线的斜率存在相矛盾，不合题意，舍去， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交. 21．若直线与圆相切，则_______________________. 【答案】 【分析】根据直线与圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】∵圆的圆心为，半径， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 故答案为：. 22．圆上的点到直线的距离的最大值是__________. 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即得． 【详解】圆的圆心为，且圆心到直线距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为． 故答案为：. 23．已知点，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为1，过作圆C:的切线为切点，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】设定，根据直线的斜率与直线的斜率关系得到，再由圆的标准方程得到圆心和半径，结合切线的性质建立方程，即可解得. 【详解】因为点，令， 由题设有， 即， 又圆：的圆心为，半径， 因为为切线，为切点， 则， 所以当时，. 故答案为： 24．在平面直角坐标系中，已知圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为_______ 【答案】 【分析】先由圆的方程确定圆心和半径，再利用两圆关于直线对称，求出的方程，最后利用直线l是线段的垂直平分线求解即可. 【详解】 由圆的方程分别为，， 的圆心坐标分别为， 半径分别为. 由于两圆关于直线l对称，故它们的半径相等. 因此，解得（负值舍去）， 故直线l就是线段的垂直平分线， 它通过线段的中点， 由于，则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，即. 25．圆上的点到直线的距离范围是______． 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，再计算圆心到直线的距离，最后根据圆心到直线的距离与半径的关系确定圆上的点到直线的距离范围. 【详解】已知圆的方程为，变形为， 所以该圆的圆心坐标为，半径. 则圆心到直线的距离， 因为圆心到直线的距离，半径，且，即直线与圆相离. 那么圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为， 所以圆上的点到直线的距离范围是. 故答案为：. 【考点2两圆的位置关系】 （1）代数法：将两个圆的方程联立组成二元二次方程组，若方程组有 2个 实数解，则两圆相交；若方程组有 1个 实数解，则两圆相切；若无实数解，则两圆外离或内含. （2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为 () ①两圆外离 ；②两圆外切 ；③两圆相交 ；④两圆内切 ；⑤两圆内含 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 【即时训练】 1．已知圆，圆，则两圆的位置关系为（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得两圆的圆心以及半径，结合圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，可化为， 其圆心，半径， ， ，， 因为，所以两圆相交. 故选：B 2．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系得答案． 【详解】两圆圆心分别为，，半径分别为2和3， 所以圆心距为，因为，故两圆外切. 故选：C 3．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】B 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】对圆，圆心，半径. 圆：，圆心，半径. 圆心距：. 因为，所以两圆相交. 故选：B 4．若已知圆与圆，若两圆的位置关系内切，则______． 【答案】 【分析】先将圆的方程转化为标准方程，然后根据两圆的位置关系内切求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为两圆的位置关系内切， 所以或， 解得， 故答案为： 5．已知圆:,圆:,则两圆的位置关系为______(填“内含”､“内切”､“相交”､“外切”或“外离”),它们的公切线条数为______. 【答案】 相交 2 【解析】将两个圆化为标准方程,判断两个圆的圆心距与两个半径的关系,即可判断两个圆的位置关系,进而判断出公切线数量. 【详解】圆:,圆: 化为标准方程为圆:,圆: 所以两个圆的半径 由两点间距离公式可得 因为圆心距满足 所以两圆的位置关系为相交 根据圆与圆相交时的公切线情况,可知两个圆的公切线为2条 故答案为:相交;2 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系判断,圆与圆公切线数量和圆与圆的位置之间的关系,属于基础题. 考点32直线与圆的位置关系及应用 （2024江苏省职教高考数学真题）若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先设的中点坐标为，根据题意，得到中点所在直线方程，由圆上的点到直线的距离的最值情况即可得解. 【详解】设的中点坐标为， 因为，，所以，即， 又，，分别在直线和直线上移动， 所以，两式相加得， 所以，即即为中点所在直线方程， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到P点的最小距离为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $