29.1.1 圆的有关概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕圆的定义、点与圆位置关系及弦、弧等相关概念展开，通过生活中圆形实例导入，结合画圆活动抽象圆的描述性定义，再经问题链探究集合性定义、位置关系及概念辨析，构建递进式学习支架。 其亮点在于以数学眼光联结生活与几何直观，如用毕达哥拉斯观点及《墨子》记载溯源，培养抽象能力；通过动手操作与数量化推理（如点与圆位置关系的d与r比较）发展推理意识；以规范定义和辨析练习（如等弧与长度相等弧的区别）强化数学语言表达。学生能提升空间观念与探究能力，教师可依托结构化资源提高教学效率。

第二十九章 圆 29.1.1 圆的有关概念 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.掌握圆的定义、表示方法及圆具有的特性. 2.理解并掌握点与圆的三种位置关系. 3.理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. 学习目标 BY YUSHEN 22051 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面 图形中最美的是圆．”圆形物体在生活中很常见，许多物体都给我们以圆的 形象．你能发现下面图片中的圆形吗？ 新课导入 BY YUSHEN 22051 3 活动：请仿照图中方法，在草稿纸上画圆．观察画圆的过程，尝试从点的运动的角度描述圆是怎样形成的. 知识点1：圆的定义 新知探究 BY YUSHEN 22051 4 圆的描述性定义： 在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一端点 P 所形成的图形叫作圆． 以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆 O”． 其固定的端点 O 叫作圆心， 线段OP叫作半径． O P r 归纳 BY YUSHEN 22051 5 圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）． 问题1：量一量，圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么特点？ r O 新知探究 BY YUSHEN 22051 6 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 问题2：反过来，到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ O r 新知探究 BY YUSHEN 22051 7 溯源 战国时的《墨子》中记载着“圆，一中同长也”， 即圆上各点到圆心的距离都相等；还记载着“圆，规写交也”，即用圆规画图，使其两端相交便形成一个圆. 圆的集合性定义： 圆心为 O 、半径为 r 的圆可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合． · r O P 归纳 BY YUSHEN 22051 8 问题1：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系. A B C O 点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外 27.2.1 点与圆的位置关系 教学过程 幻灯片1：情境导入，直观感知（5分钟） 生活观察：展示三张图片——①射击靶上的弹孔（有的在靶心内，有的在靶环上，有的在靶外）；②操场上画圆游戏，学生站在圆内、圆上、圆外不同位置；③车轮上的螺栓、轮轴中心与地面点的位置关系。 师问1：这些场景中，点（弹孔、学生、螺栓）与圆（靶面、游戏圆、车轮）的位置有几种不同情况？你能尝试分类吗？ 引出课题：点与圆的位置关系有明显的直观差异，这种差异背后蕴含着怎样的数学规律？今天我们就从数学角度探究点与圆的位置关系。 设计意图：用学生熟悉的生活场景建立“点与圆位置”的直观认知，通过分类提问激发探究欲，自然衔接课题。 幻灯片2：分类探究，明确位置关系（10分钟） 动手操作：请同学们在练习本上画一个半径为3cm的⊙O，再在圆内、圆上、圆外分别画点A、点B、点C，用刻度尺测量OA、OB、OC的长度，记录数据。 位置分类：结合画图和测量结果，师生共同总结点与圆的三种位置关系： 1. 点在圆内：点到圆心的距离小于圆的半径，如图中点A，测量得OA＝2cm＜3cm； 2. 点在圆上：点到圆心的距离等于圆的半径，如图中点B，测量得OB＝3cm＝3cm； 3. 点在圆外：点到圆心的距离大于圆的半径，如图中点C，测量得OC＝4cm＞3cm。 符号表示：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： - 点P在圆内 ⇨ d＜r； - 点P在圆上 ⇨ d＝r； - 点P在圆外 ⇨ d＞r。 即时判断：已知⊙O半径r＝5cm，点P到O的距离d＝3cm、5cm、6cm，分别判断点P与⊙O的位置关系（圆内、圆上、圆外），强化“距离与半径”的关联。 幻灯片3：深化理解，探究性质（15分钟） 思考1：平面内的点与圆的位置关系，由什么因素决定？（点到圆心的距离d与圆的半径r的数量关系） 思考2：“圆内的点”有无数个，它们的共同特征是什么？（所有点到圆心的距离都小于r）圆外的点呢？（都大于r） 性质总结： 1. 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合； 2. 圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合； 3. 圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合。 辨析讨论：“平面内，到圆心距离等于半径的点都在圆上，在圆上的点到圆心距离都等于半径”，这句话是否正确？（正确，体现圆的本质特征，是“点在圆上”的充要条件） 拓展提问：若两个点到圆心的距离相等，这两个点与圆的位置关系一定相同吗？（不一定，需结合r判断，如d＝4cm，r＝5cm时都在圆内；r＝3cm时都在圆外） 幻灯片4：三点共圆问题，确定圆的条件（15分钟） 问题探究：过平面内一点可以画多少个圆？过两点呢？过三点呢？ 小组合作：学生用圆规尝试画图，教师引导总结： 1. 过一点A：圆心可在平面内任意位置（除A外），半径为圆心到A的距离，故有无数个圆； 2. 过两点A、B：圆心需满足到A、B距离相等，即在线段AB的垂直平分线上，故有无数个圆，圆心都在AB的垂直平分线上； 3. 过三点A、B、C：分两种情况： 三点共线：AB、BC的垂直平分线平行，无交点，故不能作圆； 4. 三点不共线：AB、BC的垂直平分线相交于唯一一点O，OA＝OB＝OC，以O为圆心、OA为半径可作唯一圆。 核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 概念补充：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心（三边垂直平分线的交点），这个三角形叫做圆的内接三角形。 画图示范：教师在黑板上画△ABC，用尺规作三边垂直平分线，确定外心O，画出外接圆，强调外心到三个顶点距离相等。 幻灯片5：典例解析，巩固应用（15分钟） 例题1：已知⊙O的半径为6cm，点P是⊙O所在平面内一点，且OP＝8cm。判断点P与⊙O的位置关系；若点Q到圆心O的距离为3cm，求PQ的最大距离和最小距离。 解题步骤： 1. 判断P的位置：r＝6cm，OP＝8cm＞6cm，故点P在⊙O外； 2. 分析Q的位置：OQ＝3cm＜6cm，点Q在⊙O内； 3. 求PQ最值：当P、O、Q三点共线时，PQ取得最值。最大距离为OP＋OQ＝8＋3＝11cm，最小距离为OP－OQ＝8－3＝5cm。 例题2：已知△ABC，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，求△ABC外接圆的半径。 解题步骤： 1. ∵∠A＝90°，根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，Rt△ABC的外心在斜边BC的中点上（直角三角形斜边中线等于斜边一半）； 2. 由勾股定理得BC＝√(AB²＋AC²)＝√(3²＋4²)＝5cm； 3. 外接圆半径r＝BC/2＝2.5cm。 方法总结：涉及点与圆位置的计算，紧扣d与r的关系；求三角形外接圆半径，直角三角形特殊（外心在斜边中点），非直角三角形需作三边垂直平分线找外心。 幻灯片6：实际应用，拓展提升（10分钟） 应用1：确定圆形井盖的圆心：施工中发现一个破损的圆形井盖残片，如何确定它的圆心和半径？（方法：在残片弧上取三点A、B、C，作AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到任意一点的距离为半径） 应用2：台风预警：台风中心位于A港正南方向100km处，台风影响范围是半径为60km的圆形区域，A港是否会受到台风影响？若台风向北移动，移动多少千米后A港开始受影响？（提示：d＝100km＞60km，不受影响；移动距离为100－60＝40km） 即时练习：某农场要建一个圆形蓄水池，要求蓄水池中心到三个灌溉点A、B、C的距离相等，已知A、B、C不在同一直线上，如何确定蓄水池的位置？（作AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心） 幻灯片7：课堂总结，布置作业（5分钟） 核心回顾： 1. 点与圆的三种位置关系：内（d＜r）、上（d＝r）、外（d＞r），核心是d与r的数量关系； 2. 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形外心是三边垂直平分线交点； 3. 特殊结论：直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 作业布置： 1. 基础题：①已知⊙O半径r＝4cm，点P到O的距离d分别为3cm、4cm、5cm，判断点P位置；②画△ABC（非直角），作其外接圆； 2. 提升题：在Rt△ABC中，斜边BC＝10cm，求外接圆面积； 3. 拓展题：探究“经过四点可以作几个圆”，分四点共圆、三点共线等情况举例说明。 知识点2：点与圆的位置关系 新知探究 BY YUSHEN 22051 A B C O r 问题2：设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系. OA < r OB = r OC > r 设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则有 点P在圆外 ⇔ d>r; 点P在圆上 ⇔d=r; 点P在圆内 ⇔d<r. 新知探究 BY YUSHEN 22051 1.点A在以O为圆心，6cm为半径的☉O内，则点A到圆心O的距离d的范围是____________.　 0≤d＜6cm 2.☉O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与☉O的位置关系是(　　). A.点P在☉O内 B.点P在☉O上 C.点P在☉O外 D.点P在☉O上或☉O外　 A 巩固练习 BY YUSHEN 22051 C A · O B 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫作弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫作直径． 注意：1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 知识点3：圆的有关概念 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考：圆中最长的弦是什么？为什么？ O B O A B O A B O A B C O A B C D O A B C D 根据三角形的三边关系判断. 圆中最长的弦 是直径. 新知探究 BY YUSHEN 22051 · C O A 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． · C O A B 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ( 劣弧与优弧：小于半圆的弧叫作劣弧.如图中的AC ; ( 大于半圆的弧叫作优弧.如图中的ABC. ( B 新知探究 BY YUSHEN 22051 · C O A 等圆：能够重合的两个圆叫作等圆. · C O1 A 容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. · C O A 新知探究 BY YUSHEN 22051 结论：等弧仅仅存在于同圆或等圆中. 可见这两条弧不可能完全重合 实际上这两条弧弯曲程度不同 “等弧”要区别于“长度相等的弧” 如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置， 是否能使这两条弧完全重合？ ︵ ︵ C 想一想：长度相等的弧是等弧吗？ A B C D 新知探究 BY YUSHEN 22051 1.下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. 正确的有_________ . 解析：直径是最长的弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故④错误；弧分为劣弧、优弧、半圆，故⑤正确. ①③⑤ 巩固练习 BY YUSHEN 22051 圆 圆的相关概念 圆的描述性定义 圆的集合性定义 弦 弧 等圆 直径 最长的弦 优弧 半圆 劣弧 等弧 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.有以下结论： ①直径相等的两个圆是等圆；②半圆是最长的弧；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中正确的有（　　）． A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．0个 A 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.⊙O的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和⊙O的位置关系: (1) 8; (2) 10; (3) 12. 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成圆形，如果一棵 20 年树龄的树的树干直径是 23 cm，这棵树的半径平均每年增加多少？ 解：23÷20 = 1.15（ cm ） 1.15÷2 = 0.575（ cm ） 答：这棵树的半径平均每年增加 0.575 cm. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 $