专题12.1 命题、定义、定理与证明（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“命题、定义、定理与证明”核心知识点，系统梳理命题的定义、组成与分类，定义、定理的内涵及证明步骤，逆命题与逆定理的关系，构建从基础判断到逻辑推理的递进式学习支架。 资料以10类题型为框架，结合生活实例（如“回文数”）培养数学眼光，通过证明步骤填写、组命题论证等设计发展推理思维与数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后助力学生举一反三、查漏补缺。

专题12.1 命题、定义、定理与证明（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 判断是否是命题】 2 【题型2 写出命题的题设与结论】 3 【题型3 判断命题真假】 4 【题型4 举反例】 6 【题型5 定义、定理与证明】 8 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明】 10 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 13 【题型8 根据给出的论断组命题并证明】 16 【题型9 写出命题的逆命题】 23 【题型10 互逆定理】 25 考点1 命题 知识点1 命题 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 知识点2 命题的组成与分类 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 【题型1 判断是否是命题】 【例1】（25-26七年级下·吉林·期末）下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 【变式1-1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 【答案】A 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据该定义判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项对《给阿嬷的情书》的作品性质作出了判断，是完整的陈述句，符合命题的定义； B选项是疑问句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； C选项是祈使句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； D选项是作图指令，没有对事情作出判断，不符合命题定义． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【答案】④ 【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题， ①对墙的颜色作出判断，是命题； ②对的运算结果作出判断，是命题； ③对的取值性质作出判断，是命题； ④仅为化简操作的指令，未对任何事情作出判断，不是命题． 【变式1-3】（26-27八年级上·全国·课后作业）已知下列语句：①平角都相等；②画两个相等的角；③两直线平行，同位角相等；④等于同一个角的两个角相等吗；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥等腰三角形的两个底角相等，其中是命题的有_____（填序号） 【答案】①③⑤⑥ 【分析】根据命题的定义可进行求解． 【详解】解：平角都相等，它是命题； 画两个相等的角为描叙性语言，它不是命题； 两直线平行，同位角相等，它是命题； 等于同一个角的两个角相等吗是疑问句，它不是命题； 邻补角的平分线互相垂直，它是命题； 等腰三角形的两个底角相等，它是命题． 故答案为①③⑤⑥． 【点睛】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 【题型2 写出命题的题设与结论】 【例2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 【变式2-2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 【变式2-3】（25-26八年级下·云南昭通·期中）把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【分析】先分清命题“的倍数是奇数”的题设与结论，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分，即可完成改写． 【详解】解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 【题型3 判断命题真假】 【例3】下列说法是真命题的为（     ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．两点之间直线最短 D．如果两直线平行，那么同旁内角相等 【答案】B 【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、线段的性质进行判断即可． 【详解】解：A． 同位角相等需以两直线平行为前提，原命题为假命题． B． 对顶角相等，为真命题． C． 两点之间线段最短，原命题中直线的表述错误，为假命题． D． 两直线平行时同旁内角互补，原命题中相等的表述错误，为假命题． 【变式3-1】已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【分析】交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 【详解】解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． 【变式3-2】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 【答案】 是整数 是偶数 真 【分析】命题为“如果…那么…”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，结合偶数定义即可判断命题真假． 【详解】解：对于“如果…那么…”形式的命题， “如果”引出的部分是题设，因此本题题设是是整数； “那么”引出的部分是结论，因此本题结论是是偶数； 是整数时，一定能被整除，符合偶数的定义， 该命题是真命题． 【变式3-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：①2222是“回文数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有90个“回文数”；④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有__________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据“回文数”的定义进行分析即可求解． 【详解】解：①根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；①是真命题； ②两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；故②是真命题； ③三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；③是真命题； ④设任意四位数的“回文数”的千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，则， 根据定义，，， ∴， ∴是的倍数；④是真命题； 综上：①②③④是真命题. 【题型4 举反例】 【例4】（25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，本题只需判断哪个选项中两个数相加的和小于两个加数，即可得到答案. 【详解】解：∵命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于或等于其中一个加数”， ∴反例需要满足“两个数相加，和小于任意一个加数”， 逐个判断选项： 选项A ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项B ：，，满足命题结论，不是反例. 选项C ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项D ：，且，不满足命题结论，可以作为反例. 【变式4-1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足条件“能被整除”，但不满足结论“的末位数字是”的即可，根据能被整除的数的特征，选取末位为的符合要求的数即可 【详解】解：根据能被整除的整数的特征可知：能被整除的整数，末位数字为或， 取， 因为，所以能被整除， 的末位数字为，不是，满足题设条件不满足结论，可说明原命题是假命题， 故答案为（答案不唯一） 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义． 假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可． 【详解】解：∵当，时， ∴，，即成立， 又∵，即不成立， ∴此例可作为原命题的反例， 故选：B． 【变式4-3】（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 考点2 定义、定理与证明 知识点3 定义 我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫做这些名词的定义． 知识点4 定理 公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 对于基本事实，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据． 知识点5 证明及证明的一般步骤 1. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 【题型5 定义、定理与证明】 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完定义与命题后，小林在笔记本上记下了几个定义： ①如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程；②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形；③正比例函数是特殊的一次函数．你认为其中正确的是________．（请填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了二元一次方程、三角形和正比例函数的定义，熟练掌握三者的定义是解题的关键． 【详解】①如果一个整式方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程，原说法错误，故①错误； ②由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形，符合定义的要求，故②正确； ③正比例函数的定义：形如，且k是常数的函数，叫做正比例函数；“正比例函数是特殊的一次函数”描述的是正比例函数与一次函数的关系，不是正比例函数的定义，故③错误． 故答案为：②． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可． 【详解】解：设，则的余角为：，的余角为， ∵， ∴， 即等角的余角相等， ∴“等角的余角相等”是一个真命题，且是经过证明的，故为定理， 故选：C． 【变式5-3】（25-26八年级上·全国·单元复习）定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明】 【例6】（25-26七年级下·福建福州·期末）根据题意，完成下列各题 (1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） (2)在中，若，求证：． 【答案】(1)已知：在中，， 求证：， 证明：过点A作于点D， 则， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明∶假设不成立，则有， (1)假设，则，与矛盾， ∴不成立； (2)假设， 过A作，D在线段内， 则， ∵，， ∴， 这是和矛盾的， ∴不成立， ∴只能． 【分析】（1）根据题意写出已知，求证，然后过点A作于点D，证明，即可得出． （2）利用反证法证明即可． 【变式6-1】证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】 已知：如图，直线中，，， 求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为． ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式6-2】（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】 已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【变式6-3】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2) 证明：平分 平分， ， ， ； (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）略 （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 【例7】填写下列空格： 已知：如图，点在上，平分，． 求证：． 证明：∵平分（____________）， ∴______（__________________）， ∵（已知）， ∴_____（__________________）， ∴______（__________________）， ∴（__________________） 【答案】已知；；角平分线定义；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换 【分析】根据角平分线的定义与平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）推理填空： 已知，如图，、是直线，，，． 求证:． 证明：∵（已知）， ∴ （                                      ）． ∵（已知）， ∴ （                     ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴ （             　　　　      ）， ∴（            　　　　　　　    ）． 【答案】证明：∵（已知）， ∴（ 两直线平行，同位角相等 ）． ∵（已知）， ∴（ 等量代换 ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴（ 等量代换 ）， ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【分析】首先结合已知条件和平行线的性质得出，然后利用平行线的判定得出． 【变式7-2】已知：如图，于D，于F，交于G，交延长线于E，． 求证：平分． 证明：，（已知） （_______） （_______） _______（两直线平行，内错角相等） （_______） （已知） （_______） 即平分（_______） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义． 【分析】根据，并结合垂直的定义和平行线的判定即可填写前两个空格；接下来根据平行线的性质可得同位角和内错角相等，然后根据已知的等角可得两个角相等的关系，进而利用角平分线的定义得出结论． 【变式7-3】完成下列推理说明：如图，，，，可推出，，完成下列空白： ，， （______）． ____________（______）． （______）． ， （______）． ____________（______）． 【答案】等式的基本事实 ；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角度计算；； ；同旁内角互补，两直线平行 【分析】由已知条件以及等量代换可得，再根据同位角相等，两直线平行即可证得；根据两直线平行，内错角相等可得最后根据同旁内角互补，两直线平行即可证得． 【题型8 根据给出的论断组命题并证明】 【例8】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 【答案】(1)条件①②结论③；条件①③结论②；条件②③结论① (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质（内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等或同位角相等），利用等量代换即可求出． （2）根据角平分线的定义推出，在①②的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在①③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在②③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数． 【详解】（1）解：条件①②结论③时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件①③结论②时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件②③结论①时，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：情况1：在①②的条件下， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ． ，， ． ，， ． 情况2：在①③的条件下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 情况3：在②③条件下， ， ，， ， ， ． 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 【变式8-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【答案】 解：选择的条件是①，选择的结论是②． 证明：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的面积与的面积相等； 选择的条件是②，选择的结论是①． 证明：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， 设B到的距离为，C到的距离为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即是的中线． 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积公式、命题的证明，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 若选择的条件是①，选择的结论是②，根据三角形中线的性质即可证明；若选择的条件是②，选择的结论是①，根据三角形面积公式即可证明． 【变式8-2】如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可； （2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假． 【详解】解：（1）由，，得到； 由，，得到； 由，，得到； 故能组成3个命题． （2）由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，∴， ，． 由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，， ． 由，，得到，是真命题．理由如下： ∵，，． ，， ． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式8-3】如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 考点3 逆命题和逆定理 知识点6 互逆命题 定义：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. 知识点7 互逆定理 定义：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 【题型9 写出命题的逆命题】 【例9】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期中）把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 【答案】如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角 【分析】本题考查了逆命题，根据逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换所得命题，即可解答． 【详解】解：原命题“邻补角的和是”可表述为“如果两个角是邻补角，那么它们的和是”， 故其逆命题是“如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角”． 故答案为：如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 【答案】两个角之和等于，则这两个角互为余角 【分析】本题主要考查逆命题；根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答． 【详解】解：∵原命题“互为余角的两个角之和等于”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于”， ∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角”． 故答案为：两个角之和等于，则这两个角互为余角． 【变式9-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题的真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是____________________（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查写出命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握该知识点是解题关键． 逆命题即将原命题的结论变为已知，原命题的已知变为结论，再判断命题的真假即可求解． 【详解】解：“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是：如果两个数都是正数，那么它们的积是正数，是真命题． 故答案为：真． 【题型10 互逆定理】 【例10】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【变式10-1】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆定理需将条件与结论互换，但互换后的命题不成立． 【详解】解：∵原定理“三角形的三条中线交于一点”的逆命题为“如果三条线段交于一点，那么它们是三角形的中线”，但此逆命题为假， 例如三角形的三条角平分线交于一点，但对于非等边三角形，角平分线不是中线， ∴该定理没有逆定理， 故选：C． 【变式10-2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 【答案】有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解． 【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”． 设两个角分别为和，它们的补角分别为和． 若补角相等，即，根据等式的性质，可得， 因此逆命题成立．故有逆定理． 故答案为：有 【变式10-3】下列命题有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个角都是，那么这两个角相等 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】先写出各命题的逆命题，逆命题为真命题则原定理有逆定理． 【详解】解：A的逆命题为对应角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，故没有逆定理，不符合题意； B的逆命题为同位角相等，两直线平行，为真命题，故有逆定理，符合题意； C的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角都是，是假命题，故没有逆定理，不符合题意； D的逆命题为相等的两个角是对顶角，是假命题，故没有逆定理，不符合题意． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 命题、定义、定理与证明（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 判断是否是命题】 2 【题型2 写出命题的题设与结论】 2 【题型3 判断命题真假】 2 【题型4 举反例】 3 【题型5 定义、定理与证明】 4 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明】 4 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 5 【题型8 根据给出的论断组命题并证明】 7 【题型9 写出命题的逆命题】 9 【题型10 互逆定理】 9 考点1 命题 知识点1 命题 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 知识点2 命题的组成与分类 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 【题型1 判断是否是命题】 【例1】（25-26七年级下·吉林·期末）下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【变式1-1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【变式1-3】（26-27八年级上·全国·课后作业）已知下列语句：①平角都相等；②画两个相等的角；③两直线平行，同位角相等；④等于同一个角的两个角相等吗；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥等腰三角形的两个底角相等，其中是命题的有_____（填序号） 【题型2 写出命题的题设与结论】 【例2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【变式2-2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【变式2-3】（25-26八年级下·云南昭通·期中）把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【题型3 判断命题真假】 【例3】下列说法是真命题的为（     ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．两点之间直线最短 D．如果两直线平行，那么同旁内角相等 【变式3-1】已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【变式3-2】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 【变式3-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：①2222是“回文数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有90个“回文数”；④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有__________．（填序号） 【题型4 举反例】 【例4】（25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题． 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 考点2 定义、定理与证明 知识点3 定义 我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫做这些名词的定义． 知识点4 定理 公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 对于基本事实，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据． 知识点5 证明及证明的一般步骤 1. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 【题型5 定义、定理与证明】 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完定义与命题后，小林在笔记本上记下了几个定义： ①如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程；②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形；③正比例函数是特殊的一次函数．你认为其中正确的是________．（请填写序号） 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 【变式5-3】（25-26八年级上·全国·单元复习）定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明】 【例6】（25-26七年级下·福建福州·期末）根据题意，完成下列各题 (1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） (2)在中，若，求证：． 【变式6-1】证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【变式6-2】（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【变式6-3】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 【例7】填写下列空格： 已知：如图，点在上，平分，． 求证：． 证明：∵平分（____________）， ∴______（__________________）， ∵（已知）， ∴_____（__________________）， ∴______（__________________）， ∴（__________________） 【变式7-1】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）推理填空： 已知，如图，、是直线，，，． 求证:． 证明：∵（已知）， ∴ （                                      ）． ∵（已知）， ∴ （                     ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴ （             　　　　      ）， ∴（            　　　　　　　    ）． 【变式7-2】已知：如图，于D，于F，交于G，交延长线于E，． 求证：平分． 证明：，（已知） （_______） （_______） _______（两直线平行，内错角相等） （_______） （已知） （_______） 即平分（_______） 【变式7-3】完成下列推理说明：如图，，，，可推出，，完成下列空白： ，， （______）． ____________（______）． （______）． ， （______）． ____________（______）． 【题型8 根据给出的论断组命题并证明】 【例8】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 【变式8-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【变式8-2】如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【变式8-3】如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 考点3 逆命题和逆定理 知识点6 互逆命题 定义：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. 知识点7 互逆定理 定义：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 【题型9 写出命题的逆命题】 【例9】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期中）把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 【变式9-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是____________________（填“真”或“假”）命题． 【题型10 互逆定理】 【例10】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【变式10-1】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【变式10-2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理． 【变式10-3】下列命题有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个角都是，那么这两个角相等 D．对顶角相等 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $