专题9.4圆锥曲线的综合应用（练习）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 基于支架式教学整合圆锥曲线知识，通过分层训练与真题实现从基础到综合的进阶，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|15题|聚焦定义、离心率及位置关系|从概念辨析到简单应用，构建定义-方程-性质逻辑链| |综合提升|6题|强化方程求解与面积计算|整合直线与圆锥曲线关系，培养推理能力| |真题再现|6题|体现考点延续性|对接湖南对口考情，强化模型意识与应用能力|

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9.4 ·圆锥曲线的综合应用 【考点 圆锥曲线综合】 1．过抛物线 的焦点，且垂直于轴的直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线方程求出焦点坐标，确定直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出两点坐标，由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】已知抛物线 中，， 所以焦点，则过焦点，且垂直于轴的直线为， 联立方程组得，解得， 所以， 则， 故选：C. 2．已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆定义得，得到的周长即可求解. 【详解】椭圆， ，， 、在圆上， ，， 的周长为， ， . 故选：C. 3．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：设，，，， 由，， 相减可得， ， ， 故选：C． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作x轴的垂线交椭圆于点P若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出过点，垂直于x轴的直线方程，联立直线与椭圆的方程求解点P坐标，再由，求解a，b，c之间的关系求解离心率即可. 【详解】因为直线过且垂直于x轴， 所以直线的直线方程为， 将代入， 解得，所以， 因为， 所以， 所以， 即， 因为，等式两边同时除， 所以， 解得或（舍）， 故椭圆的离心率是. 故选:D. 5．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 6．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系. 【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C 7．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则等于（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，再由焦点弦公式即可解得. 【详解】由题，抛物线得焦点为，， 由焦点弦公式得． 故选：C 8．已知双曲线左右焦点为，直线过点且倾斜角为，直线过点且与互相平行．若之间的距离为，则双曲线的虚轴长为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，结合双曲线的关系，由虚轴的定义即可求解. 【详解】双曲线左右焦点为， 则，， 直线过点且倾斜角为，直线过点且与互相平行， 且之间的距离为，则， 解得，则双曲线的虚轴长为. 故选：A. 9．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】抛物线的焦点坐标为,准线方程为，因为抛物线上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线 的距离是5. 则点P到x轴的距离是4，所以的面积为，故选B.   10．已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义可求出结果. 【详解】由可得，准线方程为， 直线， 联立，消去并整理得，， 设直线与抛物线的两个交点为，， 则， 所以直线截抛物线所得弦长为. 故选：B 11．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 【答案】/ 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再根据已知条件求解直线的方程，联立方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，即，所以， 所以点，又直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立方程，整理为， 设，，则， 所以． 故答案为：. 12．已知过点(0，﹣4)且倾斜角的余弦值为的直线方程为___________，若该直线与抛物线只有一个公共点，则抛物线的准线方程为___________. 【答案】 y=2x﹣4 【分析】由倾斜角的余弦值求出其正切值，即直线的斜率，由题意求出直线的方程，将直线与抛物线联立，由相切可得判别式为求出的值，进而求出准线方程． 【详解】解：由直线的倾斜角的余弦值为可得直线的正切值为2，即直线的斜率为2， 又过(0，﹣4)，所以直线的方程为：y=2x﹣4， 联立，整理可得：x2﹣4px+8p=0， 由直线与抛物线相切， 所以△=0，即△=16p2﹣4×8p=0，解得p=2， 所以准线方程为：y=﹣=﹣1， 故答案为：y=2x﹣4，. 13．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则____________，____________． 【答案】 4 【分析】根据点在直线上可求，再利用抛物线的定义即可求得弦长. 【详解】由题可得所以抛物线的焦点为，所以解得， 所以直线方程为 设， 联立化简得， 所以，则， 故答案为: ；. 14．若双曲线的左、右顶点分别为，，是上的点（异于，），则直线与的斜率乘积等于______． 【答案】/ 【分析】利用点在双曲线上化简斜率乘积的表达式可求解. 【详解】由题意得，，， 不妨设,则 ． 故答案为： 15．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为______. 【答案】 【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为， 设直线与抛物线交于两点， 则直线的方程为，代入得， 则，，，，， 则， 故答案为： 【考点 圆锥曲线综合】 16．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【详解】（1）由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； （2）将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 17．设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，． (1)求该椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，且椭圆的离心率为，则，结合，即可求出； （2）由（1）得椭圆的标准方程，再与直线方程列式子，解出，，再根据弦长公式，即可求出. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，则由已知有 又因为，所以， 由题意得，，所以，解得， 故椭圆的标准方程为 （2）设点的坐标分别是. 由，消去，得， 所以，， 由弦长公式. 18．已知抛物线C： 的图像经过点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于A，求弦长|AB|的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线过已知点求出抛物线方程. （2）首先求出直线方程，再结合直线与抛物线相交的性质求出弦长. 【详解】（1）∵抛物线C： 的图像经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的标准方程为； （2）∵直线l的倾斜角为， ∴直线l的斜率：， ∵直线l过焦点， ∴直线l的方程：， 联立和可得， 设A，， ∴， ∴弦长. 19．已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知点，直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程求解离心率即可 （2）利用点到直线的距离公式、直线与椭圆的方程联立方程组求解交点，进而即可求解. 【详解】（1）因为椭圆. 所以. 所以椭圆的离心率. （2）联立方程得或. 所以. 因为点到直线的距离. 所以. 20．已知椭圆的焦点坐标,长轴长为6，设直线交椭圆于A,B两点，求线段的中点坐标． 【答案】 【分析】根据题意先将椭圆的标准方程求出，再联立方程应用韦达定理求解两根之和，即可求解中点坐标. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为， 所以， 因为长轴长为6，所以， 再椭圆中有， 所以椭圆的标准方程为， 设点，中点， 联立，可得， 由韦达定理得， 所以线段中点横坐标为， 将代入直线方程有， 故中点坐标为. 21．已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆L的标准方程； (2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由离心率、短轴长及椭圆参数关系列方程求参数，即得椭圆方程； （2）设直线交椭圆于，将点代入椭圆方程，点差法求直线斜率，最后应用点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由题意，则椭圆标准方程为； （2）令过椭圆内一点的直线交椭圆于， 所以，两式作差得，则， 又，，故直线斜率为， 所以直线为，即. 1．（2025湖南对口升学考试第19题）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 （2）由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 2．（2021湖南对口升学考试第20题）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线与椭圆相交于两点，求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）由椭圆的标准方程,离心率公式即可得解. （2）由直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点,且离心率为. 所以 解得 所以椭圆的标准方程为. （2）设. 所以. 联立方程得. 所以. 所以 所以. 3.（2024湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【详解】（1）双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； （2） 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 4．（2022湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【详解】（1）由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； （2）将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 5.（2023湖南对口升学考试第20题）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点为，求出，进而写出抛物线的方程和其准线方程. （2）设，直线l为，联立直线l与抛物线方程，通过韦达定理来证明即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，则， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为. （2）当直线l斜率不存在时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线l斜率存在时，又直线l过点， 可设直线l方程，联立抛物线C方程可得 ，整理得， 设，则， 直线AE，BE的斜率分别为，，点， 所以 .    6．（2020湖南对口升学考试第19题）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、韦达定理在抛物线中的应用、向量垂直的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，即可求得参数，得到抛物线方程. （2）设立A，B的坐标，联立抛物线方程和直线方程，得到坐标的关系，再计算，即可证明. 【详解】（1）∵抛物线经过点， 故，将点代入方程，， 即，得到. 所以，抛物线的标准方程为. （2）设交点A，B的坐标分别为. 则 联立抛物线和直线方程，得到. 即，. ∴. 故，得到. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9.4 ·圆锥曲线的综合应用 【考点 圆锥曲线综合】 1．过抛物线 的焦点，且垂直于轴的直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C．3 D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作x轴的垂线交椭圆于点P若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 6．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 7．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则等于（   ） A．4 B．6 C．8 D． 8．已知双曲线左右焦点为，直线过点且倾斜角为，直线过点且与互相平行．若之间的距离为，则双曲线的虚轴长为（   ） A． B．4 C． D．2 9．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 12．已知过点(0，﹣4)且倾斜角的余弦值为的直线方程为___________，若该直线与抛物线只有一个公共点，则抛物线的准线方程为___________. 13．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则____________，____________． 14．若双曲线的左、右顶点分别为，，是上的点（异于，），则直线与的斜率乘积等于______． 15．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为______. 【考点 圆锥曲线综合】 16．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 17．设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，． (1)求该椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，求的大小． 18．已知抛物线C： 的图像经过点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于A，求弦长|AB|的值. 19．已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知点，直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积． 20． 已知椭圆的焦点坐标,长轴长为6，设直线交椭圆于A,B两点，求线段的中点坐标． 21．已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆L的标准方程； (2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程． 1．（2025湖南对口升学考试第19题）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 2．（2021湖南对口升学考试第20题）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线与椭圆相交于两点，求的值． 3.（2024湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 4．（2022湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 5.（2023湖南对口升学考试第20题）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 6．（2020湖南对口升学考试第19题）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $