专题9.4圆锥曲线的综合应用（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9.4 ·圆锥曲线的综合应用 【复习目标】 掌握几种数列的求和方法，分组求和法，裂项相消法． 【考点 圆锥曲线综合】 1、 焦点三角形 椭圆焦点三角形 双曲线焦点三角形 图形定义 椭圆上任意一点P与两焦点F₁、F₂构成的△PF₁F₂ 双曲线上任意一点P与两焦点F₁、F₂构成的△PF₁F₂ 曲线定义关系 焦距关系 参数公式 夹角设定 小题速算公式 核心推导依据 椭圆定义+余弦定理+三角恒等变换 双曲线定义+余弦定理+三角恒等变换 答题规范 大题不可直接用公式，需完整推导 大题不可直接用公式，需完整推导 2、 直线与圆锥曲线问题综合 通用解题核心：联立直线与圆锥曲线方程，消元得到一元二次方程，结合判别式、韦达定理求解弦长、中点、垂直、参数取值等问题，适配三类圆锥曲线。 通用步骤：设直线方程→联立曲线方程→消元得一元二次方程→判断Δ→韦达定理代入求解 1.题型1：弦长问题 （1）设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于则弦长： | 若直线斜率不存在（垂直x轴），直接代入直线横坐标，求出两点纵坐标，直接计算距离。 （2）分曲线解题注意点 ①椭圆：直线与椭圆必有2个交点需满足Δ>0，无特殊取值限制； ②双曲线：联立方程后，需区分直线与双曲线单支、双支相交，Δ>0仅为有交点条件，需结合题意取舍； ③抛物线：直线过焦点时可使用焦点弦长公式简化计算，普通直线统一用通用弦长公式。 2.题型2：中点弦问题 （1） 椭圆中点弦公式 椭圆，弦中点M(x₀,y₀)，弦所在直线斜率： （2）双曲线中点弦公式 双曲线，弦中点M(x₀,y₀)，弦所在直线斜率： （3） 抛物线中点弦公式 抛物线，弦中点M(x₀,y₀)，弦所在直线斜率： （4）通用易错提醒 所有曲线中点弦问题，点差法求出直线后，必须带回检验Δ>0！中点在曲线外时，直线无真实交点，答案无效。 3. 题型3：垂直问题 （1） 核心条件转化 若曲线上两点A、B与定点O/P满足OA⊥OB，两种等价转化方式： ①斜率法（有限制）：（两条直线斜率均存在且不为0） ②向量法：，即 （2）通用解题流程 联立直线与圆锥曲线方程→韦达定理求出→用直线方程替换，表示出→代入，求解参数。 【即时训练】 1．若直线与双曲线相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知直线与双曲线相交，且交点位于双曲线的左、右两支，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆和椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（      ） A．12 B．14 C．16 D．18 7．已知分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一点，且，则的面积为（   ） A．7 B． C． D． 8．已知垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．设双曲线的左、右焦点分别为、，则左焦点的坐标为__________，过的直线与双曲线左支交于、两点，且，则的周长为__________． 10．抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于，若，则的面积______. 11．抛物线截直线所得弦长等于___________. 12．已知点 是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为____________. 13．已知抛物线：，其焦点为，是上的一点． (1)求； (2)直线交于，两点，且的面积为16，求直线的方程． 14．已知椭圆 的两个焦点为，，焦距是，长轴长是4， (1)求椭圆C的标准方程 (2)过点作斜率为的直线l交椭圆C于两点，求的面积． 15．双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于另一点，若的面积为，求的斜率. 16．已知抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆的左焦点 (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点作直线交抛物线于A、B两点，使得点M是弦的中点，求直线的方程及弦AB的长. 1．（2025湖南对口升学考试第19题）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 2．（2021湖南对口升学考试第20题）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线与椭圆相交于两点，求的值． 3.（2024湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 4．（2022湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 5.（2023湖南对口升学考试第20题）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 6．（2020湖南对口升学考试第19题）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9.4 ·圆锥曲线的综合应用 【复习目标】 掌握几种数列的求和方法，分组求和法，裂项相消法． 【考点 圆锥曲线综合】 1、 焦点三角形 椭圆焦点三角形 双曲线焦点三角形 图形定义 椭圆上任意一点P与两焦点F₁、F₂构成的△PF₁F₂ 双曲线上任意一点P与两焦点F₁、F₂构成的△PF₁F₂ 曲线定义关系 焦距关系 参数公式 夹角设定 小题速算公式 核心推导依据 椭圆定义+余弦定理+三角恒等变换 双曲线定义+余弦定理+三角恒等变换 答题规范 大题不可直接用公式，需完整推导 大题不可直接用公式，需完整推导 2、 直线与圆锥曲线问题综合 通用解题核心：联立直线与圆锥曲线方程，消元得到一元二次方程，结合判别式、韦达定理求解弦长、中点、垂直、参数取值等问题，适配三类圆锥曲线。 通用步骤：设直线方程→联立曲线方程→消元得一元二次方程→判断Δ→韦达定理代入求解 1.题型1：弦长问题 （1）设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于则弦长： | 若直线斜率不存在（垂直x轴），直接代入直线横坐标，求出两点纵坐标，直接计算距离。 （2）分曲线解题注意点 ①椭圆：直线与椭圆必有2个交点需满足Δ>0，无特殊取值限制； ②双曲线：联立方程后，需区分直线与双曲线单支、双支相交，Δ>0仅为有交点条件，需结合题意取舍； ③抛物线：直线过焦点时可使用焦点弦长公式简化计算，普通直线统一用通用弦长公式。 2.题型2：中点弦问题 （1） 椭圆中点弦公式 椭圆，弦中点M(x₀,y₀)，弦所在直线斜率： （2）双曲线中点弦公式 双曲线，弦中点M(x₀,y₀)，弦所在直线斜率： （3） 抛物线中点弦公式 抛物线，弦中点M(x₀,y₀)，弦所在直线斜率： （4）通用易错提醒 所有曲线中点弦问题，点差法求出直线后，必须带回检验Δ>0！中点在曲线外时，直线无真实交点，答案无效。 3. 题型3：垂直问题 （1） 核心条件转化 若曲线上两点A、B与定点O/P满足OA⊥OB，两种等价转化方式： ①斜率法（有限制）：（两条直线斜率均存在且不为0） ②向量法：，即 （2）通用解题流程 联立直线与圆锥曲线方程→韦达定理求出→用直线方程替换，表示出→代入，求解参数。 【即时训练】 1．若直线与双曲线相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线与双曲线方程联立，分情况讨论列出不等式即可解得. 【详解】由题，直线与双曲线相交， 则联立，得到， 即，当，即时，等式不成立， 当，即时，， 解得，即的取值范围为， 故选：B 2．垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据直线垂直于轴，以及交抛物线的弦长，得到交点坐标和直线方程，结合抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可求解. 【详解】因为直线垂直于轴，交抛物线于两点，且， 所以， 代入抛物线，即，故直线为， 抛物线的焦点为，准线为， 即抛物线的焦点到直线的距离是， 故选：D 3．已知直线与双曲线相交，且交点位于双曲线的左、右两支，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得此双曲线的渐近线方程，从而可得结果. 【详解】由题知此双曲线中，即可得其渐近线方程为， 又因为直线与双曲线的两支均有交点，可得此直线的斜率， 从而知直线的倾斜角范围为. 故选：D. 4．若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 由可得， 故，故或， 故选：D. 5．已知椭圆和椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法来求解以为中点的弦所在直线的斜率. 【详解】设以为中点的弦的两端点分别为，，， 因为是弦的中点，可得，，即，， 因为、两点在椭圆上，所以， ①②得：，即， 则，即， 设弦所在直线的斜率为，则， 上式可化为，解得. 综上，以为中点的弦所在直线的斜率为. 故选：A. 6．已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（      ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】求出抛物线及直线的方程，联立方程组，利用韦达定理及焦点弦长公式求解. 【详解】因为直线与轴的交点为， 所以抛物线的焦点坐标为，设， 则，抛物线方程为， 所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，即， 设， 由，得， 所以，， 所以. 故选：C.    7．已知分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一点，且，则的面积为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，结合题意及椭圆的定义余弦定理列出方程，求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】 根据题意作出图像， 椭圆，则，，，所以，， 设，， 因为，则， 解得，所以，， 所以的面积为, 故选：. 8．已知垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出点坐标，则纵坐标为，代入抛物线方程中即可得解. 【详解】    根据题意作出图像，垂直于轴的直线交抛物线于两点，且， 设，则， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：. 9．设双曲线的左、右焦点分别为、，则左焦点的坐标为__________，过的直线与双曲线左支交于、两点，且，则的周长为__________． 【答案】 36 【分析】根据双曲线的标准方程得到，即可得到焦点坐标；根据双曲线的定义，得到的关系，即可求得的周长. 【详解】由双曲线的标准方程可知焦点在轴上，且，， ∴，∴， ∴左焦点的坐标为． 由题意得，， 两式相加得， ∴． 又∵， ∴的周长为36． 故答案为：，36. 10．抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于，若，则的面积______. 【答案】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，求出点坐标，再根据三角形面积求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为. 设横坐标为，点到准线的距离为，得. 进而，因此. 是平行于x轴的水平线段，长度为，以为底，高为焦点到直线的距离， 即等于. 因此面积. 故答案为：.    11．抛物线截直线所得弦长等于___________. 【答案】24 【分析】由题意可得直线过抛物线的焦点，联立直线与抛物线的方程，可得两根之和，由抛物线的性质求出弦长的大小． 【详解】设直线与抛物线的交点为、， 由抛物线的方程可得焦点，可得直线过焦点， 联立，消去，得， 可得，则， 由抛物线的性质可得． 故答案为：24． 12．已知点 是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为____________. 【答案】 【分析】设以点为中点的弦与椭圆交于，由点差法可得斜率，再根据直线的点斜式方程可求解. 【详解】设以点为中点的弦与椭圆交于， 则， 分别把代入椭圆方程，可得 ，两式相减，可得， 所以， 所以直线的斜率：， 所以直线的方程为，即为所求. 故答案为： 13．已知抛物线：，其焦点为，是上的一点． (1)求； (2)直线交于，两点，且的面积为16，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）分类讨论直线的斜率是否存在，设，联立两方程，根据韦达定理以及斜率求出，再根据三角形面积求出，进而得到直线方程. 【详解】（1）：中. 将代入：，得，所以； （2）若直线的斜率不存在，则直线方程为，且与抛物线只有一个切点，不符合. 若直线的斜率存在，设直线：，、. 由得：，，，， 由于，， 所以，解得. 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得. 所以直线方程为.      14．已知椭圆 的两个焦点为，，焦距是，长轴长是4， (1)求椭圆C的标准方程 (2)过点作斜率为的直线l交椭圆C于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距确定的值，再由长轴长的确定的值，由的关系求出，写出方程即可. （2）根据点斜式写出直线方程，联立椭圆方程与直线方程，运用韦达定理求出，，再由弦长公式求出的值，再由点到直线的距离公式求出到直线的距离，最后由面积公式求出面积即可. 【详解】（1）由焦距是，长轴长是4， 可得，解得，所以， 所以椭圆C的方程为. （2）已知焦点为， 则过点作斜率为的直线的方程为：， 设，， 由，可得， 所以，， 所以， 又因为到直线：， 距离， 所以的面积为． 15．双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于另一点，若的面积为，求的斜率. 【答案】(1). (2)，或不存在. 【分析】（）根据双曲线离心率得出，代入，则此时双曲线方程为，将点代入双曲线方程中即可得解. （）先讨论直线斜率不存在的情况，经计算符合题意；设出直线斜率，写出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，利用弦长公式，点到直线距离公式结合三角形面积公式列出方程即可得解. 【详解】（1）双曲线的离心率为，所以， 因为，解得， 所以双曲线方程为， 将代入双曲线方程中得，解得，所以， 所以双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，此时直线方程为， 将代入双曲线方程中得，解得， 因为，则， 此时的面积为，符合题意；    当直线斜率存在时，如图所示，设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程组得， 由韦达定理可知，，因为， 所以， ， 因为， 所以， 原点到直线的距离为， 所以， 化简得， 当时，化简得，解得； 当时，化简得，解得或， 经检验，直线的斜率为，或不存在. 16．已知抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆的左焦点 (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点作直线交抛物线于A、B两点，使得点M是弦的中点，求直线的方程及弦AB的长. 【答案】(1) (2)直线方程：，弦长 【分析】（1）由椭圆方程求出左焦点结合已知条件即可求出抛物线的方程； （2）设抛物线过点的弦的直线方程为，，联立直线方程和抛物线方程，根据弦的中点列式求得k的值，即可求得直线的方程及弦AB的长. 【详解】（1）由得，所以，则， 所以椭圆的左焦点为，设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点为，所以，则抛物线的方程为. （2）设抛物线过点的弦的直线方程为，即，， 联立抛物线方程，消去y，得， 则，， 由为弦的中点，可得，解得，则成立， 则弦AB所在的直线方程为：，， 则弦AB的长为. 1．（2025湖南对口升学考试第19题）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 （2）由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 2．（2021湖南对口升学考试第20题）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线与椭圆相交于两点，求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）由椭圆的标准方程,离心率公式即可得解. （2）由直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点,且离心率为. 所以 解得 所以椭圆的标准方程为. （2）设. 所以. 联立方程得. 所以. 所以 所以. 3.（2024湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【详解】（1）双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； （2） 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 4．（2022湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【详解】（1）由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； （2）将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 5.（2023湖南对口升学考试第20题）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点为，求出，进而写出抛物线的方程和其准线方程. （2）设，直线l为，联立直线l与抛物线方程，通过韦达定理来证明即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，则， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为. （2）当直线l斜率不存在时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线l斜率存在时，又直线l过点， 可设直线l方程，联立抛物线C方程可得 ，整理得， 设，则， 直线AE，BE的斜率分别为，，点， 所以 .    6．（2020湖南对口升学考试第19题）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、韦达定理在抛物线中的应用、向量垂直的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，即可求得参数，得到抛物线方程. （2）设立A，B的坐标，联立抛物线方程和直线方程，得到坐标的关系，再计算，即可证明. 【详解】（1）∵抛物线经过点， 故，将点代入方程，， 即，得到. 所以，抛物线的标准方程为. （2）设交点A，B的坐标分别为. 则 联立抛物线和直线方程，得到. 即，. ∴. 故，得到. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $