专题9.3抛物线（练习）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过分层训练构建抛物线从概念到综合应用的体系化复习，强化抽象能力、运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题（2、5）|定义辨析与轨迹判断|从抛物线定义出发，建立概念认知| |焦点准线计算|7题（3、4、7-9、11、12）|距离公式与参数求解|链接定义与几何性质，强化运算能力| |焦点弦与中点问题|5题（1、6、10、13、14）|弦长与中点坐标关联|深化位置关系理解，培养推理意识| |综合应用|6题（16-21）|方程求解与几何证明|整合知识解决复杂问题，发展模型意识| |真题再现|3题（2020-2026年）|考情对接与实战演练|贴近命题趋势，提升应试能力|

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9.3·抛物线 【考点 抛物线】 1．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 2．动点到点与直线的距离相等，则动点的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线关于轴对称,它的顶点为坐标原点,且经过点,若点到抛物线焦点的距离为,则（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 6．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A． B．1 C． D． 7．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 8．若拋物线上一点到焦点的距离是5，则点到直线的距离是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．抛物线上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标为（    ） A．2 B．6 C． D． 10．如图所示，已知抛物线的焦点为，准线为，经过点且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，且，垂足为，则的面积是（    ） A．4 B． C． D．8 11．已知抛物线，写出抛物线的焦点坐标______ 12．由得，因此准线方程为______. 13．已知是抛物线上一点,抛物线的焦点是,的延长线交轴于点.若是线段的中点，则___________. 14．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率_______． 15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆C的标准方程为_______. 【考点 抛物线】 16．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6． 17．椭圆与抛物线有共同的焦点，过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于M、N两点.求： (1)直线的方程和椭圆的方程； (2)的面积. 18．顶点在原点的抛物线关于轴对称，点在此抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，求. 19．抛物线 的图像经过点． (1)求抛物线F的方程； (2)若圆C以抛物线F的焦点为圆心，且与直线相切，求圆C的一般式方程． 20．已知抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知抛物线上的点和直线，求到直线的距离最小的点M的坐标． 21．已知抛物线的焦点为，为坐标原点， (1)求抛物线的方程. (2)已知垂直轴的直线交抛物线于两点，为等边三角形，求这个三角形的周长． 1．（2026湖南对口升学考试第12题）已知抛物线的焦点为，则________． 2．（2023湖南对口升学考试第20题）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 3．（2020湖南对口升学考试第19题）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9.3·抛物线 【考点 抛物线】 1．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义以及已知条件建立关于的方程求解即可. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为， 设，，其中， 则，， 所以， 由的中点到轴的距离是2，可得中点的横坐标为，那么， 因为，即，解得， 故抛物线方程是． 故选：B．    2．动点到点与直线的距离相等，则动点的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，及抛物线的标准方程的形式，求出p的值，即可求解. 【详解】因为动点到点与直线的距离相等， 所以动点的运动轨迹是开口向右的抛物线，且焦点坐标为，准线方程为， 所以，解得，故动点的轨迹方程是. 3．已知抛物线关于轴对称,它的顶点为坐标原点,且经过点,若点到抛物线焦点的距离为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的定义即可得解. 【详解】因为抛物线关于轴对称. 所以设抛物线方程为. 因为点到抛物线焦点的距离为. 所以. 解得. 所以抛物线方程为. 因为点在抛物线上. 所以. 解得. 故选:. 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，据此可求解. 【详解】由抛物线可得，准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以到准线的距离， 解得，所以准线方程为. 故选：A 5．平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】平面内到定点和定直线距离相等的点满足抛物线定义，其轨迹为抛物线. 故选：C. 6．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义以及中点坐标公式求解. 【详解】因为F是抛物线的焦点，所以，准线方程为. 设，则， 解得，所以线段AB的中点横坐标为. 所以线段AB的中点D到y轴的距离为. 故选：C. 7．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质列出方程求出值，再将点代入抛物线方程中即可得解. 【详解】因为抛物线方程为，焦点在轴正半轴，所以其准线方程为， 所以，所以，所以， 因为点在抛物线上，则，解得， 故选：. 8．若拋物线上一点到焦点的距离是5，则点到直线的距离是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义可求解点P的到准线的距离，即可求解到直线的距离. 【详解】因为抛物线为，准线为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5， 所以点P到直线的距离为. 故选：A. 9．抛物线上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的解析式和对定义的理解即可求解. 【详解】抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离， 即因为，则． 所以．则，即P的横坐标为2． 故选：A. 10．如图所示，已知抛物线的焦点为，准线为，经过点且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，且，垂足为，则的面积是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义和直线的斜率确定点的坐标，利用等边三角形的性质和面积公式计算的面积即可. 【详解】如图所示，设准线交轴于点， 由抛物线的定义可得, ∵直线的斜率为， ∴直线的倾斜角为， ∵，∴， 故是等边三角形. 又焦点,∴直线的方程为， 设， 由得， ∴，故等边三角形的边长， ∴. 故选：C. 11．已知抛物线，写出抛物线的焦点坐标______ 【答案】 【分析】利用抛物线标准方程求得其焦点坐标，从而得解. 【详解】因为抛物线，， 焦点在轴上， 所以焦点坐标为：. 故答案为：. 12．由得，因此准线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，结合抛物线的标准方程形式，及p的值，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点在轴正半轴上，开口向上， 又，故准线方程为. 故答案为：. 13．已知是抛物线上一点,抛物线的焦点是,的延长线交轴于点.若是线段的中点，则___________. 【答案】 【分析】由抛物线的焦点坐标,线段的中点坐标公式,两点间的距离公式即可得解. 【详解】    如图所示. 因为. 所以. 设. 因为点为中点,设. . 整理得. 所以. 因为点在抛物线上. 所以. . 故答案为:. 14．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率_______． 【答案】或 【分析】根据题意，过两点分别作准线的垂线，垂足设为，结合抛物线的定义可得，，过点作直线垂直于轴，交的延长线于点，在中，易得，继而得到，结合抛物线的对称性可知直线的倾斜角为或，继而求得直线的斜率. 【详解】 由抛物线方程易知，焦点坐标为，准线方程为． 过两点分别作准线的垂线，垂足设为， 由抛物线的定义易知，． 过点作直线垂直于轴，交的延长线于点， 在中，， 所以． 根据对称性，直线的倾斜角为或， 所以直线的斜率或． 故答案为：或. 15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆C的标准方程为_______. 【答案】 【分析】先根据抛物线方程求出其焦点坐标，进而得到椭圆的一个顶点坐标，再结合椭圆的离心率求出椭圆的标准方程. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点坐标为. 因为椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，且椭圆中心在原点，焦点在轴上， 所以椭圆的上顶点坐标为，即， 已知离心率，可得， 将和代入到中，得到，解得， 因为椭圆焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 【考点 抛物线】 16．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线上点到焦点距离等于到准线距离的性质求解即可. （2）设抛物线焦点，根据两点间距离公式列方程求解即可. 【详解】（1）设抛物线的准线为l，交x轴于K点，因为抛物线为， 所以l的方程为， 如图，作于，于，    则，同理， 又，则，， 故所求抛物线方程为． （2）因为抛物线对称轴是x轴，所以设焦点， 则，即，解得或． 当焦点为时，，抛物线开口方向向左，其方程为； 当焦点为时，，抛物线开口方向向左，其方程为． 故所求抛物线方程为或． 17．椭圆与抛物线有共同的焦点，过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于M、N两点.求： (1)直线的方程和椭圆的方程； (2)的面积. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线的方程得到焦点，即可得到椭圆方程和左焦点坐标，结合直线的倾斜角，即可求解直线方程. （2）联立直线方程和椭圆方程，得到弦长，再根据点到直线的方程得到原点到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点， 所以，即，解得， 所以椭圆的方程为， 得到椭圆的左焦点为， 又过椭圆的左焦点的直线倾斜角为，即斜率， 即直线方程为. （2）设， 联立，消去得，， 则， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积. 18．顶点在原点的抛物线关于轴对称，点在此抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题干可设抛物线方程为，将点代入即可求方程及准线； （2）联立直线与抛物线方程，求出，两点，然后根据两点距离公式可求. 【详解】（1）由顶点在原点的抛物线关于轴对称，点， 可设抛物线方程为，将点代入，得，， 抛物线方程为，准线方程为； （2）联立直线与抛物线方程，得，即，， 解得，，代入直线方程得，； 则，或，， 则. 19．抛物线 的图像经过点． (1)求抛物线F的方程； (2)若圆C以抛物线F的焦点为圆心，且与直线相切，求圆C的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将已知点代入抛物线方程，即可求出p的值，继而求出抛物线方程； （2）根据题意，先求出抛物线焦点坐标，结合点到直线的距离公式求出圆的半径，即可求出圆的标准方程，结合圆的标准方程和一般式方程的转化，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线 的图像经过点， 所以，解得， 所以抛物线F的方程为； （2）由（1）知抛物线F的方程为， 所以焦点坐标为， 即圆C的圆心坐标为， 又圆C与直线相切， 所以圆心到直线的距离， 所以圆C的半径也是1， 所以圆C的标准方程为,化为一般式方程是. 20．已知抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知抛物线上的点和直线，求到直线的距离最小的点M的坐标． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据焦点坐标求出值即可得解. （）设出点坐标，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点， 则，解得， 故抛物线C的标准方程为. （2）设抛物线上点， 点到直线的距离为， 当时，分子取得最小值3，此时距离最小为，此时点的坐标为. 故到直线的距离最小的点的坐标为. 21．已知抛物线的焦点为，为坐标原点， (1)求抛物线的方程. (2)已知垂直轴的直线交抛物线于两点，为等边三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1). (2). 【分析】（）利用抛物线的焦点坐标求出抛物线的标准方程即可得解. （）设出直线方程，联立方程组，求出点的坐标，再根据两点间的距离公式及等边三角形的性质即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为. 所以，解得. 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知，设直线方程为. 将代入抛物线方程中得. 解得或. 令，. 因为为等边三角形. 所以即. 解得（舍）或. 所以. 所以. 所以. 所以的周长为. 1．（2026湖南对口升学考试第12题）已知抛物线的焦点为，则________． 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点坐标得到p的值即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以，解得. 故答案为：2. 2．（2023湖南对口升学考试第20题）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点为，求出，进而写出抛物线的方程和其准线方程. （2）设，直线l为，联立直线l与抛物线方程，通过韦达定理来证明即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，则， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为. （2）当直线l斜率不存在时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线l斜率存在时，又直线l过点， 可设直线l方程，联立抛物线C方程可得 ，整理得， 设，则， 直线AE，BE的斜率分别为，，点， 所以 .    3．（2020湖南对口升学考试第19题）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、韦达定理在抛物线中的应用、向量垂直的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，即可求得参数，得到抛物线方程. （2）设立A，B的坐标，联立抛物线方程和直线方程，得到坐标的关系，再计算，即可证明. 【详解】（1）∵抛物线经过点， 故，将点代入方程，， 即，得到. 所以，抛物线的标准方程为. （2）设交点A，B的坐标分别为. 则 联立抛物线和直线方程，得到. 即，. ∴. 故，得到. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $