专题9.3抛物线（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9.3·抛物线 【复习目标】 1.理解抛物线的定义和标准方程，能够根据条件写出抛物线的标准方程； 2.了解抛物线的性质：范围、对称性、顶点、离心率． 【考点 抛物线】 抛物线的标准方程和几何性质 1. 抛物线定义 定义：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离 的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.定点F到准线的距离为p. 2. 抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝ 准线 方程 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0 |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ 【即时训练】 1．若标准抛物线的焦点为，则它的方程是（　　） A． B． C． D． 2．下列各选项中，曲线类型判断正确的是（　　） A．是双曲线 B．是椭圆 C．是双曲线 D．是抛物线 3．已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．下列四个抛物线中，开口朝左的是（    ） A． B． C． D． 5．若抛物线上一点P到焦点的距离为4，则点P的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 6．顶点为原点，焦点为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则（   ） A． B． C． D． 8．抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 9．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 10．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 11．已知直线l过抛物线C的焦点，l与C交于A，B两点，若的最小值为6，P为C的准线上一点，则的面积为___． 12．抛物线：的焦点F，其准线过（-2，2），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则=_________ ; 弦AB的长为_________ ． 13．已知AB是抛物线的一条过焦点的弦，且，则AB的中点C的横坐标为__________. 14．已知点为抛物线的焦点，则点坐标为_________． 15．直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，若的中点的纵坐标2，则_____，直线的方程为______． 16．已知抛物线C：，其焦点到其准线的距离为2，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A，B两点， (1)求抛物线C的方程； (2)求． 17． 抛物线上一点到焦点的距离为，求该点到准线的距离. 18．已知抛物线的准线为，过点的直线与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设为坐标原点，判断直线与是否垂直，并说明理由. 1．（2026湖南对口升学考试第12题）已知抛物线的焦点为，则________． 2．（2023湖南对口升学考试第20题）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 3．（2020湖南对口升学考试第19题）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9.3·抛物线 【复习目标】 1.理解抛物线的定义和标准方程，能够根据条件写出抛物线的标准方程； 2.了解抛物线的性质：范围、对称性、顶点、离心率． 【考点 抛物线】 抛物线的标准方程和几何性质 1. 抛物线定义 定义：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.定点F到准线的距离为p. 2. 抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝__1__ 准线 方程 __x＝－__ __x＝__ __y＝－__ __y＝__ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0 |PF|＝__x0＋__ |PF|＝_－x0＋__ |PF|＝__y0＋__ |PF|＝_－y0＋__ 【即时训练】 1．若标准抛物线的焦点为，则它的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据焦点坐标求解抛物线的方程即可. 【详解】焦点为，焦点位于轴， 所以，方程为. 故选：C. 2．下列各选项中，曲线类型判断正确的是（　　） A．是双曲线 B．是椭圆 C．是双曲线 D．是抛物线 【答案】C 【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线的标准方程形式与特征判断曲线类型. 【详解】选项AD，对于方程，符合椭圆的标准方程（）， 所以该方程表示椭圆，而不是双曲线、抛物线，故AD选项错误； 选项B，对于方程，符合抛物线的形式， 所以它是抛物线，而不是椭圆，故B选项错误； 选项C，对于方程，符合双曲线（，）的形式， 所以它是双曲线，故C选项正确， 故选：C． 3．已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线方程化为标准式，结合开口向上的抛物线，其准线方程为，即可解得. 【详解】抛物线方程化为标准式为， 所以，即准线方程为. 故选：D. 4．下列四个抛物线中，开口朝左的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由抛物线的标准方程判断开口方向即可. 【详解】抛物线的开口朝右，抛物线的开口朝下，抛物线的开口朝左，抛物线的开口朝上. 故选：C. 5．若抛物线上一点P到焦点的距离为4，则点P的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程得到焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义，即可解得. 【详解】抛物线中，则焦点坐标为，准线方程为， 令点，则点P到焦点的距离为， 即，解得， 所以点P的横坐标为3. 故选：A. 6．顶点为原点，焦点为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题目条件，可设抛物物方程为，求出即可. 【详解】因为顶点为原点，焦点为，焦点在轴负半轴， 可设抛物物方程为，焦点为， 可得，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：. 7．已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为 ，准线为. 由抛物线定义，横坐标为 6 的点到焦点的距离等于到准线的距离， 即 ，解得. 故选：B. 8．抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义计算出结果. 【详解】抛物线，故， 抛物线准线方程， 点到焦点的距离为3，由抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，则点的纵坐标为. 故选：B 9．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的准线方程求解即可. 【详解】抛物线中，解得，所以准线方程为. 故选：C. 10．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点坐标、抛物线焦点与准线关系求解即可. 【详解】椭圆中，故左焦点为. 由抛物线焦点与准线的关系得准线方程为. 故选：B. 11．已知直线l过抛物线C的焦点，l与C交于A，B两点，若的最小值为6，P为C的准线上一点，则的面积为___． 【答案】9 【分析】首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半. 【详解】设抛物线的解析式， 则焦点为，对称轴为轴，准线为， 因为为通径时，取得最小值，此时为6， 所以，得到， 又点在准线上，过点作的垂线，垂直为， 所以， 即 . 故答案为：9.    12．抛物线：的焦点F，其准线过（-2，2），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则=_________ ; 弦AB的长为_________ ． 【答案】 4 【分析】先根据准线过（-2，2），可求，然后联立直线和抛物线方程，结合韦达定理可求弦长. 【详解】因为抛物线：的准线过（-2，2），所以，即. 由题意得直线，联立得， 设，则. 弦长. 故答案为： 4     . 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦长可由公式求得，侧重考查数学运算的核心素养. 13．已知AB是抛物线的一条过焦点的弦，且，则AB的中点C的横坐标为__________. 【答案】/ 【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解. 【详解】设点坐标，点坐标，则中点的横坐标为， ∵AB是抛物线的一条过焦点的弦，且， ∴根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 由题意可知， ∴， ∴， ∴. 故答案为:. 14．已知点为抛物线的焦点，则点坐标为_________． 【答案】 【分析】首先将抛物线化为标准方程，根据抛物线定义的4种形式，即可得出焦点的坐标. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为：， 其焦点在轴的正半轴上，则，， 所以焦点坐标为. 故答案是：. 15．直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，若的中点的纵坐标2，则_____，直线的方程为______． 【答案】 2 【解析】根据抛物线的焦点可得的值，设直线的方程为，联立方程，利用的中点的纵坐标即可得到直线方程. 【详解】由题意，抛物线的焦点，则，所以， 所以抛物线方程为， 设，，则，直线的方程为， 联立，消去整理得：， 由韦达定理得：，即， 所以直线的方程为. 故答案为：2，. 【点睛】本题主要考查抛物线的基本概念的掌握，以及解析几何的计算能力，韦达定理的应用，属于基础题. 16．已知抛物线C：，其焦点到其准线的距离为2，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A，B两点， (1)求抛物线C的方程； (2)求． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据抛物线的性质求出抛物线方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出弦长. 【详解】（1）因为抛物线C：, 所以焦点坐标为，准线方程为 . 已知焦点到其准线的距离为 2， 所以.则抛物线的方程为. （2）由（1）可知抛物线的焦点. 因为直线过焦点且倾斜角为，则直线的斜率. 根据点斜式方程直线，即. 将代入，可得，展开并整理得： . 设，由韦达定理可知. 根据抛物线的弦长公式. 17．抛物线上一点到焦点的距离为，求该点到准线的距离. 【答案】11 【分析】根据抛物线的定义求解. 【详解】根据抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，所以该点到准线的距离也为. 18．已知抛物线的准线为，过点的直线与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设为坐标原点，判断直线与是否垂直，并说明理由. 【答案】(1) (2)直线与垂直，理由见解析 【分析】（1）由抛物线的准线方程求得，即可得出抛物线的标准方程； （2）联立直线的方程与抛物线的方程，通过计算向量与的内积是否为来判断直线与是否垂直. 【详解】（1）由准线方程，得，． 抛物线C的标准方程为． （2）直线与垂直，理由如下： 设，，则，， 当直线的斜率存在时，设直线，即， 由，消元得. ，，， 由题意，异号，即，. ，故直线与垂直. 当直线的斜率不存在时，直线，此时两个交点分别为，， ， ，故直线与垂直. 综上所述，直线与垂直. 1．（2026湖南对口升学考试第12题）已知抛物线的焦点为，则________． 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点坐标得到p的值即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以，解得. 故答案为：2. 2．（2023湖南对口升学考试第20题）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点为，求出，进而写出抛物线的方程和其准线方程. （2）设，直线l为，联立直线l与抛物线方程，通过韦达定理来证明即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，则， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为. （2）当直线l斜率不存在时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线l斜率存在时，又直线l过点， 可设直线l方程，联立抛物线C方程可得 ，整理得， 设，则， 直线AE，BE的斜率分别为，，点， 所以 .    3．（2020湖南对口升学考试第19题）已知抛物线经过点 (1)求抛物线的标准方程 (2)直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、韦达定理在抛物线中的应用、向量垂直的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，即可求得参数，得到抛物线方程. （2）设立A，B的坐标，联立抛物线方程和直线方程，得到坐标的关系，再计算，即可证明. 【详解】（1）∵抛物线经过点， 故，将点代入方程，， 即，得到. 所以，抛物线的标准方程为. （2）设交点A，B的坐标分别为. 则 联立抛物线和直线方程，得到. 即，. ∴. 故，得到. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $