专题9.2双曲线（练习）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过挖空讲解与分层训练构建双曲线知识体系，实现从概念梳理到综合应用的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-7题|聚焦定义、标准方程，考查距离差绝对值、实虚轴等|从双曲线定义生成标准方程，建立a,b,c关系| |几何性质|8-15题|围绕渐近线、离心率，结合圆与轨迹方程|由方程推导渐近线、离心率公式，强化性质应用| |综合应用|16-21题及真题|涉及椭圆综合、焦点三角形、直线与双曲线位置关系|整合定义、性质解决复杂问题，体现模型观念与推理能力|

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9.2 ·双曲线 【考点 双曲线】 1．是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则的值为（   ） A．1 B．33 C．1或33 D．0 【答案】B 【分析】由双曲线的定义及几何性质即可得解. 【详解】由双曲线方程知， ，则. ∵是双曲线上一点， ∴， 又， ∴或. 又， ∴. 故选：B. 2．已知双曲线方程，，为两焦点，过作直线交双曲线的同一支于，两点，若，则的周长是（    ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】结合双曲线定义解题即可. 【详解】易知双曲线中，不妨将看做双曲线左焦点， 则由双曲线的定义可知：，， 即，， 则的周长为：. 故选：. 3．动点到的距离差的绝对值为，则对应双曲线中的值为（　　） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义即可得解. 【详解】动点到的距离差的绝对值为， 则对应双曲线中，解得， 故选：. 4．已知双曲线的左右焦点分别为，，点P为双曲线右支上一点，且，的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合双曲线的定义求得的长度，从而求得的值，进而求得双曲线的渐近线即可得解. 【详解】由题，双曲线的左右焦点分别为，， 所以，，因为，所以， 因为的周长为10， 所以，所以有，所以 双曲线内有，所以， 所以渐近线方程为. 故选：A. 5．若双曲线满足（其中为半焦距），则等于（　　） A．9 B．11 C．13 D．31 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程以及、、之间的关系求解. 【详解】对于双曲线，其焦点在轴上，其中，， 由，得，解得， 故选：C. 6．焦点在x轴上，实轴长为8，虚半轴长为3的双曲线标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出参数，进而求出双曲线的标准方程. 【详解】根据焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为. 由实轴长为8，所以.根据虚半轴长为3，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 7．若双曲线，则它的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程确定其焦点位置，再利用相应的渐近线方程公式来计算. 【详解】在双曲线中，，，可得，， 又双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程， 故选：A． 8．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据直线被圆截得的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离，进而可得，再根据双曲线离心率的公式可求解. 【详解】由于对称性，不妨设双曲线的一条渐近线方程为， 圆的方程可化为， 可知圆心坐标为，半径. 设圆心到渐近线的距离为，则有 ，解得. 所以，即. 所以. 故选：C 9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线方程求出易得答案. 【详解】由题意知双曲线的一条渐近线方程为，， 所以． 故选：D． 10．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等轴双曲线方程特点设其方程为，代入点即可求解. 【详解】因为双曲线的实轴和虚轴等长，故所求双曲线是等轴双曲线， 设其方程为，将点代入方程，可得， 所以双曲线方程为，即， 故选：D. 11．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________. 【答案】 【分析】根据双曲线经过的点和渐近线方程，列出关于，的方程，求出，的值，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】若双曲线的焦点在轴上，可设其方程为， 此时双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线经过点，其一条渐近线方程为， 所以，解得，， 故此时双曲线的方程为. 若双曲线的焦点在轴上，可设其方程为， 此时双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线经过点，其一条渐近线方程为， 所以，此方程组无解. 故答案为：. 12．双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【分析】由焦点在轴，根据，求出渐近线方程节课 【详解】由双曲线方程可知， 焦点在轴，，， ，， 渐近线方程为，，即， 故答案为：. 13．已知椭圆与双曲线的公共焦点为左焦点，右焦点，点是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则________，的值为________． 【答案】 / 【详解】因为，分别为左、右焦点，点在第一象限， 由椭圆与双曲线的定义可得，解得， 又，所以由余弦定理得， 故答案为：，. 14．是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则______. 【答案】9 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】是双曲线上一点，所以，所以， 由双曲线定义可知， 所以或者，又，所以， 故答案为：9. 15．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】结合双曲线的定义求解即可. 【详解】解：由知， 点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支， 得，， ，， 故动点的轨迹方程是． 故答案为：． 【考点 双曲线】 16．椭圆C：的离心率是，长轴长为10. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设分别为椭圆C的左右焦点，点P为椭圆C与双曲线D：在第一象限内的交点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求出即可； （2）由题意可得，椭圆C与双曲线D的焦点相同，根据椭圆及双曲线的定义列方程组求出，再根据余弦定理求解． 【详解】（1）由题可知，解得， 则椭圆C的标准方程为. （2）由双曲线D：知，双曲线D的焦点在x轴上，分别为和， 由（1）知椭圆C的标准方程为， 其焦点与双曲线D的焦点相同，分别为，. 因为点P为椭圆C与双曲线D在第一象限内的交点， 所以，解得， 所以.    17．双曲线C与椭圆有公共的焦点，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线上一点且，求的面积. 【答案】(1). (2)8. 【分析】（）求出椭圆的焦点坐标，根据共焦点设出双曲线的方程，将点代入曲线方程中，结合换元法即可得解. （）根据双曲线的定义及勾股定理列出方程组，求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）设椭圆参数为，双曲线参数为， 椭圆，焦点在上，，则， 椭圆焦点为， 故双曲线焦点在轴上且，设双曲线方程为， 把点代入得， 令，则，化简得， 解得（舍）或， 所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的标准方程为， 则， 根据双曲线定义和勾股定理列方程组得， 则，即， 解得， 所以. 18．已知双曲线与抛物线有共同的焦点，过双曲线的左焦点作倾斜角是的直线与双曲线交于，两个点. (1)求直线和双曲线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据抛物线的方程确定焦点坐标，得出双曲线中的值，再由双曲线的关系可求出的值，求出双曲线方程，再由直线的点斜式方程即可求出直线方程. （2）联立直线与双曲线方程，设，再运用韦达定理表示出，运用弦长公式求出，再求出点到直线的距离，最后由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）由抛物线，可得， 所以焦点，则双曲线中， 由双曲线，可得，所以， 双曲线方程为， 由直线倾斜角是，可得， 双曲线左焦点为 所以直线方程为，即. （2）由（1）可知，双曲线方程为， 直线方程为， 联立方程组得，消去得， 整理为， 设，所以， 则， 又到直线的距离为， 所以的面积为. 19．已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知双曲线的顶点和离心率，即可求出，即可得出双曲线方程； （2）先根据题意求出直线方程，求A，B两点的距离，即是求直线与双曲线截得的弦长. 【详解】（1）因为双曲线C：的离心率为， 点是双曲线的一个顶点， 所以，解得， 又因为， 所以双曲线的方程为：. （2）双曲线右焦点为，， 所以直线l的方程为. 联立, 设， 则， 根据双曲线的弦长公式得. 20．（1）已知双曲线上一点到和的距离之差的绝对值为6，求该双曲线的标准方程. （2）写出该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率和渐近线方程. 【答案】（1）；（2）答案件解析 【分析】（1）根据焦点坐标得到焦点位置和，结合，得到，即可解得. （2）根据双曲线的标准方程即可解得. 【详解】（1）因为双曲线焦点为和， 即，焦点在轴上， 又双曲线上一点到和的距离之差的绝对值为6， 所以，即， 即， 即双曲线的标准方程为. （2）由（1）可知双曲线的标准方程为， 所以实轴长为 虚轴长为 焦距为， 离心率， 渐近线方程为. 21．已知双曲线C：． (1)求双曲线C的焦点坐标及渐近线方程； (2)已知直线l过点，且与双曲线C交于A，B两点，若A，B两点关于点P对称，求直线l的方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由双曲线方程求出、、，并根据焦点位置写出焦点坐标和渐近线方程； （2）由题意设出直线方程，与双曲线联立，消元，利用韦达定理可得的表达式.根据点是线段AB的中点，可得的值，列式可求解. 【详解】（1）由已知可知 双曲线的焦点在x轴上，其中，， 所以， 从而，，. 故双曲线的焦点坐标为； 渐近线方程为即； （2）由A，B两点关于点P对称可知： 点是线段AB的中点.       设，， 由中点坐标公式有. 若直线的斜率不存在时， 则A，B两点不可能关于点P对称，     故直线的斜率一定存在，设直线方程为．     由可得 . 由题知且   ① , 即， 解得. 经检验符合①式. 故直线l的方程为，即. 1．（2024湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【详解】（1）双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； （2） 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 2．（2022湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【详解】（1）由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； （2）将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9.2 ·双曲线 【考点 双曲线】 1．是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则的值为（   ） A．1 B．33 C．1或33 D．0 2．已知双曲线方程，，为两焦点，过作直线交双曲线的同一支于，两点，若，则的周长是（    ） A． B． C．16 D． 3．动点到的距离差的绝对值为，则对应双曲线中的值为（　　） A．3 B．5 C．6 D．10 4．已知双曲线的左右焦点分别为，，点P为双曲线右支上一点，且，的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线满足（其中为半焦距），则等于（　　） A．9 B．11 C．13 D．31 6．焦点在x轴上，实轴长为8，虚半轴长为3的双曲线标准方程为（  ） A． B． C． D． 7．若双曲线，则它的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 8．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 10．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________. 12．双曲线的渐近线方程为__________. 13．已知椭圆与双曲线的公共焦点为左焦点，右焦点，点是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则________，的值为________． 14．是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则______. 15．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为__________． 【考点 双曲线】 16．椭圆C：的离心率是，长轴长为10. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设分别为椭圆C的左右焦点，点P为椭圆C与双曲线D：在第一象限内的交点，求的值. 17．双曲线C与椭圆有公共的焦点，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线上一点且，求的面积. 18．已知双曲线与抛物线有共同的焦点，过双曲线的左焦点作倾斜角是的直线与双曲线交于，两个点. (1)求直线和双曲线的方程； (2)求的面积. 19．已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长 20．（1）已知双曲线上一点到和的距离之差的绝对值为6，求该双曲线的标准方程. （2）写出该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率和渐近线方程. 21．已知双曲线C：． (1)求双曲线C的焦点坐标及渐近线方程； (2)已知直线l过点，且与双曲线C交于A，B两点，若A，B两点关于点P对称，求直线l的方程． 1．（2024湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 2．（2022湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $