专题9.2双曲线（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9.2 ·双曲线 【复习目标】 1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程； 2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；了解等轴双曲线的概念和特点. 【考点 双曲线】 一、双曲线的标准方程和几何性质 1. 双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离 等于非零常数2（||>2）的点P的轨迹叫做双曲线，即 ,其中两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离||叫做焦距. 注意： ①，曲线仅表示焦点所对应的一支； ②，曲线仅表示焦点所对应的一支； ③||，动点P的轨迹表示以为端点向外的两条射线； ④||，动点P无轨迹. （2） 双曲线的标准方程 ①焦点在x轴上时，标准方程为 ； ②焦点在y轴上时，标准方程为 . 双曲线焦点位置：由x，y的二次项系数为正的那一项决定. 2. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1 ， A2 顶点坐标： A1 ， A2 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 ，它的长|A1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲线的 ，它的长|B1B2|＝ ；a叫做双曲线的 ，b叫做双曲线的 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为 二、常见双曲线方程的设法 1.共渐近线系双曲线 与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为 ; 渐近线方程为的双曲线方程可设为 2.等轴双曲线设法 ，渐近线方程为 【即时训练】 1．到两定点，距离的差的绝对值为4的点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．双曲线 的虚轴长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．18 5．双曲线 的实轴长为（　　） A．14 B．7 C． D．24 6．已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．焦距是10，离心率是，焦点在轴上的双曲线方程是（   ）． A． B． C． D． 8．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线，其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知双曲线的方程为,过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与该双曲线右支有且只有一个交点,则该双曲线的离心率的取值范围为_________ 12．双曲线的上顶点坐标为______. 13．双曲线的焦点为，，若双曲线上一点到焦点的距离为4，则点到焦点的距离为_____. 14．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________． 15．双曲线的焦距为______. 16．已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过该双曲线的左焦点与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，求的大小. 17．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值． 18．已知双曲线的离心率为2，且双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率为的直线交双曲线于两点，且与轴交于点，若为的中点，求直线的方程． 1．（2024湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 2．（2022湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9.2 ·双曲线 【复习目标】 1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程； 2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；了解等轴双曲线的概念和特点. 【考点 双曲线】 一、双曲线的标准方程和几何性质 1. 双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于非零常数2（||>2）的点P的轨迹叫做双曲线，即,其中两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离||叫做焦距. 注意： ①，曲线仅表示焦点所对应的一支； ②，曲线仅表示焦点所对应的一支； ③||，动点P的轨迹表示以为端点向外的两条射线； ④||，动点P无轨迹. （2） 双曲线的标准方程 ①焦点在x轴上时，标准方程为； ②焦点在y轴上时，标准方程为. 双曲线焦点位置：由x，y的二次项系数为正的那一项决定. 2. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1__(－a,0__， A2__(a,0__ 顶点坐标： A1__(0，－a__， A2__(0，a__ 渐近线 y＝__±x__ y＝__±x__ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；a叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__ a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__ 二、常见双曲线方程的设法 1.共渐近线系双曲线 与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为; 渐近线方程为的双曲线方程可设为. 2.等轴双曲线设法 ，渐近线方程为 【即时训练】 1．到两定点，距离的差的绝对值为4的点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可得动点的轨迹方程为双曲线，设出双曲线坐标求解即可 【详解】由题设可知动点的轨迹方程为焦点在轴上的双曲线， 设动点的轨迹方程为， 由题设知， 则动点的轨迹方程为：， 故选：A 2．过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，再得出的值，再由双曲线的定义即可求出的周长. 【详解】由双曲线，得， 所以，则，， ，， 由，可得， 则的周长为： . 故选：C. 3．双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程得到，即可求解. 【详解】双曲线化为标准式为， 所以， 得到，即离心率. 故选：D. 4．双曲线 的虚轴长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．18 【答案】A 【分析】先根据双曲线的方程求出，再由虚轴的定义可得结果. 【详解】由双曲线的方程可知，， 所以，虚轴长为. 故选：A. 5．双曲线 的实轴长为（　　） A．14 B．7 C． D．24 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质可求解. 【详解】由双曲线的方程可知，， 所以，实轴长为. 故选：A 6．已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合双曲线的性质及渐近线方程列出方程组求出的值即可得解. 【详解】    如图所示，由为直径的圆和双曲线的渐近线的一个交点为，所以圆的半径为， 由图像可知，点在渐近线上， 则，解得， 双曲线方程为 故选：B. 7．焦距是10，离心率是，焦点在轴上的双曲线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的焦距与离心率得到，即可解得. 【详解】因为双曲线焦距，即， 离心率，即，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以双曲线方程为. 故选：D. 8．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解. 【详解】解：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为， 代入点，得，解得， 所以所求双曲线方程为. 故选：B. 9．已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 10．已知双曲线，其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据标准方程与渐近线方程的关系求解. 【详解】双曲线的焦点在轴上，其中，，可得，， 所以该双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 11．已知双曲线的方程为,过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与该双曲线右支有且只有一个交点,则该双曲线的离心率的取值范围为_________ 【答案】 【分析】由直线与双曲线的位置关系及离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线的方程为的右焦点为,过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与该双曲线右支有且只有一个交点. 则该直线的斜率小于等于渐近线斜率的绝对值. 直线的斜率为,渐近线斜率的绝对值为. 所以. 则且. 所以. 所以离心率的取值范围为. 故答案为:. 12．双曲线的上顶点坐标为______. 【答案】 【分析】根据题意求出值即可得解. 【详解】双曲线，焦点在轴上，且， 所以上顶点坐标为， 故答案为：. 13．双曲线的焦点为，，若双曲线上一点到焦点的距离为4，则点到焦点的距离为_____. 【答案】20 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线中，解得. 因为双曲线上一点到焦点的距离， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：20. 14．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点位置可得，解不等式组可求解. 【详解】由题知， 解得. 故答案为： 15．双曲线的焦距为______. 【答案】10 【分析】根据双曲线方程求出值即可得解. 【详解】双曲线中，， 则，解得， 所以焦距为， 故答案为：. 16．已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过该双曲线的左焦点与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为，再将点代入计算即可. （2）先由（1）求出的双曲线方程求出左焦点的坐标，因直线过左焦点与轴垂直，即两点的横坐标与左焦点的横坐标相同，再算出两点的纵坐标，即可知道. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，即， 所以可设双曲线的方程为， 则，解得. 因此双曲线的标准方程为，即. （2）在双曲线中，因为，， 所以双曲线的左焦点为. 当时，，解得. 因此，. 17．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及双曲线过点列方程求解即可. （2）联立两方程，根据判别式为0求解即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 则，． 因为点在双曲线上， 所以，解得，． 故双曲线的标准方程为． （2）由得， 所以． 解得． 因此，实数的值为或．    18．已知双曲线的离心率为2，且双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率为的直线交双曲线于两点，且与轴交于点，若为的中点，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据双曲线的离心率得到关系，再根据曲线上点的坐标，即可求解. （2）设直线方程，与双曲线方程联立，由根与系数的关系求解参数，即可得到直线方程. 【详解】（1）设双曲线C的焦距为2c，而在双曲线中，，则 ，， 即. 所以双曲线C的方程可化为. 将点代入得，. 故双曲线C为标准方程为，. （2）设. 由于Q为PM的中点，所以. 设直线的方程为. 由得， ， 由根与系数的关系可得，. ∵，∴，得到. ，得到，即，∴. 故直线的方程为或. 1．（2024湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【详解】（1）双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； （2） 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 2．（2022湖南对口升学考试第20题）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【详解】（1）由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； （2）将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $