专题9.1椭圆（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9.1 ·椭圆 【复习目标】 1.理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程； 2.了解椭圆的性质：范围、对称性、顶点、长轴和短轴、离心率； 【考点 椭圆】 一、椭圆的标准方程和几何性质 1.椭圆的定义 椭圆的定义平面内与两个定点的距离 为常数（大于||）的点的估计（或集合）叫做椭圆.即 .其中两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离 叫做焦距. 注意：当时，动点P的轨迹表示椭圆； 当时，动点P的轨迹表示线段； 当时，动点P无轨迹. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0，A2(a,0 B1(0，－b，B2(0，b A1(0，－a，A2(0，a B1(－b,0，B2(b,0 轴 长轴A1A2的长为 ； 短轴B1B2的长为 焦距 |F1F2|＝ 离心率 e＝ ∈(0,1 a、b、c 的关系 二、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ 0 相切 一解 Δ 0 相离 无解 Δ 0 【即时训练】 1．椭圆的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．若椭圆的短轴端点为，则短轴长是（　　） A． B． C． D． 3．椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．椭圆中，若，则右顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 5．点在椭圆上，若两焦点为，且椭圆中，则（　　） A． B． C． D． 6．椭圆的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 7．设动点到的距离和为，则它所在椭圆的标准方程可为（　　） A． B． C． D． 8．两个焦点相距，若某动点到两焦点的距离和固定为下列数值，其中不能形成椭圆的是（　　） A．10 B．12 C．14 D．6 9．若表示焦点在轴的椭圆，且，则等于（　　） A．4 B．12 C．20 D．24 10．“”是“方程表示椭圆”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．焦点在轴上，的椭圆标准方程为______. 12．椭圆中，______，______. 13．若椭圆的焦点在轴上，则与的大小关系是______. 14．椭圆 中，______. 15．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 _________. 16．已知椭圆. (1)求长轴长和短轴长； (2)求两个焦点坐标. 17．已知椭圆的标准方程为， (1)求椭圆的离心率； (2)设方程为的直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 18．已知椭圆的长轴顶点在轴上，且长轴顶点坐标为，焦点坐标为.求： (1)该椭圆的标准方程； (2)该椭圆的离心率. 19．已知椭圆C的两焦点分别为、，长轴长为6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过点且斜率为1的直线交椭圆C于两点，求线段的长． 1．（2026湖南对口升学考试第9题）椭圆与椭圆的（    ） A．焦距相等 B．长轴长相等 C．短轴长相等 D．离心率相等 2．（2025湖南对口升学考试第19题）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 3．（2021湖南对口升学考试第20题）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线与椭圆相交于两点，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9.1 ·椭圆 【复习目标】 1.理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程； 2.了解椭圆的性质：范围、对称性、顶点、长轴和短轴、离心率； 【考点 椭圆】 一、椭圆的标准方程和几何性质 1.椭圆的定义 椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和为常数（大于||）的点的估计（或集合）叫做椭圆.即.其中两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距. 注意：当时，动点P的轨迹表示椭圆； 当时，动点P的轨迹表示线段； 当时，动点P无轨迹. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0，A2(a,0 B1(0，－b，B2(0，b A1(0，－a，A2(0，a B1(－b,0，B2(b,0 轴 长轴A1A2的长为__2a__； 短轴B1B2的长为__2b__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 离心率 e＝____∈(0,1 a、b、c 的关系 __c2＝a2－b2__ 二、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ__>__0 相切 一解 Δ__＝__0 相离 无解 Δ__<__0 【即时训练】 1．椭圆的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出值即可得解. 【详解】椭圆，焦点在轴上，且， 则，解得， 所以焦点坐标为， 故选：. 2．若椭圆的短轴端点为，则短轴长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆的性质即可得解. 【详解】椭圆的短轴端点为，则短轴长是. 故选：. 3．椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出的值，代入离心率公式即可得解. 【详解】椭圆，则，， ，解得， 所以离心率为. 故选：. 4．椭圆中，若，则右顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质即可得解. 【详解】椭圆中，，则焦点在轴上， 所以右顶点坐标是. 故选：. 5．点在椭圆上，若两焦点为，且椭圆中，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】椭圆上点到两焦点距离之和等于，所以． 故选：C. 6．椭圆的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆中的关系求出，进而可得焦点坐标. 【详解】椭圆中，， 则 ，即， 因为焦点在轴上，所以焦点坐标为. 故选：B. 7．设动点到的距离和为，则它所在椭圆的标准方程可为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解的值，再结合椭圆的焦点位置求解即可. 【详解】因为动点到的距离和为， 所以可知，，且焦点位于轴， 所以， 故椭圆的标准方程为. 故选：A. 8．两个焦点相距，若某动点到两焦点的距离和固定为下列数值，其中不能形成椭圆的是（　　） A．10 B．12 C．14 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，即某动点到两焦点的距离和需大于两焦点间距离，由此判断选项即可. 【详解】根据椭圆的定义可知，某动点到两焦点的距离和需大于8， ABC选项均满足题意，D选项小于8，不满足题意. 故选：D. 9．若表示焦点在轴的椭圆，且，则等于（　　） A．4 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据椭圆的焦点在轴，可得，再由椭圆中的位置关系求解即可. 【详解】因为表示焦点在轴的椭圆， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 10．“”是“方程表示椭圆”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若方程表示椭圆，需满足，解得且，故必要性成立； 当时，方程为，表示圆，不是椭圆，故充分性不成立； 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 11．焦点在轴上，的椭圆标准方程为______. 【答案】 【分析】根据题意即可写出椭圆的标准方程. 【详解】焦点在轴上，的椭圆标准方程为， 故答案为：. 12．椭圆中，______，______. 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出的值即可得解. 【详解】椭圆， 则，， 故答案为：；. 13．若椭圆的焦点在轴上，则与的大小关系是______. 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程与焦点的位置关系即可得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上，则， 故答案为：. 14．椭圆 中，______. 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解. 【详解】在椭圆中，， 所以，解得. 故答案为：. 15．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是 _________. 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可列式求解. 【详解】由题意，若方程表示椭圆，需满足， 解得，且， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 16．已知椭圆. (1)求长轴长和短轴长； (2)求两个焦点坐标. 【答案】(1)长轴长，短轴长 (2) 【分析】（1）根据椭圆方程求出值即可得解. （2）根据椭圆方程求出值即可得解. 【详解】（1）椭圆，则，， 所以长轴长，短轴长为. （2）由（1）知，，解得， 又因为椭圆焦点在轴上， 所以焦点坐标为. 17．已知椭圆的标准方程为， (1)求椭圆的离心率； (2)设方程为的直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆标准方程确定的值，计算后代入离心率公式求解即可. （2）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、点到直线距离公式表示三角形面积，再用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由，可得， ，所以， 所以离心率为. （2）设， 联立直线与椭圆方程， 整理得， 直线与椭圆有两个交点， 故判别式， 解得，即， 由韦达定理得，， 原点到直线 的距离为， 弦长， 所以的面积为， 则 ， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 此时的面积为，即面积的最大值为1.    18．已知椭圆的长轴顶点在轴上，且长轴顶点坐标为，焦点坐标为.求： (1)该椭圆的标准方程； (2)该椭圆的离心率. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质求出的值即可得解. （）利用离心率公式即可得解. 【详解】（1）椭圆的长轴顶点在轴上，且长轴顶点坐标为，焦点坐标为， 则，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（）可知，， 则离心率为. 19．已知椭圆C的两焦点分别为、，长轴长为6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过点且斜率为1的直线交椭圆C于两点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据椭圆的性质求出的值即可得解. （）根据题意写出直线的点斜式方程，联立方程组，代入弦长公式即可得解. 【详解】（1）由、，长轴长为6，得：，， 则，所以， 椭圆方程为. （2）过点且斜率为1的直线方程为，则， 联立方程组， 设， ，， 又 ． 1．（2026湖南对口升学考试第9题）椭圆与椭圆的（    ） A．焦距相等 B．长轴长相等 C．短轴长相等 D．离心率相等 【答案】A 【分析】分别计算两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，对比各选项即可得解. 【详解】对于椭圆： 因为，所以焦点在轴上，可得，， 可得，则， 长轴长，短轴长，离心率，焦距. 对于椭圆： 因为，所以焦点也在轴上，此时，， 可得，则， 长轴长，短轴长，离心率，焦距， 比较两个椭圆的参数： 长轴长：，， 因为，显然当且时，；当时，； 短轴长：，， 因为，显然当且时，；当时，， 离心率：，， 因为，显然当且时，；当时，， 焦距：，，所以，即两个椭圆的焦距相等， 故选：A. 2．（2025湖南对口升学考试第19题）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 （2）由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 3．（2021湖南对口升学考试第20题）已知椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线与椭圆相交于两点，求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）由椭圆的标准方程,离心率公式即可得解. （2）由直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点,且离心率为. 所以 解得 所以椭圆的标准方程为. （2）设. 所以. 联立方程得. 所以. 所以 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $