专题8.4直线与圆的位置关系（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8.4 ·直线与圆的位置关系 【复习目标】 理解直线与圆的位置关系的判定，理解直线与圆相切的含义． 【考点 直线与圆的位置关系】 一、直线与圆的位置关系 图形 代数法（解方程组） 几何法 应用 圆上的点到直线的最短距离为，最大距离为 求切线方程 弦长公式： 2、 弦长公式 斜率为k的直线与圆交于M，N亮点，则求弦长|MN|有两种方法: ①几何法：根据弦心距d、半径r以及半弦长构成直角三角形，可得弦长 ②代数法：设直线与圆相交于两点，则截得的弦长或 【即时训练】 1．某直线路径与圆形区域的关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．重合 2．已知圆，直线，则圆M上到直线l的距离等于1的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 4．若直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 5．直线 与圆 相交，则 的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D． 或 6．设为坐标原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（    ） A．2 B． C． D． 7．过点作圆的切线，则切线长为（ ） A． B．4 C． D． 8．直线被圆所截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 9．过点且与圆相切的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 10．过圆外一点作圆的切线，则切线方程为（     ） A．或 B．或 C． D．或 11．若圆与直线相离，则满足______. 12．直线 与圆 的位置关系为______. 13．已知圆，圆C以为中点的弦所在直线的斜率________． 14．直线与圆相交所得的弦长为______. 15．若直线与圆相切，则______. 16．已知直线与圆相切于点，圆心的坐标为. (1)求圆的半径； (2)求点的坐标. 17．已知圆与直线相交于点和． (1)求圆的圆心坐标、半径； (2)求． 18．已知点，． (1)求经过点A且以点B为圆心的圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，已知直线与圆相交于点，且弦长，求b的值． 19．已知直线与圆. (1)当时，判断直线与圆的位置关系； (2)当为何值时，直线与圆相切？ 1．（2026湖南对口升学考试第19题）已知点，点，动点满足． (1)求的轨迹的方程； (2)若过的直线交于、两点，且的面积为，求的方程． 2．（2025湖南对口升学考试第8题）已知直线与圆相切，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024湖南对口升学考试第15题）已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 4．（2023湖南对口升学考试第14题）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则 ． 5．（2022湖南对口升学考试第10题）己知点P在直线上，点Q在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2020湖南对口升学考试第15题）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则所在的直线方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8.4 ·直线与圆的位置关系 【复习目标】 理解直线与圆的位置关系的判定，理解直线与圆相切的含义． 【考点 直线与圆的位置关系】 一、直线与圆的位置关系 图形 代数法（解方程组） 几何法 应用 圆上的点到直线的最短距离为，最大距离为 求切线方程 弦长公式： 2、 弦长公式 斜率为k的直线与圆交于M，N亮点，则求弦长|MN|有两种方法: ①几何法：根据弦心距d、半径r以及半弦长构成直角三角形，可得弦长 ②代数法：设直线与圆相交于两点，则截得的弦长或 【即时训练】 1．某直线路径与圆形区域的关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．重合 【答案】C 【分析】先求出圆心到直线的距离，与半径作比较，即可判断直线与圆的关系 . 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 2．已知圆，直线，则圆M上到直线l的距离等于1的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先确定圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再判断与直线距离为1的两条平行线和圆的交点总数即可. 【详解】由圆， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 圆上到直线距离为1的点， 是与平行且距离为1的两条直线和圆的交点， 若平行线靠近圆心一侧， 则平行线到圆心的距离为， 故该直线与圆有2个交点， 若平行线远离圆心一侧， 则平行线到圆心的距离为， 故该直线与圆有2个交点， 因此满足条件的点有个， 故选：D. 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【答案】C 【分析】将直线方程变形确定其恒过的定点，验证该定点为圆的圆心，即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】直线， 可化为， 令，解得， 所以直线过定点， 因为圆的圆心为， 所以直线过圆的圆心，与圆相交， 故选：C. 4．若直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径求解的值. 【详解】已知圆的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，即，解得， 故选：A. 5．直线 与圆 相交，则 的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】由直线与圆相交可知圆心到直线的距离小于半径，由此列不等式求解即可. 【详解】已知直线 与圆 相交， 圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为， 即，得 ， 所以 ，解得 或 ， 所以 的取值范围是 或 . 故选：D. 6．设为坐标原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线性质构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长即可. 【详解】如图所示，    由圆的圆心坐标为，半径，则， 因为OP与圆C相切，切点为点P，则， 在中， . 故选：A. 7．过点作圆的切线，则切线长为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求解圆的圆心和半径，再求解圆心与点的长度，再由勾股定理求解即可. 【详解】圆的方程为， 则圆心，半径. 又点，则. 故切线长为. 故选：D. 8．直线被圆所截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，代入弦长公式即可得解. 【详解】圆，则圆心为，半径为2， ∴圆心到直线的距离， ∴弦长为． 故选：D. 9．过点且与圆相切的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心坐标为：，半径， 将点代入圆的方程得：，所以点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时不符合直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为：，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得：，解得：. 故选：C. 10．过圆外一点作圆的切线，则切线方程为（     ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论切线的斜率是否存在，根据圆心到切线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当切线斜率不存在时：切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当切线斜率存在时：设切线方程为，即， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得：，解得， 则切线方程为， 综上，切线方程为或， 故选：A. 11．若圆与直线相离，则满足______. 【答案】或 【分析】通过圆心到直线的距离与半径的大小关系，列出不等式求解. 【详解】已知圆的方程为，则圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为圆与直线相离，所以，即，解得或， 故答案为：或. 12．直线 与圆 的位置关系为______. 【答案】相切 【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆圆心，半径， 圆心到直线距离为， 所以直线与圆相切. 故答案为：相切 13．已知圆，圆C以为中点的弦所在直线的斜率________． 【答案】2 【分析】根据圆的垂径定理，圆心与弦中点的连线与弦所在直线垂直，斜率乘积为，据此计算弦的斜率. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 设弦中点的坐标为， 则， 根据垂径定理，可得直线与弦所在直线垂直， 所以，即，所以. 故答案为：2. 14．直线与圆相交所得的弦长为______. 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径，利用弦长公式计算弦长. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 所以弦长. 故答案为：. 15．若直线与圆相切，则______. 【答案】 【分析】根据相切可知圆心到直线的距离为半径即可得解. 【详解】圆，则圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切， 则，解得， 故答案为：. 16．已知直线与圆相切于点，圆心的坐标为. (1)求圆的半径； (2)求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意利用点到直线距离公式即可得解. （）根据垂直的性质求出直线的斜率，即可写出直线的方程，联立方程组即可得解. 【详解】（1）直线与圆相切于点，圆心的坐标为， 则圆的半径为. （2）因为直线，所以直线斜率为， 所以直线的斜率为， 则直线方程为， 联立方程组，解得， 所以点的坐标为. 17．已知圆与直线相交于点和． (1)求圆的圆心坐标、半径； (2)求． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2) 【分析】（1）先将圆的一般方程配方转化为标准方程，得到圆心坐标和半径即可. （2）首先计算圆心到直线的距离，结合弦长公式求解弦长即可. 【详解】（1）已知圆， 则，即， 所以圆心为，半径为. （2）由（1）可知，圆心为， 则圆心到直线的距离， 所以弦长. 18．已知点，． (1)求经过点A且以点B为圆心的圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，已知直线与圆相交于点，且弦长，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先计算圆心到点的距离得到半径，代入圆的标准方程即可求解. （2）用圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再结合点到直线的距离公式列方程求解的值 【详解】（1）已知点，， 因为圆经过点A且以点B为圆心， 所以半径， 所以圆的标准方程为. （2）已知直线，即， 则圆心到直线的距离为， 因为弦长，则， 即，解得，则， ，解得或. 19．已知直线与圆. (1)当时，判断直线与圆的位置关系； (2)当为何值时，直线与圆相切？ 【答案】(1)相切 (2) 【分析】（1）通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断直线与圆的位置关系； （2）根据直线与圆相切的条件列方程求解. 【详解】（1）圆的方程为，圆心，半径， 当时，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为，，所以， 故直线与圆相切. （2）直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，即， 则. 1．（2026湖南对口升学考试第19题）已知点，点，动点满足． (1)求的轨迹的方程； (2)若过的直线交于、两点，且的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点的坐标，代入两点距离公式化简得到轨迹方程； （2）设直线的斜率，结合圆的弦长公式、点到直线距离公式，利用三角形面积列方程求解斜率，得到直线方程. 【详解】（1）设动点， 由两点间距离公式得： 由题设，即， 两边平方得：， 展开整理得：，即为轨迹的方程. （2）当直线的斜率不存在时，直线为， 代入圆的方程得，无实数解，故直线的斜率必存在. 设直线的斜率为， 由直线过，得直线的方程为，即， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由直线与圆相交得，即，解得， 弦长 点到直线的距离 由，代入得：， 化简得，即，解得，满足， 所以直线的方程为， 即直线的方程为或. 2．（2025湖南对口升学考试第8题）已知直线与圆相切，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系，及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 所以. 故选：A. 3．（2024湖南对口升学考试第15题）已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】8 【分析】先求出圆心到直线的距离和圆心的半径，再由点在圆运动可得，点到直线的距离的最大值为，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为点在圆上运动， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为：. 4．（2023湖南对口升学考试第14题）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，由点到直线距离公式求弦心距，再结合垂径定理即可求得. 【详解】圆C：可化为， 圆心坐标，半径， 直线l：，即， 由点到直线距离公式可得弦心距 ， 所以. 故答案为：. 5．（2022湖南对口升学考试第10题）己知点P在直线上，点Q在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断直线与圆的位置关系，进而求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 则的最小值为， 故选：C 6．（2020湖南对口升学考试第15题）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则所在的直线方程为 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程、由标准方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】先根据圆的方程得到半径和圆心，再根据圆外的点与圆相切于A，B，得到一个切点的坐标，以及，再根据的斜率求得的斜率，即可得到直线方程. 【详解】∵圆的圆心为，半径， 而过点作圆的两条切线，交点为A，B， ∴， 且得到一条切线方程为，故切点坐标为. 根据点，得到， 即可得到. 令所在的直线方程为，代入， 即，得到. 所以，直线方程为，即. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $