专题06图形变换、相似与解直角三角形（5年汇编）（新疆专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦新疆中考5年真题与模拟题，精编图形变换、相似及解直角三角形专题，考点覆盖全面，情境融合地域文化（如民族纹样、烽燧测量）与生活实际。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|轴对称识别（交通标志）、三视图（正方体组合）|基础送分题，侧重概念辨析| |填空|约8题|平移旋转坐标变换、折叠计算|中等难度，结合几何图形性质| |解答|约10题|相似与圆/函数综合、解直角三角形（航海/建筑测量）|高频重难点，需构造辅助线，区分度强|

专题06 图形变换、相似与解直角三角形 5年真题1年模拟 考点分类 新疆考情（2022-2026） 命题规律 考点01 轴对称、中心对称识别 2025年新疆卷、 2023年新疆卷 以选择题为主，常结合仪器、交通标志、民族纹样情境，考查轴对称、中心对称图形识别。难度较低，侧重概念辨析，直接根据折叠、旋转重合判断，较少结合复杂计算，属于试卷基础得分点。 考点02 图形平移、旋转的性质与计算 2026年新疆卷、 2024年新疆卷、 2023年新疆卷、 2022年新疆卷 题型覆盖选择、填空、解答，平面直角坐标系中考查点平移、对称坐标变换；大题常结合折叠、旋转，融合平行四边形、正方形。重视变换前后对应边、对应角相等，综合性强，常作为几何探究题素材，区分度中等。 考点03 相似三角形判定、性质与简单综合 2026年新疆卷、 2025年新疆卷、 2024年新疆卷、 2023年新疆卷、 2022年新疆卷 高频重难点，多在解答大题出现，重点考查相似三角形判定定理以及相似对应边成比例。常和圆、反比例函数、等腰三角形综合，需要添加辅助线构造相似，计算量大，是试卷重要拉分题型。 考点04 解直角三角形实际应用 2026年新疆卷、 2025年新疆卷、 2024年新疆卷、 2023年新疆卷、 2022年新疆卷 解答必考题型，以仰角俯角、方位角为背景，结合本地实景如烽燧、航海、测量建筑物高度命题。核心考查构造直角三角形，灵活运用三角函数，读懂实际情境转化几何模型，参考数据会直接给出。 考点05 投影与三视图 2024年新疆卷 以选择题考查，重点识别几何体的主视图、俯视图，由小正方体组合几何体判断视图。题目难度小，只需要具备基础空间想象能力，属于基础送分小题，极少出现在解答题。 考点01 轴对称、中心对称识别 1．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新疆·中考真题）下列交通标志中是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点02 图形平移、旋转的性质与计算 1．（2026·新疆·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·新疆·中考真题）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（　　 ） A． B． C． D． 4．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为______．    5．（2022·新疆·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则______． 6．（2022·新疆·中考真题）如图，在中，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．    (1)当时，___________； (2)探究与之间的数量关系，并给出证明； (3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式． 考点03 相似三角形判定、性质与简单综合 1．（2026·新疆·中考真题）如图，等边的面积为，边与双曲线相交于点，且，则____________． 2．（2026·新疆·中考真题）已知，在 中，，，点D为上一点，，现将绕着点D旋转，交于点F，交 于点E． (1)如图1，当点D为中点时，猜想，之间的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当时，猜想 ，，之间的数量关系，并进行证明； (3)如图3，当时，猜想 ，，之间的数量关系，并进行证明． 3．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 4．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（2023·新疆·中考真题）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 7．（2022·新疆·中考真题）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求DB的长． 考点04 解直角三角形实际应用 1．（2023·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则______．     2．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 3．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 4．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺． （2）实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为． （3）计算旗杆高度 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ； ②根据测量数据，画出示意图4，，求旗杆的高度（精确到）；（参考数据：，，，，，） ③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法． 5．（2023·新疆·中考真题）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参考数据：，，，，，）    6．（2022·新疆·中考真题）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：） 考点05 投影与三视图 1．（2024·新疆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·新疆喀什·一模）下列新疆经典纹样图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·新疆喀什·一模）在平面直角坐标系中，将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是______． 6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，矩形中，，将该矩形绕着点旋转，得到四边形，使点在直线上，那么线段的长度是_____． 8．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_________． 9．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在四边形中，已知，，．在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点．连接交于点，连接．当点在线段上运动（不与、重合）时，线段的最小值为______________． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 三、解答题 11．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）计算及化简求值： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 12．（2026·新疆哈密·三模）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 13．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）解答下列问题 (1)求满足不等式组的所有整数解的和． (2)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． ①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； ②将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心，并写出点的坐标． 14．（2026·新疆昌吉·模拟预测）如图，为的直径，交于点，分别交、于、，交于点、，，且、恰好是关于的方程的两根（其中为实数）． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 15．（2026·新疆昌吉·模拟预测）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量公园内一棵垂直于地面的古树高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 ．站在与上坡顶部同一水平面的处，人的身高忽略不计，视线恰能看到树顶部处； ．测量，两点间的距离； ．用测角仪测得从处看树顶部处的仰角； ．向前进至点处时，此时用测角仪测得从处看树顶部处的仰角；用测角仪测得从处看树底部处的俯角（此时、、三点在同一直线上）． 实验图示    测量数据 ． 2． 3． 4． 备注 ．图上所有点均在同一平面内； 2．与地面垂直，与地面平行． 参考数据：，，；，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算古树的高度的值． 16．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的关系． 【问题探究】 (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；数量关系： ； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 (3)当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06图形变换、相似与解直角三角形 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01轴对称、中心对称识别与性质 1.C 2.B 考点02图形平移、旋转的性质与计算 1.D 2.C 3.A 4.37-3-3+5 6.(1)60 (2)∠AEB=30°+∠CAD 6)y=(2V5-2+4 考点3相似三角形判定、性质与简单综合 4v3 2.(I)解：猜想DE=DF,证明如下： 如图所示，连接CD, 1/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 23 D B 图1 :AC=BC,∠ACB=90°，点D为AB中点， ∠A=∠B=45,CD1AB, CD=AB=AD=BD ∴.∠DCE=∠B=45° .∠DCE=∠A」 :∠EDF=90°， .∠1=∠3=90°-∠2， :△ADF≌aCDE(AA) .DE DF: BE+2AF-212 AB (2)解：猜 ,证明如下： 如图所示，过点D作DM⊥AC,DN⊥BC,垂足分别为M,N,则∠DMF=∠DNE=∠DNC=90°， 图2 由(1)知∠A=∠B=45°， △AMD,△BND为等腰直角三角形，则AM=MD,DN=BN, AM=MD=ADxsind= -AD 2 N-BN-BD 同理 2 2/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BD=2AD, .DN =2DM, :∠C=90°， .∠MDN=360°-90°-90°-90°=90°， .∠EDF=90° .∠1=∠2=90°-∠FDN, .△DMF∽aDNE DM MF 1 ∴·DNNE2 .NE =2MF: AF AM+MF,BE BN-NE. : AD+MF BE-BD-NED 2 2 :2AF=V2AD+2MF② BE+24F4DBDADX24D-24D 由①+②得， 2 .BD+AD=2AD+AD=AB, AD=14B 3 BE+24F2D8 3 E+DA )解：猜想 n+1,证明如下： 如图所示，过点D作DM⊥AC,DN⊥BC,垂足分别为M,N, D 图3 3/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM=MD-AD DN=BN=BD 同(2)可得 2 2 .BD=nAD, ∴.DN=nDM, 同(2)可证明△DMF∽aDNE DM MF 1 ·DN NE n .NE =nMF, AF AM+MF,BE BN-NE. .AF=2AD+MFBE=2BDVE② 2 2 urs 2nHD+nMr② 由①+②得 ,BE+AF=巨n nADBD=V2 2 2nD+2 ×nAD=V2nAD 2 .BD+AD=nAD+AD=AB. 4D=14B n+1 .BE+nAF=n4D=Vinx14B BE+n4F=2n4 n+1 ,即1 n+1 2 3.①=2 2)BN=3-V5 0 4.(1)证明：连接OC, 4/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CF⊥AB于点F, .∠CFE=90°， ∠COE=2∠A,∠FCE=2∠A ∴.∠COE=∠FCE, :∠E=∠E ..ACOEAFCE, ∴.∠OCE=∠CFE=90°， 即OC⊥CE :OC是⊙0的半径， .CE是OO的切线： 3 2)4 5.Q)证明：AD=BD ∴.∠ACD=∠BCE, 又∠ADC=∠ABC. .△ACDAECB: e25 6.(1)证明：如图所示，连接0C, D GO .OC=0A. 5/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠OAC=∠OCA, FC=F元 ∴.∠FAC=∠FBC :LCBF=∠BAC, .∠FAC=∠CAB」 .∠FAC=∠ACO .OC∥AD AD⊥DE ∴.OC⊥DE .OC是半径， .CE是OO的切线； 18 ②)5 7.(1)证明： ∵AC=AC .∠ADC=∠ABC .AC=CD .∠ADC=∠CAD .∠ABC=∠CAD (②)证明：如图，连接OC :CE是⊙O的切线， ∴.OC⊥CE .CO=OB ∴.∠OCB=∠OBC=∠ABC ,四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴.∠CBE=∠CAD :∠CAD=∠ABC ∴.∠OCB=∠CBE ∴.OC BE .OC⊥CE BE⊥CE 6/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 6)5 考点04解直角三角形实际应用 35 1.4 2.65 海里/时 3.2.02m 4.①35°： ②13.4m: ③不能， 5.13.5米 6.这栋楼的高度为：52.5米 考点05投影与三视图 1.C 一年模拟练测园 一、单选题 1.B 2.B 3.B 4.D 二、填空题 7/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5(2,0) 6.3W2-3-3+3V2 9√1027N10 7.5或5 8.4或12 9.V85-v5,-V5+V85 10 2V2+1,1+2V2 三、解答题 11.(1)0 (2)化简结果为m+2,值为3。 12.(1)等边三角形 ag5 13.(1)5 (2)①如图， △OA,B 即为所求； △O2AB2 ②如图， 即为所求， △0AB与△O,4B,是关于点M为位似中心的位似图形， M B B 点(42) 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(1)证明：，AB是⊙0直径， ∠ACB=90°， ∴.∠A+∠ABC=90°， :∠BPC=∠ABC, .∠A+∠BPC=90° 在△ABP中： ∠ABP=180°-（∠A+∠BPC=90 ,即AB⊥BP、 又AB是⊙O直径， 故BP是⊙O的切线. (2)证明：方程 -8x+(+81+32）=0中△=(-82-4+8+32)=-4+4≤0， .判别式仅当△=0时方程有实根，此时t=-4,方程为x2-8x+16=0, :BE、BD恰好是关于x的方程-8x++8+32)-0的两根， .BE=BD=4, .∠1=∠2， B F D G D :PB切⊙O于点B,AB为⊙O的直径， .∠ABP=∠ACB=∠BCP=90°， ,∠BPC=∠ABC,∠BPC+∠BCP+∠5=∠ABC+∠A+∠ACB=I80°， .∠5=∠A, .∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5， .∠3=∠4」 .∠3=∠4，∠5=∠A, ∴.△PBDAPAE, BD PB AE PA 9/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ABP=∠BCP=90°，∠APB=∠BPC, .△PBC∽APAB」 BC PB AB PA BC BD AB AE .BC·AE=AB·BD 22 3)3 15.古树AB的高度约为8.4m 【分析】由己知条件得BE=CE,AC=DC=6米，再利用锐角三角函数的定义即可求出AE、CE的长，进 而可求出BE的长，然后根据AB=AE+EB即可得解. 【详解】解：由题意可知，CE⊥AB于E,D,C,E共线， -D ·.∠AED=∠BEC=909 :∠BCE=45°， ∠B=∠BCE=45°， .BE=CE. :∠ACE=53°，∠ADC=26.5° ∠DAC=53°-26.5°=26.5° ∴.∠DAC=∠ADC. .AC=CD=6m, 在RtAACE中，AE=AC·sin53°≈6×0.80=4.8m, CE=AC.cos53°≈6×0.60=3.6m, ∴.BE=CE=3.6m, 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=AE+EB=4.8+3.6=8.4m, .古树AB的高度约为8.4m 16.(I)AD⊥BE,AD=BE (2)AD⊥BE成立，AD=BE不成立，证明如下： 如图，延长BE交AD于点G, GA_ ,∠ACB=∠DCE=90° ∴.∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°， .∠DCA=∠ECB CB=mCA,CE=mCD. DC AC 1 ∴CE BC m' .△CAAECB. AD 1 ·∠DAC=LCBE' BE m' .'BE mAD :∠AFG=∠BFC, ∴.∠AGB=∠ACB=90° BE⊥AD; 3)BE=634V5 或 11/11 专题06 图形变换、相似与解直角三角形 5年真题1年模拟 考点分类 新疆考情（2022-2026） 命题规律 考点01 轴对称、中心对称识别与性质 2025年新疆卷、 2023年新疆卷 以选择题为主，常结合仪器、交通标志、民族纹样情境，考查轴对称、中心对称图形识别。难度较低，侧重概念辨析，直接根据折叠、旋转重合判断，较少结合复杂计算，属于试卷基础得分点。 考点02 图形平移、旋转的性质与计算 2026年新疆卷、 2024年新疆卷、 2023年新疆卷、 2022年新疆卷 题型覆盖选择、填空、解答，平面直角坐标系中考查点平移、对称坐标变换；大题常结合折叠、旋转，融合平行四边形、正方形。重视变换前后对应边、对应角相等，综合性强，常作为几何探究题素材，区分度中等。 考点03 相似三角形判定、性质与简单综合 2026年新疆卷、 2025年新疆卷、 2024年新疆卷、 2023年新疆卷、 2022年新疆卷 高频重难点，多在解答大题出现，重点考查相似三角形判定定理以及相似对应边成比例。常和圆、反比例函数、等腰三角形综合，需要添加辅助线构造相似，计算量大，是试卷重要拉分题型。 考点04 解直角三角形实际应用 2026年新疆卷、 2025年新疆卷、 2024年新疆卷、 2023年新疆卷、 2022年新疆卷 解答必考题型，以仰角俯角、方位角为背景，结合本地实景如烽燧、航海、测量建筑物高度命题。核心考查构造直角三角形，灵活运用三角函数，读懂实际情境转化几何模型，参考数据会直接给出。 考点05 投影与三视图 2024年新疆卷 以选择题考查，重点识别几何体的主视图、俯视图，由小正方体组合几何体判断视图。题目难度小，只需要具备基础空间想象能力，属于基础送分小题，极少出现在解答题。 考点01 轴对称、中心对称识别与性质 1．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（2023·新疆·中考真题）下列交通标志中是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 考点02 图形平移、旋转的性质与计算 1．（2026·新疆·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移规则“右移横坐标加，纵坐标不变”即可求解． 【详解】∵点坐标平移规律为，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，已知点坐标为，向右平移2个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点， ∴点与点关于原点对称，故正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小， 当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故正确； ∴正确结论有个， 故选：． 3．（2022·新疆·中考真题）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用关于轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题的关键． 4．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为______．    【答案】/ 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，，， ∴， ∴， 在中， ∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 设， ∴ 在中， ∴ 解得：（负整数） 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（2022·新疆·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则______． 【答案】 【分析】通过∠DFQ=∠DAQ=45°证明A、F、Q、D四点共圆，得到∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，利用等角对等边证明BQ=DQ=FQ=EQ，并求出，通过有两个角分别相等的三角形相似证明，得到，将BQ代入DE、FQ中即可求出． 【详解】连接DQ， ∵绕点D顺时针旋转与完全重合， ∴DF=DE，∠EDF=90°，， ∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠DAQ=∠BAQ=45°， ∴∠DFQ=∠DAQ=45°， ∴∠DFQ、∠DAQ是同一个圆内弦DQ所对的圆周角， 即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆）， ∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF， ∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°， ∴FQ=DQ=EQ， ∵A、B、C、D是正方形顶点， ∴AC、BD互相垂直平分， ∵点Q在对角线AC上， ∴BQ=DQ， ∴BQ=DQ=FQ=EQ， ∵∠AQF=∠ADF， ∠ADF=∠CDE， ∴∠AQF=∠CDE， ∵∠FAQ=∠PED=45°， ∴， ∴， ∴， ∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了相似三角形、全等三角形、圆、正方形等知识，通过灵活运用四点共圆得到等弦对等角来证明相关角相等是解题的巧妙方法． 6．（2022·新疆·中考真题）如图，在中，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．    (1)当时，___________； (2)探究与之间的数量关系，并给出证明； (3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先由折叠的性质可得，再由等腰三角形的性质可求解； （2）首先由折叠的性质可得，，再由等腰三角形的性质可得，，最后根据角度关系即可求解； （3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，最后根据面积和差关系可求解． 【详解】（1），，， ， 将沿折叠得到， ， ， ∴△ABE是等边三角形， ， 故答案为：60； （2），理由如下： 将沿折叠得到， ，， ，， ， ， ， ； （3）如图，连接， ，点是的中点， ， ，， ，， ， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质并能够灵活运用． 考点03 相似三角形判定、性质与简单综合 1．（2026·新疆·中考真题）如图，等边的面积为，边与双曲线相交于点，且，则____________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设等边的边长为，结合三角形面积，求出，，证明，利用相似三角形对应边成比例，求出，，从而得到点的坐标，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设等边的边长为， ，， ， 等边的面积为， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 2．（2026·新疆·中考真题）已知，在 中，，，点D为上一点，，现将绕着点D旋转，交于点F，交 于点E． (1)如图1，当点D为中点时，猜想，之间的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当时，猜想 ，，之间的数量关系，并进行证明； (3)如图3，当时，猜想 ，，之间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)解：猜想，证明如下： 如图所示，连接， ∵，，点D为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)解：猜想，证明如下： 如图所示，过点作，，垂足分别为，则， 由（1）知， ∴为等腰直角三角形，则， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； ∵，， ∴，， ∴ 由得，， ∵， ∴， ∴； (3)解：猜想，证明如下： 如图所示，过点作，，垂足分别为， 同（2）可得，， ∵， ∴， 同（2）可证明 ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， 由得，， ∵， ∴， ∴，即． 【分析】（1）连接，证明即可； （2）过点作，，垂足分别为，则，，然后证明，则，由，，得到，，那么，再由求解即可； （3）同（2）的方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 4．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵于点F， ∴, ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 即 ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明结论； （2）证明，求出，得到，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是关键． 5．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又， ∴； (2) 【分析】（1）利用圆周角定理可得出，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）利用勾股定理可求出，，利用等面积法求出，可求出，然后利用（1）中求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E到、的距离相等， 设E到的距离为，C到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 6．（2023·新疆·中考真题）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据，得出，由，得出，根据已知条件得出，证明，结合已知条件可得，即可得证； （2）连接，根据已知条件得出，，得出，证明，得出，，进而求得，，根据，求得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接，    ∵，， 设，则 ∴， ∴， 即 解得：， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵, , ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（2022·新疆·中考真题）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求DB的长． 【答案】(1) 证明：， (2) 证明：如图，连接 是的切线， 四边形是的内接四边形， (3) 【分析】（1）由等边等角可得，由同弧所对的圆周角相等可得，等量代换即可得证； （2）连接，根据等边对等角可得，由四边形是的内接四边形，可得，进而可得，即可得证； （3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用（2）的结论可证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=4，BC=3， ∴AB==5，CD=AC=4 ∵∠ACB=∠E=90°，∠CAB=∠CDB， ∴△ACB∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE=， ∵∠CBE=∠ABC，∠ACB=∠E=90°， ∴△ACB∽△CEB， ∴， ∴， ∴BE=， ∴BD=DE-BE=， ∴DB的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键． 考点04 解直角三角形实际应用 1．（2023·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则______．     【答案】 【分析】作交于点，根据题意可得，由点为的中点，可得，在 中，通过解直角三角形可得，从而得到点，代入函数解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于点，   ， ，，， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 2．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【答案】海里/时 【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度． 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形． 3．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：校徽的高度为． 4．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺． （2）实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为． （3）计算旗杆高度 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ； ②根据测量数据，画出示意图4，，求旗杆的高度（精确到）；（参考数据：，，，，，） ③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法． 【答案】①； ②； ③不能， 若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图： 若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图： 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． ①根据直角三角形两锐角互余即可求解； ②由题意得：，，，解可求出，由即可求解； ③不能，若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算；若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算． 【详解】解：①如图： 由题意得， ∴； ②由题意得：，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为； ③略 5．（2023·新疆·中考真题）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参考数据：，，，，，）    【答案】米 【分析】过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，根据题意得出边形为矩形，，再由正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，如图所示：    根据题意得：四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴米． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 6．（2022·新疆·中考真题）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：） 【答案】这栋楼的高度为：米 【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，在Rt△AEB和Rt△AEC中，根据正切的概念分别求出BE、EC，计算即可． 【详解】解：过A作于E， ∴ 由依题意得：， 和中， ∵， ∴， ∴ ∴这栋楼的高度为：米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键． 考点05 投影与三视图 1．（2024·新疆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，画出从前面看到图形，即可． 【详解】解：它的主视图是： ， 故选：C． 一、单选题 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可． 【详解】 解：该几何体的俯视图为： 故选：B． 2．（2026·新疆喀什·一模）下列新疆经典纹样图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，又是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是轴对称图形，不是中心对称图形，所以符合题意； 因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转得，，，，故，又，故，在中，． 【详解】解：由旋转得，，，， ， ， ， 在中，． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质得到，由特殊角的三角函数值的计算得到，由此逐一验证即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴， ∴，则， ∴，， ∴，故C错误，不符合题意， ∴，D正确，符合题意； ∴，故A错误，不符合题意； ∴， ∴，故B错误，不符合题意； 故选：D ． 二、填空题 5．（2026·新疆喀什·一模）在平面直角坐标系中，将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点在坐标系下的平移；掌握好点平移的计算方式是解题的关键． 根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：将点先向左平移4个单位长度后为，再向上平移2个单位长度，得到点B的坐标是． 6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意，得，设，则，构造方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 设，则， ， ， 解得， 故． 7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，矩形中，，将该矩形绕着点旋转，得到四边形，使点在直线上，那么线段的长度是_____． 【答案】或 【分析】由旋转性质可知：，分两种情况：当点在线段上时，勾股定理求出，从而得出，证明，从而求出，，即可求出，再根据勾股定理求出即可；当点D在线段的延长线上时，同理可求出，，即可求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：在矩形中，，， 由旋转性质可知：， 当点在线段上时，如图 1， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点D在线段的延长线上时，如图2， 同理可得：， 则， ， ∴， ， 故答案为：或． 8．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_________． 【答案】4或12 【分析】先在含角的中求出进而得再利用对称性质与的条件,分点在上方和下方两种情况,通过角度推导判定等腰或等边三角形,最后利用直角三角形边角关系求出. 【详解】解：四边形是矩形,,, ,， 在中, , . 点是的中点, . 点关于直线的对称点为, ,且直线垂直平分线段. 延长交于点. , . , . 当点在上方时, 点、、共线,且点在、之间, . , 是等腰三角形, . 设与交于点. 垂直平分， . ,, . , , 是等腰三角形,. , 为的中点. 在中,,, , . 当点在下方时, 点在、之间, . , 是等边三角形. 是对称轴, . 在中,,, , . , , 即. 在中,,, , . 综上所述,的长为或12. 9．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在四边形中，已知，，．在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点．连接交于点，连接．当点在线段上运动（不与、重合）时，线段的最小值为______________． 【答案】/ 【分析】先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，推出当点在上时，线段存在最小值，利用勾股定理求出，得到，证明，得到，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，点O为圆心，连接，， ∴， ∴当点在上时，线段存在最小值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为． 三、解答题 11．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）计算及化简求值： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) 化简结果为，值为. 【详解】（1）解：原式 （2）解： 当时，原式 12．（2026·新疆哈密·三模）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】（1）由图可推，等腰+可知是等边三角形； （2）由（1）可知是等边三角形，所以，又，所以，在中，根据可算出投影的长度． 【详解】（1）等边三角形．理由如下： ， ， 当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， 即， 可得， ， 有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 所以是等边三角形． （2）解：作于， 是等边三角形 ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， 落在地面上的投影的长为． 13．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）解答下列问题 (1)求满足不等式组的所有整数解的和． (2)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． ①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； ②将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)5 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求，与是关于点为位似中心的位似图形， 点． 【分析】（1）先求出不等式组的解集，进而确定其整数解，求和即可； （2）①根据位似图形的性质，画出即可；②根据平移规则画出，再进行判断即可． 【详解】（1）解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为； ∴不等式组的整数解为：，和为； （2）解：①略 ②略 14．（2026·新疆昌吉·模拟预测）如图，为的直径，交于点，分别交、于、，交于点、，，且、恰好是关于的方程的两根（其中为实数）． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中：，即， 又是直径， 故是的切线． (2)证明：∵方程中， ∴判别式仅当时方程有实根，此时，方程为， ∵、恰好是关于的方程的两根， ∴， ∴， ∵切于点，为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∴． (3) 【分析】（1）根据是直径，得出，则，结合，得出，在中，求出即，结合是直径，即可证明是的切线． （2）根据、恰好是关于的方程的两根，求出，则，根据切于点，为的直径，得出，结合和三角形内角和定理得出，根据，，得出，证明，，即可得，，则，证出． （3）连接，证明，得出，结合​，，求出，在中，根据，​，结合，得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴， ∵​，， ∴， 在中，，​， 由（2）知，则， ∴． 15．（2026·新疆昌吉·模拟预测）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量公园内一棵垂直于地面的古树高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 ．站在与上坡顶部同一水平面的处，人的身高忽略不计，视线恰能看到树顶部处； ．测量，两点间的距离； ．用测角仪测得从处看树顶部处的仰角； ．向前进至点处时，此时用测角仪测得从处看树顶部处的仰角；用测角仪测得从处看树底部处的俯角（此时、、三点在同一直线上）． 实验图示    测量数据 ． 2． 3． 4． 备注 ．图上所有点均在同一平面内； 2．与地面垂直，与地面平行． 参考数据：，，；，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算古树的高度的值． 【答案】古树的高度约为 【分析】由已知条件得米，再利用锐角三角函数的定义即可求出的长，进而可求出的长，然后根据即可得解． 【详解】解：由题意可知，于，共线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴古树的高度约为． 16．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的关系． 【问题探究】 (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；数量关系： ； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 (3)当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)， (2)成立，不成立，证明如下： 如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）延长交于点G，根据，得出，，证明，得出，根据三角形内角和求出，进而求解即可； （2）延长交于点G，证明，得出，，根据三角形内角和求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上可知，或． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $