专题1 集合与充要条件（讲义）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习.同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题1 集合与充要条件 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 集合的运算 有限集的交集、韦恩图 2026-19 单选 5 有限集的交集 2025-19 单选 5 有限集的交集 2024-20 单选 5 有限集的集合相等 2023-19 单选 5 有限集的并集 2022-19 单选 5 充要条件 充分不必要条件 2026-23 单选 5 近5年命题轨迹透视： 集合与充要条件连续五年在湖北省“技能高考”考试中考查6题，为每年必考题目。集合主要考查集合的运算（有限集的交、并运算），每年考查1道单项选择题，出现在合卷中的第19题，分值5分。充要条件仅26年考查1道单项选择题，与三角函数知识相关，分值5分。 【考点1：集合】 1.（2026·湖北·真题）若 ，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. 　 B. C. 　 D. 【考点】集合的交集运算、韦恩图 【答案】C 【解析】韦恩图重叠区域表示两集合的交集 . 由交集定义，取两个集合的公共元素： ，因此本题选 C. 2.（2025·湖北·真题）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　） A. 　 B. 　 C. 　D. 【考点】 集合的交集运算 【答案】 A 【解析】交集的定义：由所有既属于集合 又属于集合 的元素组成的集合，记作 . ，，公共元素为 ，故 .集合中元素的个数为 ，故选 A. 3.（2024·湖北·真题）已知集合 ，，记 ，则 中元素的个数是（　） A. 　 B. 　C. 　 D. 【考点】 集合的交集运算 【答案】 A 【解析】根据交集定义，找出 与 的公共元素： ，，公共元素为 ，故 . 集合 中元素的个数为 ，故选 A. 4.（2023·湖北·真题）设集合 ，，若 ，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】 集合相等的定义 【答案】 A 【解析】集合相等的定义：两个集合所含的元素完全相同（与元素顺序无关）. ，，对比可知 缺少元素 ，故 . 验证：当 时，，符合题意，故选 A. 5.（2022·湖北·真题）设集合 ，，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】 集合的并集运算 【答案】 A 【解析】并集的定义：由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，记作 . ，，合并元素并去重，得 ，故选 A. 1.基本概念与符号 （1）集合特性：确定性、互异性、无序性 （2）符号区分： ①元素与集合之间的关系： ∈（属于）；∉ （不属于） ②集合与集合之间的关系： ⊆（子集）；⫋ （真子集） 2.常见数集 自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集 3. 集合表示 列举法、描述法、区间法、韦恩图法. 4. 集合间关系 子集：中任意元素都在中；真子集：是的子集，且中至少有一个元素不在中；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 个元素的集合：子集个，非空子集个，真子集个，非空真子集个. 5. 集合运算 （1）交集，取公共部分 （2）并集，取全部 （3）补集，全集内去掉 1.互异性忽略：求解含参数集合，算出参数后代回检验，集合中的元素不能重复. 2.空集陷阱：、、、，务必优先讨论的情况，不要直接默认集合非空. 3.符号混淆：用于元素与集合；用于集合与集合，不能混用，例：，. 4.区间端点：写区间看清开闭；不等式含等号对应闭区间，无等号对应开区间. 5.“或” 与 “且” 分不清：交集是且（同时满足）；并集是或（满足其一即可）. 6.数集符号记混：包含 0；从正整数 1 开始. 【预测一：考查集合的概念】 1．下列各组对象能构成集合的是（　　） A．所有游泳高手　　　 B．2027年高考数学难题 C．某校所有高个子的男生　　 D．小于 的正整数 【预测二：考查集合之间的关系】 2．下列写法中正确的是（　　） A．　　 　B．　　 　C．　 　 　D． 3．已知集合 ，则集合 的子集个数为（　　） A．4　　　 B．7　　　 C．8　　　 D．16 4．，，已知 ，则 （　　） A．8　　　 B．　　　 C．3　　　 D． 5．满足 的集合 的个数是（　　） A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．8 6．已知集合 ，，若 ，则 （　　） A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 【预测三：考查集合的运算】 7．已知集合 ，，则 （　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 8．已知集合 ，，则 （　　） A．　 B． C．　　D． 9．已知全集 ，，则 （　　） A．　　 　B．　　 　C．　　 　D． 10．已知集合 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．　　　 B． C．　　　 D． 【答案、分析、详解】 1．【答案】D 【分析】本题考查集合中元素的确定性.判断一组对象能否构成集合，关键是看这些对象是否具有确定性——即任一对象能否明确判定其“属于”或“不属于”这一整体. 【详解】“游泳高手”“高个子”“难题”等说法都没有明确、统一的标准，具有模糊性，不满足集合元素的确定性，故 A、B、C 均不能构成集合；“小于 的正整数”是确定的，即 这三个数，能构成集合 .故选 D. 2．【答案】C 【分析】本题考查元素与集合、集合与集合的关系符号：用“”“”表示元素与集合的关系，用“”“”等表示集合与集合的关系. 【详解】A 中 是集合，两个集合之间应使用“”等包含符号，不能写“”，故错误；B 中空集 不含任何元素，应有 ，故错误；C 中空集是任何集合的子集， 正确；D 中 是集合，不能用“”连接两个集合，且空集不是 的元素，故错误.故选 C. 3．【答案】D 【分析】先化简集合 ，再根据“含有 个元素的集合的子集个数为 ”求解. 【详解】由 且 ，得 ，所以 ，共 个元素，故其子集个数为 .故选 D. 4．【答案】A 【分析】本题考查集合相等的定义：两个集合相等，即构成它们的元素完全相同. 【详解】由 ，知 中的元素与 中的元素完全相同. 中含有元素 ，而 中除 外只有 ，故 .故选 A. 5．【答案】B 【分析】由 知必含元素；由 知是 的真子集. 【详解】设 ，其中 ，故 ，共 种取法，所以满足条件的集合 有 个.故选 B. 6．【答案】C 【分析】由 知 中的元素都属于 ；同时由集合中元素的互异性， 应含两个不同元素，即 . 【详解】由 得 且 .逐个检验选项： 时，，不满足集合中元素的互异性，不合题意； 时，，，符合； 时，，不符.故选 C. 7．【答案】A 【分析】先解绝对值不等式求出集合 ，再求交集. 【详解】由 ，得 ，即 .又 ，所以 .故 .故选 A. 8．【答案】B 【分析】在数轴上分别表示两个区间，取并集. 【详解】，，在数轴上取两个区间的并集，得 .故选 B. 9．【答案】A 【分析】先化简集合 ，再由补集定义求解. 【详解】，又 ，所以 .故选 A. 10．【答案】B 【分析】由图可知阴影部分为两圆相交的重叠区域，即 . 【详解】，则 为集合 中满足 的元素，即 .故选 B. 【考点2：充要条件】 1.（2026·湖北·真题） 是 的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【考点】充分条件与必要条件、正切函数值求角 【答案】A 【解析】充分性：若 ，则 ，充分性成立； 必要性：若 ，则 ， 不一定为，必要性不成立. 因此 是 的充分不必要条件. 一、核心概念 1. 命题与条件 命题：能判断真假的陈述句. 设条件p、结论q，"若p，则q" 记为p⇒q. 2. 三类条件（定义法判断） 关系 含义 语言表述 充分不必要 p⇒q，且 qp p是q的充分不必要条件 必要不充分 q⇒p，且 pq p是q的必要不充分条件 充要 p⇒q，且 q⇒p p是q的充要条件（p与q等价） 记忆："p是q的充分条件" ⇔ 有p一定有q（p在前，箭头指向q）. 二、判定方法 1. 定义法：分别判断 p⇒q、q⇒p 是否成立. 2. 集合法（最常用、最不易错） 设p对应的集合为A，q对应的集合为B： A ⊆ B ⇒ p是q 的充分条件；A ⫋ B ⇒ 充分不必要； A ⊇ B ⇒ p是q 的必要条件；A ⫌ B ⇒ 必要不充分； A = B ⇒ p是q 的充要条件. 口诀："小范围推出大范围"—— 小集合是充分，大集合是必要，相等是充要. 1. 方向搞反：把 "p是q的充分条件" 误记成 "q⇒p".凡出现 "…是… 的××条件"，先找准谁在前、箭头指向谁. 2. 集合大小记反：误以为 "大范围推出小范围".记住：充分 = 小集合⊆大集合. 3. 只验一边：判断充要条件时，只验证了充分性（或只验证了必要性），漏验另一侧.充要必须两边都成立. 4. 忽视端点/边界：集合比较时包含关系取端点时要分清 ∈ 与 ∉，如 x≥1 与 x>1，A⊆B 与 A⫋B 结果不同，直接影响充分/必要判断. 5. "或、且" 命题处理：条件为 "x<1 或 x>3" 为并集、条件为 "x<1 且 x>3" 为交集，须先正确写出对应集合再比较，避免直接凭直觉判断. 6. 特殊值与反例：判定 "不充分/不必要" 时，找一个反例即可否定，但"找不出反例" 不等于充分，仍须严格推理. 【预测一：考查集合之间的关系】1．已知集合 ，，则“”是“”的（　　） A．充要条件　　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　　　 D．既不充分也不必要条件 【预测二：考查不等式的性质】2．已知 ，则“”是“ 且 ”的（　　） A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 【预测三：考查不等式的解法】3．设 ，则“”是“”成立的（　　） A．充分不必要条件　　　　　　　　　B．充要条件 C．必要不充分条件　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件 【预测四：考查三角函数知识】4．已知角 的始边为 轴的非负半轴，则“角 的终边在第二象限”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 【预测五：考查向量的知识】5．已知向量 ，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 【预测六：考查对数函数的性质】6．已知命题 ：，命题 ：，则“命题 ”是“命题 ”的（　　）条件. A．充分不必要　　　B．必要不充分　　　C．充要　　　D．既不充分也不必要 【预测七：考查指数函数的性质】7．已知函数 ，则 的一个充分不必要条件是（　　） A．　　　 B．　　 　C．　　　 D． 【预测八：考查直线与圆的位置关系】8．“”是“直线 ： 与圆 ： 相切”的（　　） A．必要不充分条件　　　 B．充分不必要条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 【预测九：考查数列知识】9．“”是“ 成等比数列”的（　　） A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 【预测十：考查概率知识】10．“” 是 “事件与事件互为对立事件” 的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案、分析、详解】 1.【答案】B 【分析】先化简集合 ，判断 与 的包含关系. 【详解】由 ，即 ，解得 ，所以 ，而 .因为 ，所以由 可推出 （充分）；但 不一定有 （如 但 ），故“”是“”的充分不必要条件.故选 B. 2.【答案】B 【分析】判断两个命题之间的推出方向. 【详解】由 且 可以推出 ，所以“”是“ 且 ”的必要条件；但 不能推出 且 （如 ，），故不是充分条件.所以“”是“ 且 ”的必要不充分条件.故选 B. 3.【答案】C 【分析】解出 的解集，通过比较解集的包含关系判断条件关系. 【详解】由 ，即 ，解得 .因为 能推出 ，所以“”是“”的必要条件；但 不能推出 （如 ），故不是充分条件.所以“”是“”的必要不充分条件.故选 C. 4.【答案】A 【分析】利用三角函数在各象限的符号判断. 【详解】若角 的终边在第二象限，则 ，，故 ，充分性成立；但 只说明 与 异号，即 的终边在第二或第四象限，不一定在第二象限，故必要性不成立.所以“角 的终边在第二象限”是“”的充分不必要条件.故选 A. 5.【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标条件判断. 【详解】 的充要条件为 ，即 ，解得 .故“”与“”互为充要条件.故选 C. 6.【答案】B 【分析】注意对数函数的定义域与单调性. 【详解】函数 在 上单调递减，故 等价于 .由 可以推出 ，所以命题 是命题 的必要条件；但 不能保证 、（如 ， 时 、 无意义），故命题 不是命题 的充分条件.所以命题 是命题 的必要不充分条件.故选 B. 7.【答案】B 【分析】先求出 的充要条件，再找出比其解集更窄（更强）的条件. 【详解】，则 等价于 ，即 ，解得 .即“”是 的充要条件.要找充分不必要条件，即找能推出 但不与之等价的条件： 能推出 （充分），而 不能推出 ，故“”是 的充分不必要条件.故选 B. 8.【答案】B 【分析】由圆心到直线的距离等于半径，求出直线与圆相切时 的取值. 【详解】圆 的圆心为 ，半径 .直线与圆相切，当且仅当圆心到直线的距离等于半径.圆心到直线 的距离为 由 ，得 ，两边平方得 ，即 ，整理得 ，即 ，解得或.故直线与圆相切当且仅当 或 .“”能推出直线与圆相切（充分），但相切时 不一定等于 （ 也相切），故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选 B. 9.【答案】A 【分析】利用等比中项的性质求解. 【详解】，， 成等比数列，当且仅当 ，即 .当 时，，， 成等比数列，充分性成立；但成等比数列时 ，不一定等于 ，必要性不成立.所以“”是“ 成等比数列”的充分不必要条件.故选 A. 10.【答案】D 【分析】对两个条件做双向逻辑推导，分别验证充分性与必要性，据此判断条件类型. 【详解】投掷一枚硬币次，设事件：“至少出现一次正面”，事件：“出现次正面”， 则，，满足，但，不是对立事件，故充分性不成立. 若事件与事件是对立事件，则为必然事件， 由对立事件概率加法公式可得：，故必要性成立. 所以 “” 是 “事件与事件互为对立事件” 的必要不充分条件.故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $