3.4 函数的应用(一) （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

3.4　函数的应用(一) 【课前预习】 知识点一 1.kx(k≠0)　2.kx+b(k≠0) 3.ax2+bx+c(a≠0) 【课中探究】 探究点一 例1　(1)BC　[解析] 由图①可设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k>0,b<0,k为票价.当k=0时,y=b,则-b为固定成本.由图②知,直线向上平移,k不变,即保持票价不变,b变大,则-b变小,即降低固定成本,故A错误,B正确;由图③知,直线与y轴的交点不变,即b不变,-b不变,即固定成本不变,直线斜率变大,即k变大,即提高票价,故C正确,D错误.故选BC. (2)解:①设生产此盲盒x年的利润为y万元,则y=50x-(98+2x2+10x)=-2x2+40x-98(x∈N*), 由-2x2+40x-98>0,整理得x2-20x+49<0,解得10-<x<10+,又x∈N*,所以x∈{x∈N*|3≤x≤17},所以该公司生产此盲盒3年首次盈利. ②由①得年平均利润(单位:万元)为=-2+40≤-2×2+40=12,当且仅当x=,即x=7时等号成立, 所以该公司生产此盲盒7年年平均利润最大,最大为12万元. 探究点二 例2　解:(1)由题意可知80 000=4002a+400×400,解得a=-,所以R= (2)当1≤x≤400,x∈N*时,P=-x2+400x-20 000-100x=-x2+300x-20 000;当x>400,x∈N*时,P=80 000-20 000-100x=60 000-100x.故P= (3)设每台仪器所获的利润为W(单位:元), 由(2)可得W== 当1≤x≤400,x∈N*时,W=300-≤300-2=100,当且仅当x=,即x=200时取等号;当x>400,x∈N*时,W=-100<50.故当x=200时,W取得最大值100,即当月产量为200台时,每台仪器所获的利润最大,最大利润为100元. 变式　解:(1)当0<x<6时,L(x)=9x-(x2+x)-12=-x2+8x-12; 当x≥6时,L(x)=9x--12=-+28. 所以L(x)= (2)若0<x<6,则L(x)=-x2+8x-12=-(x-4)2+4,当x=4时,L(x)取得最大值,最大值为L(4)=4; 若x≥6,则L(x)=-+28≤-2+28=8,当且仅当x=,即x=10时,等号成立,所以L(x)的最大值为L(10)=8. 综上,当年产量为10千件时,该工厂所获年利润最大,最大年利润是8万元. 探究点三 例3　(1)D　[解析] 设该动物初始状态的体重和新陈代谢率分别为x1,y1,则y1=k,8y1=k(16x1)α=k·16α,所以=,所以16α=8,即24α=23,则4α=3,得α=.故选D. (2)解:①设y1=mx(m>0),因为当x=1时,y1=0.25,所以m=0.25,所以y1=0.25x.因为函数y2=kxa(x>0)的图象过点(1,1),(4,2),所以解得所以y2=,即y2=(x>0). ②设投入x千万元生产B芯片,则投入(40-x)千万元生产A芯片,设公司所获的利润为f(x)千万元,则f(x)=0.25(40-x)+=-(-2)2+11,所以当=2,即x=4时,公司所获利润最大,最大利润为11千万元. 变式　(1)A　(2)125　[解析] (1)由题可知加密密钥为y=kx3(k∈R),由已知可得,当x=4时,y=2,所以2=k×43,解得k==,故y=x3.令y=,即=x3,则x3=,即x=.故选A. (2)因为去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,所以27=3a,得a=3,则y=x3,x≤5,故若今年投入的广告费用为5万元,则预计今年药品利润为53=125(万元). 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4　函数的应用(一) 【学习目标】 　　理解函数模型的应用: 能结合具体情境,合理选择已经学习过的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数与分段函数等函数模型,解决简单的实际问题. ◆ 知识点一　一次函数、二次函数模型 1.正比例函数模型 解析式:y=　　　　.   2.一次函数模型 解析式:y=　　　　　　　.  3.二次函数模型 解析式:y=　　　　　　　　　　.  ◆ 知识点二　幂函数模型 解析式:y=axα+b,a,b,α为常数,α≠0,a≠0. ◆ 知识点三　分段函数模型 这个模型实际上是以上两种或多种模型的综合,其解析式形如f(x)= ◆ 知识点四　解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. 这些步骤用框图表示如下: ◆ 探究点一　一次函数、二次函数模型 例1 (1)(多选题) 某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图象如图①所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图②,图③中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.给出下列四种说法,其中正确的说法是 (　 ) A.图②对应的方案是:提高票价,并提高固定成本 B.图②对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本 C.图③对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变 D.图③对应的方案是:提高票价,并降低固定成本 (2)近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展出具有中国特色的盲盒经济.某盲盒生产及销售公司今年年初用98万元购进一批盲盒生产线,每年可有50万元的总收入,已知生产此盲盒x(x为正整数)年的各种费用总计为(2x2+10x)万元. ①该公司生产此盲盒几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第1年)? ②该公司生产此盲盒几年年平均利润最大,最大为多少? [素养小结] (1)一次函数模型层次性不高,求解也较为容易,一般情况下可以用“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理. (2)对于一次函数在实际问题中的应用题目,要认真读题、审题,弄清题意,明确题目中的数量关系,可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域. (3)在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题确定函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大值、最小值等问题. ◆ 探究点二　分段函数模型 例2 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元.已知当月产量x(单位:台,x∈N*)超过400时,总收入R(单位:元)恒为80 000,当月产量x不超过400时,R与x满足R=ax2+400x,且当x=400时,R取得最大值80 000. (1)将总收入R表示为月产量x的函数. (2)将利润P(单位:元)表示为月产量x的函数. (3)当月产量为多少台时,每台仪器所获的利润最大?最大利润为多少元? 变式 [2026·华南师大附中高一月考] 近几年3D打印手办深受青少年的喜爱,某工厂计划利用新技术生产手办,通过调查分析知:生产手办全年需投入固定成本12万元,每生产x千件手办,需另投入成本C(x)万元,且C(x)=假设每件手办的售价为90元,且每年生产的手办当年能全部销售完. (1)求该工厂所获年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的表达式(利润=销售收入-成本). (2)当年产量为多少千件时,该工厂所获年利润最大?最大年利润是多少? [素养小结] 解答分段函数问题必须遵循“对号入座”的解题原则,即根据题设条件在各段函数解析式中解决问题.求分段函数的最值时,注意取各段的最大(小)值的最大(小)者为函数的最大(小)值. ◆ 探究点三　幂函数模型　　　　　 　　　　　 　　　　　 例3 (1)某类动物的新陈代谢率y与体重x满足y=kxα,其中k和α为正常数.该类动物某一个体在生长发育过程中,其体重增长到初始状态的16倍时,新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍,则α的值为 (　 ) A. B. C. D. (2)某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的利润y1(千万元)与投入的资金x(千万元)成正比,已知每投入1千万元,公司获得利润0.25千万元;生产B芯片的利润y2(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y2=kxa(x>0),其图象如图所示. ①试分别求出生产A,B两种芯片的利润(千万元)与投入资金(千万元)的函数关系式. ②现在公司准备投入40千万元资金同时生产A,B两种芯片,可以获得的最大利润是多少? 变式 (1)为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种加密密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文x→密文y(加密),接收方由密文y→明文x.现在加密密钥为y=kx3(k∈R),且“4”通过加密后得到密文“2”,若接收方接到密文“”,则解密后得到的明文是 (　 ) A. B. C.2 D. (2)某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其投入广告费用x(万元)与药品利润y(万元)的函数关系式为y=xa (a为常数),其中x≤5.已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年投入的广告费用为5万元,则预计今年药品利润为　　　　万元.  [素养小结] 幂函数模型应用题的求解策略: (1)给出含参数的函数解析式,利用待定系数法求出参数,明确函数解析式. (2)根据题意,直接列出相应的函数解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $