3.1.2 第2课时 分段函数 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学分段函数同步练，以“概念理解-技能应用-综合拓展”三阶分层，通过例题与变式题结合，构建从求值到图象应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|分段函数概念、求值|例1（求值、已知函数值求自变量）及变式选择填空，巩固基本运算| |技能应用层|分段函数图象绘制|例2（图象与值域）及变式分段表示，培养几何直观| |综合拓展层|多函数综合应用|例3（函数最值）及变式含max问题，提升推理能力|

第2课时　分段函数 【课前预习】 知识点 诊断分析 解:不是.分段函数的定义域只有一个,只不过在定义域的不同区间上对应关系不同,所以分段函数是一个函数. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为函数f(x)=所以f(-2)=-3×(-2)+3=9,f(1)=-3×1+3=0,f[f(2)]=f(22-2×2)=f(0)=-3×0+3=3. (2)当m>1时,由m2-2m=10,解得m=1+或m=1-(舍去); 当m≤1时,由-3m+3=10,解得m=-.所以m的值为-或1+. (3)当n>1时,由n2-2n≤5,解得1-≤n≤1+,故1<n≤1+;当n≤1时,由-3n+3≤5,解得n≥-,故-≤n≤1.所以原不等式的解集为. 变式　(1)B　(2)2　[解析] (1)因为函数f(x)=所以f(-2)=4,则f[f(-2)]=f(4)=. (2)由题意知f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2. 探究点二 例2　解:(1)当a<0时,f(a)=<0,不合题意,舍去.当0≤a≤3时,由f(a)=a2-2a=2,解得a=1+或a=1-(舍).当a>3时,由f(a)=-a+6=2,解得a=4. 综上,a=1+或a=4. (2)f(x)的图象如图所示,由图可知f(x)的值域为(-∞,3]. 变式　解:(1)当0≤x≤2时,f(x)=1+=1;当-2<x<0时,f(x)=1+=1-x. 故f(x)= 函数f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知,f(x)的值域为[1,3). 例3　解:(1)对于f(x)=x+4,过点(-4,0),(0,4)作一条直线即可得到f(x)的图象.g(x)=(x+2)2的图象是对称轴方程为x=-2,开口向上的抛物线,过点(-4,4),(-3,1),(-2,0),(-1,1),(0,4)作平滑的曲线可得g(x)的图象.f(x),g(x)的图象如图所示. (2)由(x+2)2=x+4,得x2+3x=0,∴x=0或x=-3. 结合图象,可得M(x)的解析式为M(x)= 由图可知,当x=-3时,M(x)min=(-3+2)2=1. 变式　D　[解析] 由题意,f(x)=max=当a≥1时,不等式f(a)≤4,即a2≤4,解得-2≤a≤2,又a≥1,则1≤a≤2;当0<a<1时,不等式f(a)≤4,即≤4,解得a<0或a≥,又0<a<1,则≤a<1;当a<0时,不等式f(a)≤4,即a2≤4,解得-2≤a≤2,又a<0,则-2≤a<0.综上,实数a的取值范围是[-2,0)∪.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　分段函数 【学习目标】 　　理解分段函数:(1)分段函数是一种重要的函数模型,在实际问题中经常运用;(2)能用分段函数正确表示一些相关的函数问题. ◆ 知识点　分段函数 对于一个函数来说,在定义域的不同区间上对应关系不同,它的图象由几条曲线共同组成,这样的函数我们称为分段函数. 【诊断分析】 分段函数在不同区间上的对应关系不同,那么分段函数是由几个不同的函数构成的吗? ◆ 探究点一　分段函数求值 例1 已知函数f(x)= (1)求f(-2),f(1),f[f(2)]的值; (2)若f(m)=10,求m的值; (3)求不等式f(n)≤5的解集. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)已知函数f(x)=则f[f(-2)]= (　 ) A.4 B. C.-1 D.1 (2)[2026·北师大附属实验中学高一期中] 已知函数f(x)=则f(3)=　　　　.  [素养小结] (1)求分段函数的函数值的方法: 先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值. (2)求某条件下自变量的值的方法: 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后相应求出自变量的值,切记代入检验. ◆ 探究点二　分段函数的图象及应用 例2 已知函数f(x)= (1)若f(a)=2,求a的值; (2)请在如图所示的坐标系中画出函数f(x)的图象,并根据图象说出函数f(x)的值域. 变式 已知函数f(x)=1+(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数,并画出该函数的图象; (2)根据图象写出该函数的值域. 例3 给定函数f(x)=x+4,g(x)=(x+2)2,x∈R. (1)在如图所示的直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象; (2)记M(x)=结合图象写出函数M(x)的解析式,并求M(x)的最小值. 变式 已知f(x)=max,其中max{c,b}=若f(a)≤4,则实数a的取值范围为 (　 ) A.[-2,2] B.[-2,0) C.[-2,0)∪ D.[-2,0)∪ [素养小结] 1.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数的形式,然后分段作出函数图象. 2.作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,可先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 学科网（北京）股份有限公司 $