3.1.2 第1课时 函数的表示法 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学“函数的表示法”新授课同步练，以“概念理解—方法应用—综合拓展”分层设计，通过多样化题型构建从单一表示法到综合解析式求法的巩固路径，培养数学抽象、几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|函数三种表示法定义及比较、图象变换规则|填空与判断题结合，强化概念辨析（如判断函数图象是否连续）| |方法应用层|表示法选择、图象绘制、解析式求法（待定系数/换元/方程组法）|例题+变式设计，从具体情境（商场销售）到抽象运算，提升应用能力| |综合拓展层|跨方法综合应用|含二次函数与复合函数解析式综合题，适配高阶思维训练|

3.1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 【学习目标】 　　理解函数的表示法:(1)熟练掌握函数表示的三种常用方法:解析法、图象法与列表法;(2)对于具体函数,能选择一种适当的方法将其表示出来;(3)对一些简单函数,能根据函数的解析式画出函数图象. ◆ 知识点一　函数的三种表示方法 1.函数的三种表示方法 表示法 定　义 解析法 用　　　　　　表示两个变量之间的对应关系  列表法 列出　　　　来表示两个变量之间的对应关系  图象法 用　　　　表示两个变量之间的对应关系  2.三种表示方法的优缺点比较 优　点 缺　点 解析法 一是简明、抽象地揭示了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观,而且并不是所有的函数都可以用解析法表示 列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系,且揭示变量间的变化关系不够全面 图象法 直观形象地揭示出变量间的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大、不够精确 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. (　 ) (2)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同. (　 ) (3)若f(x+1)=3x+2,则f(x)=3x-1. (　 ) (4)函数f(x)=3x-1,x∈[1,5]的图象是直线. (　 ) ◆ 知识点二　函数图象的平移变换 (1)左加右减:将函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象. (2)上加下减:将函数y=f(x)的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象. ◆ 探究点一　函数的表示方法 例1 某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求该彩电的销售量x(台)与收款额y(元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 变式 (1)已知函数y=f(x)由下表给出,则f[f(3)-2]的值为 (　 ) x x≤0 0<x<2 x≥2 y 1 2 3 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知完成某项任务的时间t(单位:分钟)与参加此项任务的人数x之间的关系式为t(x)=ax+.当x=2时,t=100;当x=14时,t=28.若参加此项任务的人数不能超过20,则函数t(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　.  [素养小结] 理解函数表示法的三个要点: (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方法表示函数,都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主. ◆ 探究点二　函数的图象 例2 作出下列函数的图象. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y=,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]; (4)y=|x+3|. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 [素养小结] 1.一般地,作函数图象有以下三个步骤: (1)列表;(2)描点;(3)连线. 2.作函数图象时应注意以下几点: (1)在定义域内作图; (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象; (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点和与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心点. ◆ 探究点三　函数解析式的求法 角度1　待定系数法求解析式 例3 (1)已知函数f(x)是一次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+2,求f(x)的解析式. (2)已知f(x)是二次函数,满足f(x+1)+f(2x-1)=-5x2-x,求函数f(x)的解析式. 　　　　　 　　　 　　 　　　　　 角度2　换元法(或配凑法)求解析式 例4 (1)已知f(-1)=x-2,则g(x)=f(x+1)的解析式为 (　 ) A.g(x)=(x+1)2-1(x≥-2) B.g(x)=(x+1)2+1(x≥-1) C.g(x)=x2-1(x≥-1) D.g(x)=x2+1(x≥0) (2)若f=,则当x≠0,且x≠1时,函数f(x)的解析式为f(x)=　　　　　　　.  角度3　方程组法求函数解析式 例5 (1)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+4,则f(x)=　　　　.  (2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,求f(x)的解析式. 变式 (1)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式. (2)已知f()=2x-3,求f(x)的解析式. (3)已知函数f(x)满足f(x)+3f=4x+,求f(x)的解析式. [素养小结] 求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数y=f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后用x替换g(x),即得f(x)的解析式. (4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 拓展 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,则f(2025)= (　 ) A.0 B.1 C.2025 D.2026 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 【课前预习】 知识点一 1.解析式　表格　图象 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)× [解析] (1)如f(x)=的图象就不是连续的曲线. (2)两函数的定义域不同,则图象不同. (3)因为f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1. (4)y=3x-1为一次函数,其图象是一条直线,因为f(x)的定义域为[1,5],所以f(x)的图象为线段. 【课中探究】 探究点一 例1　解:列表法: x 1 2 3 4 5 y 3000 6000 9000 12 000 15 000 x 6 7 8 9 10 y 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 图象法: 解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}. 变式　(1)B　(2)t(x)=x+(0<x≤20,x∈N*)　[解析] (1)由表格可得f(3)=3,故f[f(3)-2]=f(3-2)=f(1)=2.故选B. (2)由题意知解得 所以t(x)=x+,又因为x≤20,x为正整数,所以函数t(x)的定义域是{x|0<x≤20,x∈N*},所以函数t(x)的解析式为t(x)=x+(0<x≤20,x∈N*). 探究点二 例2　解:(1)列表: x 0 1 2 y 1 3 5 描点、连线,y=2x+1,x∈[0,2]的图象如图所示. (2)列表: x 2 3 4 y 1 描点、连线,y=,x∈[2,+∞)的图象如图所示. (3)列表: x -2 -1 0 1 2 y 0 -1 0 3 8 描点、连线,y=x2+2x,x∈[-2,2]的图象如图所示. (4)列表: x -4 -3 -2 -1 0 y 1 0 1 2 3 描点、连线,y=|x+3|的图象如图所示. 探究点三 例3　解:(1)由函数f(x)为一次函数,可设f(x)=kx+b,k≠0.由f(0)=0,得b=0,由f(x+1)=f(x)+2,得k(x+1)=kx+2,故k=2, ∴f(x)的解析式为f(x)=2x. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(x+1)+f(2x-1)=5ax2+(3b-2a)x+2(a+c)=-5x2-x, ∴解得∴f(x)的解析式为f(x)=-x2-x+1. 例4　(1)A　(2)(x≠0,且x≠1)　[解析] (1)已知f(-1)=x-2=(-1)2-1,设t=-1≥-1,所以f(t)=t2-1,t≥-1.要使g(x)=f(x+1)有意义,则需x+1≥-1,解得x≥-2,所以g(x)=(x+1)2-1(x≥-2).故选A. (2)设t=(t≠0,且t≠1),则x=,∴f(t)==,∴f(x)=(x≠0,且x≠1). 例5　(1)3x+　[解析] ∵2f(x)+f(-x)=3x+4①,∴2f(-x)+f(x)=-3x+4②,由①②可得f(x)=3x+. (2)解:在f(x)=2f·-1中,用代替x,得f=2f(x)·-1.由 消去f得f(x)=+(x>0). 变式　解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1,又f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+1-(ax2+bx+1)=4x,即-2ax+a-b=4x,故 解得a=b=-2,则f(x)的解析式为f(x)=-2x2-2x+1. (2)方法一(换元法): 令t=,则t≥0,x=t2+1, f(t)=2(t2+1)-3,所以f(x)=2x2-3+2(x≥0). 方法二(配凑法):f()=2()2+2-3=2()2+2-3,所 以f(x)=2x2-3+2(x≥0). (3)由f(x)+3f=4x+,可得f+3f(x)=4·+4x,两式消去f,可得f(x)+3=4x+,故f(x)=x+. 拓展　D　[解析] 令x=y=0,可得-2f(0)=-2,所以f(0)=1,再令x=0可得f(y)-2f(-y)+f(0)-2f(y)=y-2,即-f(y)-2f(-y)=y-3①,将上式中的y全部换成-y,可得-f(-y)-2f(y)=-y-3②,联立①②可得f(y)=y+1,所以f(2025)=2025+1=2026,故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $