1.4 空间向量的应用 讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学空间向量的应用，系统梳理异面直线所成角、空间向量夹角与距离公式、平面法向量、线面角、二面角及空间距离计算等核心知识点，构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料通过13个题型分类呈现，每个题型配套“解题知识”模块梳理方法，结合典例与变式题强化逻辑推理，培养学生用数学思维分析空间关系、用数学语言表达几何问题的能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

1.4 空间向量的应用 内 容 导 航 题型1 异面直线及其所成的角 题型2 空间向量的夹角与距离求解公式 题型3 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 题型4 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 题型5 平面的法向量 题型6 几何法求解直线与平面所成的角 题型7 几何法求解二面角及两平面的夹角 题型8 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 题型9 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 题型10 空间中点到平面的距离 题型11 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 题型12 空间向量语言表述线线的垂直、平行关系 题型13 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 考 点 演 练 题型1 异面直线及其所成的角 解｜题｜知｜识 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识： 【典例1】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AD＝4，AB＝3．将直角梯形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2，则异面直线AC与BD所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA′的长为3，且∠A′AB＝∠A′AD＝120°． （1）求AC′的长； （2）求异面直线BD′与AC夹角的余弦值． 题型2 空间向量的夹角与距离求解公式 解｜题｜知｜识 1．空间向量的夹角公式 设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）， cos 注意： （1）当cos1时，与同向； （2）当cos1时，与反向； （3）当cos0时，⊥． 2．空间两点的距离公式 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 dA，B＝||． 【解题思路点拨】 1．求空间两条直线的夹角 建系→写出向量坐标→利用公式求夹角 2．求空间两点的距离 建系→写出点的坐标→利用公式求距离． 【典例1】已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，|AB|＝|AC|＝2，|AA1|＝3，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB⊥AC，D，E分别为AB，CC1的中点，则|DE|＝（　　） A． B． C．3 D． 【变式1】空间四边形OABC中，OB＝OC，，则的值是（　　） A．0 B． C． D． 【变式2】下列说法正确的有（　　） A．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．，，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C共面 题型3 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 解｜题｜知｜识 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使λ． 共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使xy． 空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得xyz． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1． 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 （1）•＝||||cos，； （2）⊥⇔•0（，为非零向量）； （3）||22，||． 2．向量的坐标运算 （a1，a2，a3），（b1，b2，b3） 向量和 （a1+b1，a2+b2，a3+b3） 向量差 （a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3） 数量积 •a1b1+a2b2+a3b3 共线 ∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R） 垂直 ⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0 夹角 公式 cos， 【典例1】设，则（　　） A．3 B． C． D． 【变式1】已知，且，则（　　） A．x＝2，y＝6 B．x＝2，y＝﹣6 C．x＝﹣2，y＝6 D．x＝﹣2，y＝﹣6 【变式2】已知空间向量，若，其中λ∈R，则实数λ＝（　　） A． B． C． D． 题型4 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 解｜题｜知｜识 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意： ①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）； （2）列：根据0，0，列出方程组； （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量 （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标． 1、空间直线的点向式方程或标准方程： 设直线L过点M0（x0，y0，z0），（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知 改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）． 若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是 2、空间直线的参数方程： 在直线方程中，记其比值为t，则有 （※） 这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数． 【典例1】若A（1，0，﹣1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　） A．（1，1，1） B．（1，1，3） C．（3，1，1） D．（﹣3，0，1） 【变式1】已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l⊥平面α，则x＝（　　） A． B．20 C． D．﹣20 【变式2】已知直线l经过A（﹣1，2，5），B（1，﹣1，n）两点，向量是直线l的一个方向向量，则n＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 题型5 平面的法向量 解｜题｜知｜识 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意： ①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）； （2）列：根据0，0，列出方程组； （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量 （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标． 【典例1】已知点A（﹣1，0，1），B（a，a+1，a﹣1），若平面ABC的一个法向量为，则（　　） A． B． C．3 D． 【变式1】若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则实数k＝（　　） A．2 B．﹣10 C．﹣2 D．10 【变式2】在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若α⊥β，则a﹣3b＝（　　） A．2 B．﹣2 C． D．6 题型6 几何法求解直线与平面所成的角 解｜题｜知｜识 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的． 【解题方法点拨】 具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想． 【命题方向】 ﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算直线与平面之间的夹角． 【典例1】在正四棱锥S﹣ABCD中，AB＝2，，给出以下判断：①直线AB与SC所成角为；②二面角S﹣AB﹣D的大小为；③直线SA与平面ABCD所成角的余弦值为；④直线AD与平面SBC的距离为．其中判断正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是B1C1的中点． （1）证明：A1M⊥BC1； （2）在棱AA1上是否存在点N，使得MN∥平面ABC1，若存在，求的值，若不存在，说明理由； （3）若AB＝2，直线A1B与平面BCC1B1所成角的正切值为，求点M到平面A1BC1的距离． 题型7 几何法求解二面角及两平面的夹角 解｜题｜知｜识 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 【解题方法点拨】 求二面角的平面角：在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． 【命题方向】 ﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算两平面之间的夹角． 【典例1】如图，二面角α﹣l﹣β的大小为，点A在半平面α内，点B，B'均在半平面β内，AC⊥l于点C，B'C⊥l于点C，BD⊥l于点D，AC＝B'C＝BD＝1，CD＝2，则（　　） A．BB'∥α B．BB'⊥平面AB'C C．AB'⊥β D． 题型8 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 解｜题｜知｜识 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： 向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0，，θ，， 此时cosθ＝cos，． （2）当，π时，θ＝π，， cosθ＝﹣cos，． 【解题方法点拨】 ﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果． 【命题方向】 ﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角． 【典例1】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D在线段AC1上，且AD＝2DC1，E是棱AA1的中点． （1）证明：CE∥平面A1BD； （2）证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1； （3）设二面角A﹣A1D﹣B的大小为θ，证明：． 题型9 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 解｜题｜知｜识 点到直线的距离：点P到直线l的距离为： 其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量． ﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离． 【解题方法点拨】 ﹣计算距离：应用点到直线的距离公式和两平行直线的距离计算公式． 【命题方向】 ﹣距离计算：考查如何计算空间中点到直线的距离以及两平行直线之间的距离． 【典例1】在空间直角坐标系中，点M（﹣1，3，4）到z轴的距离为（　　） A．2 B． C．1 D．4 【变式1】已知空间中三点A（﹣1，0，0），B（0，1，﹣1），C（﹣2，﹣1，2），则点C到直线AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P（x0，y0，z0），且以向量（a，b，c）（abc≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线l的方程为z+1，则点Q（2，4，﹣4）到直线l的距离为（　　） A． B． C． D． 题型10 空间中点到平面的距离 解｜题｜知｜识 ﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为： 【解题方法点拨】 ﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离． 【命题方向】 ﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离． 【典例1】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，点E为B1C1的中点，则下列说法正确的是（　　） A． B．AB1∥平面A1CE C．异面直线AE与A1C所成的角的余弦值为 D．点A1到平面ACE的距离为 【变式1】如图，正四棱锥P﹣ABCD与正四棱锥Q﹣ABCD的底面重合，且AP＝AB＝AQ＝2，M为棱BC上一点，则（　　） A．AP∥平面BCQ B．正四棱锥P﹣ABCD的体积为 C．PM+QM的最小值为 D．点D到平面PAB的距离为 【变式2】已知点A（1，1，﹣1）在平面α内，点P（0，2，1）在α外，且α的一个法向量，则点P到平面α的距离为 ． 题型11 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 解｜题｜知｜识 ﹣两平行平面间的距离：若两平面方程为Ax+By+Cz+D1＝0和Ax+By+Cz+D2＝0，它们之间的距离为： ﹣平行于平面的直线到平面的距离：计算直线到平面的距离与计算点到平面的距离相同． 【解题方法点拨】 ﹣计算距离：应用平面间距离公式计算结果． 【命题方向】 ﹣距离计算：考查如何计算空间中两平面之间的距离以及平行于平面的直线到平面的距离． 【典例1】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式1】两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量（﹣1，0，1），则两平面间的距离是（　　） A． B． C． D．3 【变式2】正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（　　） A．直线AE与CF是异面直线 B．平面ABF⊥平面ABE C．该几何体的体积为 D．平面ABE与平面DCF间的距离为 题型12 空间向量语言表述线线的垂直、平行关系 解｜题｜知｜识 线线垂直与平行： 1．直线与直线平行 设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得： l1∥l2（或l1与l2重合）⇔∥ 2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2⇔⊥⇔•0． 【典例1】如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（　　） A．y﹣z＝0 B．2y﹣z﹣1＝0 C．2y﹣z﹣2＝0 D．z﹣1＝0 【变式1】设直线l1，l2的方向向量分别为（﹣2，2，1），（3，﹣2，m），若l1⊥l2，则m＝ 　 　 ． 【变式2】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，D，E分别是AC，AB边上的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C＝A1D，如图2． （Ⅰ）求证：DE⊥A1C； （Ⅱ）求点C到平面A1BE的距离． 题型13 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 解｜题｜知｜识 1．直线与平面平行 （1）已知两个非零向量和与α共面，直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理可以得： l∥α或l在α内⇔存在两个有序实数（x，y）使 （2）由共面向量定理还可以得，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对有序实数（x，y）使向量表达式成立． 2．线面垂直： （1）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥⇔k； （2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． 【典例1】已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若直线l与平面α垂直，则实数x的值为（　　） A．﹣10 B．10 C． D． 【变式1】已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知直线l的方向向量与平面α的法向量分别为，，则（　　） A．l∥α B．l⊥α C．l∥α或l⊂α D．l，α相交但不垂直 过 关 验 收 1．（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（　　） A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 2．设，若，则实数k的值为　 　 ． 3．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，． （1）求cos； （2）k与k互相垂直，求实数k的值． （多选）4．下列说法正确的是（　　） A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为（1，0），一个法向量为（0，1） B．若直线的一个方向向量为（a，a+1），则该直线的斜率为 C．若直线的法向量为，则能作为该直线的一个方向向量 D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 5．点A（2，1，1）是直线l上一点，（1，0，0）是直线l的一个方向向量，则点P（1，2，0）到直线l的距离是 ． 6．已知点A（1，﹣3），B（7，3），C（5，2），过点A且以向量为方向向量的直线为l，点D（m+3，m）到直线l的距离为． （1）求m； （2）若，证明：四边形ABCD是等腰梯形． 7．已知向量（其中a，b为实数）是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量． （1）若l∥α，求a2+b2的最小值； （2）若l⊥α，求a，b的值． 8．若平面α的法向量为，平面β的法向量为，直线l的方向向量为，则（　　） A．若α∥β，则m＝2 B．若l⊥α，则n＝2 C．若n＝﹣20，则l∥α D．若m＝﹣10，则α⊥β 9．若平面α，β的法向量分别为（2，﹣1，0），，则α与β的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 10．下列三个说法中，正确的个数是（　　） ①若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m⟺∥； ②若{，，}是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面； ③若两个不同平面α，β的法向量分别为，，且（1，2，2），（﹣2，﹣4，4），则α∥β． A．0 B．1 C．2 D．3 11．结合以下材料：“在空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0．”解决问题：在空间直角坐标系O﹣xyz中，若直线l是两平面x﹣3y+7＝0与4y+2z+3＝0的交线，则直线l的方向向量可以是（　　） A．（3，1，﹣2） B．（3，1，2） C．（﹣2，1，﹣3） D．（2，1，3） （多选）12．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　） A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，3，﹣1），，﹣3，1），则l1∥l2 B．直线l的方向向量，﹣1，2），平面α的法向量是，4，﹣1），则l⊥α C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，2，﹣1），，4，2），则α⊥β D．直线l的方向向量，3，0），平面α的法向量是，﹣5，0），则l∥α （多选）13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，点P为正方体内部（含表面）的点，且满足（m，n∈R），则下列说法正确的是（　　） A．存在点P使得CP⊥平面BC1D B．直线PC1与平面AB1D1所成角的正弦值范围是 C．异面直线B1C与C1D间的距离为 D．当时，点P的轨迹长度为 （多选）14．下列说法正确的是（　　） A．若，则的夹角是钝角 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．直线l经过点A（2，3，1），B（0，1，0），则点到l的距离为 D．直线l的方向向量，平面α的法向量，则l⊥α （多选）15．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达．芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（　　） A． B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为2 C．点P到直线CQ的距离是 D．异面直线CQ与AD1所成角的正切值为 16．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P是四边形ABCD内的动点（含边界）．若点P在线段AB上，则点P到直线CC1的距离的最小值为　　 ；若，则点P的轨迹长度为　 ． 17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M是棱BB1的中点，点P在棱A1B1上，且满足AM⊥CP，则平面AMC截三棱锥P﹣ABC的外接球所得的截面面积为 ． 18．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，M为BQ的中点，N为QC上一点，若，则点N到平面CPM的距离为 ． 19．如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为正方形，∠EAB＝60°，∠EAD＝45°，AE＝2AB，． （1）证明：AB⊥EC． （2）若，求点C到平面AEF的距离． 20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为线段AA1的中点，且AD⊥BE． （1）求直线CE与B1D1所成角的余弦值； （2）求点C1到平面BCE的距离； （3）已知点M在线段CC1上，直线EM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求线段CM的长． 21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，AB＝AA1＝4． （1）求证：A1B∥平面ADC1； （2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （3）求直线A1B到平面ADC1的距离． 22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上． （Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC； （Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的侧视图的面积． （多选）23．已知平面α，β的一个法向量分别为，，直线l的一个方向向量为，则（　　） A．若l∥α，则ac＝3 B．若l⊥β，则b﹣c＝3 C．若α⊥β，则2a﹣b＝﹣2 D．若α∥β，则b＝2a＝2 24．已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l∥α，则t＝ 　 　 ． 25．已知是平面α的一个法向量，是直线l的一个方向向量，若（3，1，2），（﹣2，2，2），则l与α的位置关系是 　 ． 26．已知（2，﹣4，z）是直线l的一个方向向量，（﹣1，y，）是平面α的一个法向量，若l⊥α，则y+z＝ 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 空间向量的应用 内 容 导 航 题型1 异面直线及其所成的角 题型2 空间向量的夹角与距离求解公式 题型3 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 题型4 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 题型5 平面的法向量 题型6 几何法求解直线与平面所成的角 题型7 几何法求解二面角及两平面的夹角 题型8 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 题型9 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 题型10 空间中点到平面的距离 题型11 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 题型12 空间向量语言表述线线的垂直、平行关系 题型13 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 考 点 演 练 题型1 异面直线及其所成的角 解｜题｜知｜识 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识： 【典例1】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AD＝4，AB＝3．将直角梯形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2，则异面直线AC与BD所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：过点A在平面ABD内作AE⊥BD，垂足为点E， 过点C在平面BCD内作CO⊥BD，垂足为点O， 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD， 所以AE⊥平面BCD，同理可证CO⊥平面ABD， 以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为AB⊥AD，AB＝3，AD＝2，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形ABCD中，AD∥BC，所以∠CBD＝∠ADB， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点，，，， 所以，， 设直线AC与BD所成的角为θ，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线AC与BD所成角的正切值为． 故选：B． 【变式1】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，如图， 设底面正方形ABCD的中心为Q，连接D1Q， 由正方体的结构特征可知，D1Q∥PB，则∠AD1Q为直线PB与AD1所成的角， 又由AC⊥平面BB1D1D，D1Q⊂平面BB1D1D，则有D1Q⊥AQ， 在Rt△AQD1 中，AD1＝2AQ，则∠AD1Q，即直线PB与AD1所成的角为， 故选：D． 【变式2】如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA′的长为3，且∠A′AB＝∠A′AD＝120°． （1）求AC′的长； （2）求异面直线BD′与AC夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵， 由题意得 ． （2）∵， ∴ ， ∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴， 又， ∴ ， ∴异面直线BD′与AC夹角的余弦值为． 题型2 空间向量的夹角与距离求解公式 解｜题｜知｜识 1．空间向量的夹角公式 设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）， cos 注意： （1）当cos1时，与同向； （2）当cos1时，与反向； （3）当cos0时，⊥． 2．空间两点的距离公式 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 dA，B＝||． 【解题思路点拨】 1．求空间两条直线的夹角 建系→写出向量坐标→利用公式求夹角 2．求空间两点的距离 建系→写出点的坐标→利用公式求距离． 【典例1】已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，|AB|＝|AC|＝2，|AA1|＝3，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB⊥AC，D，E分别为AB，CC1的中点，则|DE|＝（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：已知|AB|＝|AC|＝2，|AA1|＝3，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB⊥AC， D，E分别为AB，CC1的中点， 设， 则， 则 ， 所以． 故选：B． 【变式1】空间四边形OABC中，OB＝OC，，则的值是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为 ， 因为OB＝OC，所以， 所以． 故选：A． 【变式2】下列说法正确的有（　　） A．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．，，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C共面 【答案】ABD 【解答】解：已知，且， 由共线向量基本定理的推论可知，A，B，C三点共线，故A正确； 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 当x＝3时，满足，此时，， 有，即共线同向，则与的夹角为0，不是锐角，故C错误； 由，且满足， 可知P，A，B，C四点共面，故D正确． 故选：ABD． 题型3 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 解｜题｜知｜识 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使λ． 共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使xy． 空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得xyz． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1． 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 （1）•＝||||cos，； （2）⊥⇔•0（，为非零向量）； （3）||22，||． 2．向量的坐标运算 （a1，a2，a3），（b1，b2，b3） 向量和 （a1+b1，a2+b2，a3+b3） 向量差 （a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3） 数量积 •a1b1+a2b2+a3b3 共线 ∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R） 垂直 ⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0 夹角 公式 cos， 【典例1】设，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为， 可得0， 可得，解得， 即（0，1，1），（1，﹣1，1）， 所以（1，0，2）， 所以||． 故选：C． 【变式1】已知，且，则（　　） A．x＝2，y＝6 B．x＝2，y＝﹣6 C．x＝﹣2，y＝6 D．x＝﹣2，y＝﹣6 【答案】B 【解答】解：由题意，， 由，可得，解得x＝2，y＝﹣6． 故选：B． 【变式2】已知空间向量，若，其中λ∈R，则实数λ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：， 又因为， 所以． 故选：B． 题型4 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 解｜题｜知｜识 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意： ①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）； （2）列：根据0，0，列出方程组； （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量 （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标． 1、空间直线的点向式方程或标准方程： 设直线L过点M0（x0，y0，z0），（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知 改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）． 若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是 2、空间直线的参数方程： 在直线方程中，记其比值为t，则有 （※） 这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数． 【典例1】若A（1，0，﹣1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　） A．（1，1，1） B．（1，1，3） C．（3，1，1） D．（﹣3，0，1） 【答案】B 【解答】解：A（1，0，﹣1），B（2，1，2）， 则（1，1，3）． 故选：B． 【变式1】已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l⊥平面α，则x＝（　　） A． B．20 C． D．﹣20 【答案】A 【解答】解：平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为， 因为直线l⊥平面α， 所以，即，解得x． 故选：A． 【变式2】已知直线l经过A（﹣1，2，5），B（1，﹣1，n）两点，向量是直线l的一个方向向量，则n＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意直线l经过A（﹣1，2，5），B（1，﹣1，n）两点， 可得， 又向量是直线l的一个方向向量， 所以存在实数λ，使得， 则，解得λ＝﹣1，m＝3，n＝2． 故选：C． 题型5 平面的法向量 解｜题｜知｜识 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意： ①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）； （2）列：根据0，0，列出方程组； （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量 （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标． 【典例1】已知点A（﹣1，0，1），B（a，a+1，a﹣1），若平面ABC的一个法向量为，则（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：由题可得． 又，即1×（a+1）+（﹣1）×（a+1）+2×（a﹣2）＝0，解得a＝2． 所以，． 故选：B． 【变式1】若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则实数k＝（　　） A．2 B．﹣10 C．﹣2 D．10 【答案】A 【解答】解：∵直线l的方向向量， 平面α的一个法向量，l⊥α， ∴∥， ∴，解得k＝2． 故选：A． 【变式2】在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若α⊥β，则a﹣3b＝（　　） A．2 B．﹣2 C． D．6 【答案】A 【解答】解：因为平面α，β的法向量分别为，且α⊥β， 所以． 故选：A． 题型6 几何法求解直线与平面所成的角 解｜题｜知｜识 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的． 【解题方法点拨】 具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想． 【命题方向】 ﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算直线与平面之间的夹角． 【典例1】在正四棱锥S﹣ABCD中，AB＝2，，给出以下判断：①直线AB与SC所成角为；②二面角S﹣AB﹣D的大小为；③直线SA与平面ABCD所成角的余弦值为；④直线AD与平面SBC的距离为．其中判断正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：取BD∩AC＝H，AB中点为E，连接SH，EH，SE，如图所示． ∵AB＝2，， ∴SE⊥AB且SE＝2，SH⊥平面ABCD，且EH＝1，∴． 对①，∵AB∥CD，∴直线AB与SC所成的角即为∠SCD或其补角， 在等腰△SCD中，，∴.故①错误； 对②，∵SE⊥AB，EH⊥AB，∴∠SEH即为二面角S﹣AB﹣D的平面角． 在Rt△SEH中，，∴.故②正确； 对③，∵SH⊥平面ABCD，∴∠SAH即为直线SA与平面ABCD所成的角， 在Rt△SAH中，.故③错误； 对④，∵． 设D点到平面SBC的距离为h，则， 又，∴， 即直线AD与平面SBC的距离为，故④正确． ∴4个命题中，只有②④是正确的． 故选：B． 【变式1】如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是B1C1的中点． （1）证明：A1M⊥BC1； （2）在棱AA1上是否存在点N，使得MN∥平面ABC1，若存在，求的值，若不存在，说明理由； （3）若AB＝2，直线A1B与平面BCC1B1所成角的正切值为，求点M到平面A1BC1的距离． 【答案】（1）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1是正三角形，M是B1C1的中点， 所以A1M⊥B1C1， 又因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥平面A1B1C1，A1M⊂平面A1B1C1， 所以BB1⊥A1M，因为BB1∩B1C1＝B1， 所以A1M⊥平面BB1C1C，因为BC1⊂平面BB1C1C， 所以A1M⊥BC1． （2）棱AA1上存在点N，使得MN∥平面ABC1，； （3）； 【解答】解：（1）证明：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1是正三角形，M是B1C1的中点， 所以A1M⊥B1C1， 又因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥平面A1B1C1，A1M⊂平面A1B1C1， 所以BB1⊥A1M，因为BB1∩B1C1＝B1， 所以A1M⊥平面BB1C1C，因为BC1⊂平面BB1C1C， 所以A1M⊥BC1． （2）棱AA1上存在点N，使得MN∥平面ABC1， 取BB1的中点P，连接MP，NP，MN， 因为M是B1C1的中点，P是BB1的中点， 所以在△BB1C1中，MP∥BC1， 当N为AA1的中点时，A1N∥B1P且A1N＝B1P， 所以四边形A1B1PN是平行四边形，所以NP∥AB， 又AB⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，且AB∩BC1＝B，MP∩NP＝P， 所以平面MNP∥平面ABC1， 又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面ABC1， 因此棱AA1上存在点N，使得MN∥平面ABC1，且N为AA1的中点， 故； （3）设正三棱柱的侧棱AA1＝h， 由（1）知A1M⊥平面BCC1B1，故直线A1B与平面BCC1B1所成角为∠A1BM， 在Rt△A1BM中，， 等边△A1B1C1边长为2，M为B1C1中点，故． 又， 由题意， 得， 所以，A1C1＝2， 在等腰△A1BC1中，底边A1C1＝2，腰长为， 所以底边上的高， 所以， 设M到平面A1BC1的距离为d， 三棱锥M﹣A1BC1的体积等于三棱锥A1﹣MBC1的体积， 在△MBC1中，MC1＝1，点B到直线MC1的距离即为侧棱长， 所以． 又A1到平面MBC1的距离为， 所以． 同时，． 所以， 因此，点M到平面A1BC1的距离为． 题型7 几何法求解二面角及两平面的夹角 解｜题｜知｜识 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 【解题方法点拨】 求二面角的平面角：在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． 【命题方向】 ﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算两平面之间的夹角． 【典例1】如图，二面角α﹣l﹣β的大小为，点A在半平面α内，点B，B'均在半平面β内，AC⊥l于点C，B'C⊥l于点C，BD⊥l于点D，AC＝B'C＝BD＝1，CD＝2，则（　　） A．BB'∥α B．BB'⊥平面AB'C C．AB'⊥β D． 【答案】ABD 【解答】解：以C为原点，在平面β内过C作l的垂线为x轴，直线l为y轴，过C作平面β的垂线为z轴，建立空间直角坐标系． 由题意得C（0，0，0），D（0，2，0），B′（1，0，0），B（1，2，0）， 因为二面角α﹣l﹣β的平面角为，AC＝1， 所以B′C，AB′， 所以， 对于A：，与l方向一致，又l⊂α且BB′⊄α，由线面平行判定定理得BB′∥α，故A正确； 对于B：由AC⊥l，B′C⊥l，AC∩B′C＝C，AC⊂面AB′C，B′C⊂面AB′C， 所以l⊥平面AB′C， 又BB′∥l， 所以BB′⊥平面AB′C，故B正确； 对于C：由上可知，平面β的法向量为（0，0，1）， 因为与法向量不平行，故AB′不垂直于β，故C错误； 对于D：，，即，故D正确． 故选：ABD． 题型8 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 解｜题｜知｜识 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： 向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0，，θ，， 此时cosθ＝cos，． （2）当，π时，θ＝π，， cosθ＝﹣cos，． 【解题方法点拨】 ﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果． 【命题方向】 ﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角． 【典例1】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D在线段AC1上，且AD＝2DC1，E是棱AA1的中点． （1）证明：CE∥平面A1BD； （2）证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1； （3）设二面角A﹣A1D﹣B的大小为θ，证明：． 【答案】（1）延长A1D交CC1于点F， 由， 得，即F为CC1的中点， 因为E是棱AA1的中点，CC1∥AA1，CC1＝AA1， 所以CF∥A1E，CF＝A1E， 则四边形A1ECF是平行四边形， 所以CE∥A1F． 又因为CE⊄平面A1BD，A1F⊂平面A1BD，所以CE∥平面A1BD． （2）取AB的中点M，连接CM，在等边△ABC中，CM⊥AB． 因为AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以AA1⊥CM． 又AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面A1ABB1， 所以CM⊥平面A1ABB1． 设A1B∩AB1＝O，连接OF，OM， 则， 则OM∥CF，OM＝CF，所以四边形OMCF是平行四边形，则OF∥CM， 所以OF⊥平面A1ABB1． 因为OF⊂平面A1BD，； 所以平面A1BD⊥平面A1ABB1； （3）二面角A﹣A1D﹣B即二面角A﹣A1F﹣B． 取AC的中点N，连接BN．易证BN⊥平面ACC1A1，则BN⊥A1F． 过点N作A1F的垂线，垂足为H，连接BH． 又NH⊥A1F，且BN∩NH＝N，所以A1F⊥平面BNH，则A1F⊥BH， 所以二面角A﹣A1F﹣B的平面角为∠BHN． 因为，， 所以由等面积法可得， 则， 所以． 因为，所以， 即． 【解答】解：（1）证明：延长A1D交CC1于点F， 由， 得，即F为CC1的中点， 因为E是棱AA1的中点，CC1∥AA1，CC1＝AA1， 所以CF∥A1E，CF＝A1E， 则四边形A1ECF是平行四边形，所以CE∥A1F． 又因为CE⊄平面A1BD，A1F⊂平面A1BD， 所以CE∥平面A1BD． （2）证明：取AB的中点M，连接CM，在等边△ABC中，CM⊥AB． 因为AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以AA1⊥CM． 又AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面A1ABB1， 所以CM⊥平面A1ABB1． 设A1B∩AB1＝O，连接OF，OM， 则， 则OM∥CF，OM＝CF，所以四边形OMCF是平行四边形，则OF∥CM， 所以OF⊥平面A1ABB1． 因为OF⊂平面A1BD， 所以平面A1BD⊥平面A1ABB1． （3）证明：二面角A﹣A1D﹣B即二面角A﹣A1F﹣B． 取AC的中点N，连接BN．则BN⊥AC， 在正三棱中，由面面垂直的性质定理可得BN⊥平面ACC1A1，则BN⊥A1F． 过点N作A1F的垂线，垂足为H，连接BH． 又NH⊥A1F，且BN∩NH＝N，所以A1F⊥平面BNH，则A1F⊥BH， 所以二面角A﹣A1F﹣B的平面角为∠BHN． 因为，， 所以由等面积法可得， 则， 所以． 因为，所以， 即． 题型9 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 解｜题｜知｜识 点到直线的距离：点P到直线l的距离为： 其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量． ﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离． 【解题方法点拨】 ﹣计算距离：应用点到直线的距离公式和两平行直线的距离计算公式． 【命题方向】 ﹣距离计算：考查如何计算空间中点到直线的距离以及两平行直线之间的距离． 【典例1】在空间直角坐标系中，点M（﹣1，3，4）到z轴的距离为（　　） A．2 B． C．1 D．4 【答案】B 【解答】解：在空间直角坐标系中，点M（﹣1，3，4）到z轴的距离为． 故选：B． 【变式1】已知空间中三点A（﹣1，0，0），B（0，1，﹣1），C（﹣2，﹣1，2），则点C到直线AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵空间中三点A（﹣1，0，0），B（0，1，﹣1），C（﹣2，﹣1，2）， ∴（1，1，﹣1），（﹣1，﹣1，2）， ∴点C到直线AB的距离为： d＝|| • • ． 故选：A． 【变式2】在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P（x0，y0，z0），且以向量（a，b，c）（abc≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线l的方程为z+1，则点Q（2，4，﹣4）到直线l的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为直线l的方程为z+1， 即， 所以直线l经过点P（﹣1，0，1），且为一个方向向量， 又点Q（2，4，﹣4），所以， 故点Q到直线l的距离为． 故选：B． 题型10 空间中点到平面的距离 解｜题｜知｜识 ﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为： 【解题方法点拨】 ﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离． 【命题方向】 ﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离． 【典例1】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，点E为B1C1的中点，则下列说法正确的是（　　） A． B．AB1∥平面A1CE C．异面直线AE与A1C所成的角的余弦值为 D．点A1到平面ACE的距离为 【答案】ABD 【解答】解：对于A，， 因为E是B1C1的中点， 所以（）（）， 可得（），故A项正确； 对于B，，，， 所以2，可得、、是共面向量， 因为AB1⊄平面A1CE，所以AB1∥平面A1CE，故B项正确； 对于C，以{、、}为正交基底，建立空间直角坐标系， 可得（1，1，2），（2，0，﹣2）， 所以cos，， 可得AE与A1C所成角的余弦值等于|cos，|，故C项错误； 对于D，设（x，y，z）的法向量，由（2，0，0），（1，1，2）， 可得，取y＝2，得（0，2，﹣1）， 而（0，0，﹣2），所以点A1到平面ACE的距离d，故D项正确． 故选：ABD． 【变式1】如图，正四棱锥P﹣ABCD与正四棱锥Q﹣ABCD的底面重合，且AP＝AB＝AQ＝2，M为棱BC上一点，则（　　） A．AP∥平面BCQ B．正四棱锥P﹣ABCD的体积为 C．PM+QM的最小值为 D．点D到平面PAB的距离为 【答案】ACD 【解答】解：对于选项A，因为正四棱锥P﹣ABCD与正四棱锥Q﹣ABCD的底面重合， 又AP＝AB＝AQ＝2， 所以AP＝PC＝CQ＝QA，所以四边形APCQ为平行四边形， 所以AP∥CQ，又CQ⊂面BCQ，AP⊄面BCQ， 所以AP∥平面BCQ，所以A正确； 对于选项B，设AC∩BD＝O，连接OP，如图所示， 因为AP＝AB＝AQ＝2， 所以S正方形ABCD＝4，， 在Rt△APO中，，所以， 所以正四棱锥P﹣ABCD的体积为，所以B错误； 对于选项C，展开△PBC，△QBC，连接PQ，PQ∩BC＝M， 此时M是BC的中点，则PM+QM最小，如图多面体中， 可知PM⊥BC，所以BM＝1，PB＝2，可得， 所以PM+QM的最小值为，所以C正确； 对于选项D，以O为坐标原点，建系如图， 又， 则， 则， 设平面PAB的法向量为， 则，即，取， 所以点D到平面PAB的距离为： ，所以D正确． 故选：ACD． 【变式2】已知点A（1，1，﹣1）在平面α内，点P（0，2，1）在α外，且α的一个法向量，则点P到平面α的距离为　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为点A（1，1，﹣1），，点P（0，2，1）， 所以， 又α的一个法向量，点A（1，1，﹣1）在平面α内， 所以根据点到平面的距离公式． 所以点P到平面α的距离为． 故答案为：． 题型11 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 解｜题｜知｜识 ﹣两平行平面间的距离：若两平面方程为Ax+By+Cz+D1＝0和Ax+By+Cz+D2＝0，它们之间的距离为： ﹣平行于平面的直线到平面的距离：计算直线到平面的距离与计算点到平面的距离相同． 【解题方法点拨】 ﹣计算距离：应用平面间距离公式计算结果． 【命题方向】 ﹣距离计算：考查如何计算空间中两平面之间的距离以及平行于平面的直线到平面的距离． 【典例1】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图示： 因为BD∥EF，所以BD∥平面EFD1B1， 所以直线BD到平面EFD1B1的距离即点D到平面EFD1B1的距离，设为h， 所以底面ABCD的中心I到平面EFD1B1的距离也为h， 因为BD⊥平面A1C1CA，EF∥BD， 所以EF⊥平面A1C1CA， 所以平面EFD1B1⊥平面A1C1CA， 所以I到HJ的距离也是h， 因为HI⊥AC，|HI|＝1，|IJ|， 所以|HJ|， 所以h． 故选：D． 【变式1】两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量（﹣1，0，1），则两平面间的距离是（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解答】解：由题意可得（2，1，1）， 两平行平面的一个法向量（﹣1，0，1）， 两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值， 可得距离为d＝|| ＝||， 故选：B． 【变式2】正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（　　） A．直线AE与CF是异面直线 B．平面ABF⊥平面ABE C．该几何体的体积为 D．平面ABE与平面DCF间的距离为 【答案】D 【解答】解：∵A，E，C，F四点共面，直线AE与CF是共面的；故A错误； 取AB中点O，连接EO，FO，EF， 棱长为2的正八面体中，则△ABE和△ABF都是边长为2的等边三角形， ∴EO⊥AB，FO⊥AB，∴∠EOF是二面角E﹣AB﹣F的平面角， EO＝FO，EF＝2， ∴cos∠EOF， ∴平面ABF与平面ABE不垂直，故B错误； V4×2，∴故C错误； 连接AC、BD设交于G，则G﹣ABE为正三棱锥，其底边长为2， ∴三角形ABE外接圆的半径为r， 侧棱长为，所以G到平面ABE的距离， ∴平面ABE与平面DCF间的距离为，故D正确． 故选：D． 题型12 空间向量语言表述线线的垂直、平行关系 解｜题｜知｜识 线线垂直与平行： 1．直线与直线平行 设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得： l1∥l2（或l1与l2重合）⇔∥ 2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2⇔⊥⇔•0． 【典例1】如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（　　） A．y﹣z＝0 B．2y﹣z﹣1＝0 C．2y﹣z﹣2＝0 D．z﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0） 所以 因为CF⊥B1E，所以 即：2﹣2z＝0，即：z＝1 故选：D． 【变式1】设直线l1，l2的方向向量分别为（﹣2，2，1），（3，﹣2，m），若l1⊥l2，则m＝ 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：直线l1，l2的方向向量分别为（﹣2，2，1），（3，﹣2，m），若l1⊥l2， 即， 则， 解得m＝10． 故答案为：10． 【变式2】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，D，E分别是AC，AB边上的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C＝A1D，如图2． （Ⅰ）求证：DE⊥A1C； （Ⅱ）求点C到平面A1BE的距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】（Ⅰ）证明：在图1△ABC中，D，E为AC，AB边中点 所以DE∥BC． 又AC⊥BC，所以DE⊥AC． 在图2中DE⊥A1D，DE⊥DC，且A1D∩DC＝D，则DE⊥平面A1CD． 又因为A1C⊂平面A1CD，所以DE⊥A1C． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面A1CD，且DE⊂平面BCDE， 所以平面A1CD⊥平面BCDE， 且平面A1CD∩平面BCDE＝DC， 在正△A1CD中，过A1作A1O⊥CD，垂足为O， 所以A1O⊥平面BCDE．A1O即为三棱锥A1﹣BCE底面上的高， 在△A1CD中，． 在△A1BE中，，，所以． 在梯形BCDE中，． 设点C到平面A1BE的距离为h， 因为， 所以，解得． 即点C到平面A1BE的距离为． 题型13 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 解｜题｜知｜识 1．直线与平面平行 （1）已知两个非零向量和与α共面，直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理可以得： l∥α或l在α内⇔存在两个有序实数（x，y）使 （2）由共面向量定理还可以得，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对有序实数（x，y）使向量表达式成立． 2．线面垂直： （1）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥⇔k； （2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． 【典例1】已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若直线l与平面α垂直，则实数x的值为（　　） A．﹣10 B．10 C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，直线l的方向向量为，平面α的法向量为， 若直线l与平面α垂直，则∥， 设，即，解得． 故选：D． 【变式1】已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，因为l1，l2不重合，必有，故A正确； 对于B，由平面法向量与直线方向向量的定义得，或l1⊂α，故B不正确； 对于C，因为，为平面α的法向量，所以l1⊥α，故C不正确； 对于D，由平面法向量与平面的位置关系可得，，故D不正确． 故选：A． 【变式2】已知直线l的方向向量与平面α的法向量分别为，，则（　　） A．l∥α B．l⊥α C．l∥α或l⊂α D．l，α相交但不垂直 【答案】C 【解答】解：根据题意，直线l的方向向量与平面α的法向量分别为，， 则， 故，所以l∥α或l⊂α 故选：C． 过 关 验 收 1．（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（　　） A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 【答案】ABC 【解答】解：对于A，•2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确； 对于B，•（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确； 对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确； 对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误． 故选：ABC． 2．设，若，则实数k的值为　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：， ∴． ∵，∴， ∴1﹣2k+8+3＝0，解得k＝6． 故答案为：6． 3．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，． （1）求cos； （2）k与k互相垂直，求实数k的值． 【答案】（1）； （2）或k＝2． 【解答】解：（1）由题设，， 所以． （2）由，，而， 所以， 可得或k＝2． （多选）4．下列说法正确的是（　　） A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为（1，0），一个法向量为（0，1） B．若直线的一个方向向量为（a，a+1），则该直线的斜率为 C．若直线的法向量为，则能作为该直线的一个方向向量 D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 【答案】ACD 【解答】解：对于A，若直线垂直于y轴，则由直线的方向向量和法向量的定义得： 法该直线的一个方向向量为（1，0），一个法向量为（0，1），故A正确； 对于B，若直线的一个方向向量为（a，a+1），当a＝0时，该直线的斜率不存在， 当a≠0时，该直线的斜率为，故B错误； 对于C，若直线的法向量为， 则由直线的方向向量和法向量的定义得：能作为该直线的一个方向向量，故C正确； 对于D，由直线的方向向量和法向量的定义得： 任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的，故D正确． 故选：ACD． 5．点A（2，1，1）是直线l上一点，（1，0，0）是直线l的一个方向向量，则点P（1，2，0）到直线l的距离是 　　 ． 【答案】 【解答】解：由题意，点A（2，1，1）和P（1，2，0），可得，且， 所以点P（1，2，0）到直线l的距离是． 故答案为：． 6．已知点A（1，﹣3），B（7，3），C（5，2），过点A且以向量为方向向量的直线为l，点D（m+3，m）到直线l的距离为． （1）求m； （2）若，证明：四边形ABCD是等腰梯形． 【答案】（1）m＝﹣1或m＝﹣7； （2）证明见解析． 【解答】解：（1）B（7，3），C（5，2）， 以向量为方向向量的直线l斜率为， 所以l的方程为，即x﹣2y﹣7＝0， 点D（m+3，m）到直线l的距离为， 得m＝﹣1或m＝﹣7； （2）证明：由（1）得D（2，﹣1）或D（﹣4，﹣7）， 当D（﹣4，﹣7）时，， 当D（2，﹣1）时，， 由，得D（2，﹣1）， 又，，则， 即AB∥CD，且AB≠CD， 所以四边形ABCD是等腰梯形． 7．已知向量（其中a，b为实数）是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量． （1）若l∥α，求a2+b2的最小值； （2）若l⊥α，求a，b的值． 【答案】（1）； （2）a＝4，b＝12． 【解答】解：（1）根据题意，由向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量， 若l∥α，则⊥， 故，可得a﹣b﹣1＝0，所以b＝a﹣1， 则， 当时，a2+b2取得最小值，最小值为． （2）根据题意，若l⊥α，可得∥， 设λ，即（2，a，2a﹣b）＝λ（﹣1，﹣2，2）， 可得，由λ＝﹣2，代入可得a＝4，b＝12． 8．若平面α的法向量为，平面β的法向量为，直线l的方向向量为，则（　　） A．若α∥β，则m＝2 B．若l⊥α，则n＝2 C．若n＝﹣20，则l∥α D．若m＝﹣10，则α⊥β 【答案】D 【解答】解：对于A，由α∥β，得∥， 则，解得，故A错误； 对于B，由l⊥α，得∥， 则，解得n＝1，故B错误； 对于C，由n＝﹣20，得， ， 则，则l∥α或l⊂α，故C错误； 对于D，由m＝﹣10，得， ， 则，则α⊥β，故D正确． 故选：D． 9．若平面α，β的法向量分别为（2，﹣1，0），，则α与β的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：已知平面α的法向量为 ＝ （2，﹣1，0），平面β的法向量（1，2，1）．根据向量数量积的坐标运算公式， ，所以，故面α，β所成的二面角平面角为， 则平面α与β垂直． 故选：B． 10．下列三个说法中，正确的个数是（　　） ①若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m⟺∥； ②若{，，}是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面； ③若两个不同平面α，β的法向量分别为，，且（1，2，2），（﹣2，﹣4，4），则α∥β． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：①由题意可得：两条不同的直线的方向向量共线时，可得两条直线平行，反之亦然，所以①正确； ②若{，，}是空间的一个基底，且， 因为1，则A，B，C，D四点共面，所以②正确； ③若两个不同平面α，β的法向量分别为，，且（1，2，2），（﹣2，﹣4，4）， 可得2，即，则α∥β，所以正确． 故选：C． 11．结合以下材料：“在空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0．”解决问题：在空间直角坐标系O﹣xyz中，若直线l是两平面x﹣3y+7＝0与4y+2z+3＝0的交线，则直线l的方向向量可以是（　　） A．（3，1，﹣2） B．（3，1，2） C．（﹣2，1，﹣3） D．（2，1，3） 【答案】A 【解答】解：由已知，平面x﹣3y+7＝0的法向量可以是（1，﹣3，0）， 平面4y+2z+3＝0的法向量可以是（0，4，2）， 设交线的方向向量为（x，y，z），则，即， 可知（3，1，﹣2）满足题意． 故选：A． （多选）12．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　） A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，3，﹣1），，﹣3，1），则l1∥l2 B．直线l的方向向量，﹣1，2），平面α的法向量是，4，﹣1），则l⊥α C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，2，﹣1），，4，2），则α⊥β D．直线l的方向向量，3，0），平面α的法向量是，﹣5，0），则l∥α 【答案】AC 【解答】解：因为，3，﹣1），，﹣3，1），即，又因为l1，l2不重合，所以l1∥l2，A正确． 因为，﹣1，2），，4，﹣1），所以与不平行，所以l不垂直于α，B错误． 因为，2，﹣1），，4，2），所以2×（﹣3）+2×4+（﹣1）×2＝0，所以，所以α⊥β，C正确． 因为，3，0），，﹣5，0），所以，所以，所以l⊥α，D错误． 故选：AC． （多选）13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，点P为正方体内部（含表面）的点，且满足（m，n∈R），则下列说法正确的是（　　） A．存在点P使得CP⊥平面BC1D B．直线PC1与平面AB1D1所成角的正弦值范围是 C．异面直线B1C与C1D间的距离为 D．当时，点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解答】解：对于A，由题可知，∵点P在正方体内部，且， ∴P在△AB1D1边界及其内部， 以A1为坐标原点建立空间直角坐标系，如图1， 则A（0，0，3），B（3，0，3），C（3，3，3），D（0，3，3），B1（3，0，0），C1（3，3，0），D1（0，3，0）， （0，3，﹣3），（﹣3，3，0），（3，3，3）， 则，∴A1C⊥平面BC1D， ∴存在A1C与平面AB1D1的交点P使得CP⊥平面BC1D，故A正确； 对于B，设点C1到平面AB1D1的距离为d， 由题意得△AB1D1为等边三角形，且边长为3， 则，即， 解得d， 由图知点C1到△AB1D1内部的点（包括边界）距离最大值为CA＝3， 最小值为点C1到线段B1D1 的垂线段距离为， 则sinα∈[]，即sinα∈[]， ∴直线PC1与平面AB1D1所成角的正弦值范围是[，]，故B错误； 对于C，由题意知（0，3，3），（﹣3，0，3），（0，3，0）， 设（x，y，z），使得⊥，， ∴，取x＝1，得（1，﹣1，1）， 设异面直线B1C与C1D的距离为d， 则d，故C正确； 对于D，， 当∥时，， 则m＝n，此时P0（1，1，1），即⊥平面AB1D1，则⊥， ||， 则||，P点的轨迹是以P0为圆心，半径为的圆的部分， ∵，∴P0为△AB1D1的重心，如图2， 则MN＝2，则， 则点P的轨迹长度为（2π﹣3），故D正确． 故选：ACD． （多选）14．下列说法正确的是（　　） A．若，则的夹角是钝角 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．直线l经过点A（2，3，1），B（0，1，0），则点到l的距离为 D．直线l的方向向量，平面α的法向量，则l⊥α 【答案】BC 【解答】解：对A选项：若，则的夹角是钝角或平角，所以A选项错误； 对B选项：若共面， 则存在x，y∈R，使得成立， 所以，又是空间的一个基底， 所以，无解， 所以不共面， 所以也是空间的一个基底，所以B选项正确； 对C选项：因为，，，所以， 所以即为点P到l的距离，又，所以C选项正确； 对D选项：因为不存在实数k∈R使得，所以与不共线，所以l⊥α不成立，所以D选项错误． 故选：BC． （多选）15．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达．芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（　　） A． B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为2 C．点P到直线CQ的距离是 D．异面直线CQ与AD1所成角的正切值为 【答案】ACD 【解答】解：选项A：连接BQ，如图所示： 因为 ， 所以， 选项B：由题意，以A1为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则C（﹣1，1，﹣1），Q（0，﹣1，1），E（1，﹣1，﹣1）， 设点M（x，y，z），令（0≤t≤1）， 则（x，y+1，z﹣1）＝t（﹣1，2，﹣2）， 所以M（﹣t，2t﹣1，﹣2t+1）， 所以，， 所以 ＝（1+t）•（t﹣1）+（﹣2t）•（2﹣2t）+（2t﹣2）•（2t﹣2） ＝9t2﹣12t+3， 设g（t）＝9t2﹣12t+3（0≤t≤1）， 该二次函数对称轴为：，且开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且g（0）＝3，g（1）＝0，g（0）＞g（1）， 所以g（t）在[0，1]上的最大值为3，即的最大值为3，故B选项不正确； 选项C：由P（1，﹣1，0），则，， 所以．， 且， 所以点P到直线CQ的距离为： ，故C选项正确； 选项D：由A（0，0，﹣1），D1（﹣1，0，0）， 所以，， 设异面直线CQ与AD1所成角为， 所以 ， 所以， 所以，故D选项正确． 故选：ACD． 16．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P是四边形ABCD内的动点（含边界）．若点P在线段AB上，则点P到直线CC1的距离的最小值为　　 ；若，则点P的轨迹长度为　　 ． 【答案】；． 【解答】解：连接A1O1，AO，O1O，如图， 则A1O1＝2，AO＝4，O1O⊥平面ABCD， 过A1作A1H∥O1O，则A1H⊥AO，AH＝2，又，故A1H＝2，O1O＝2， 如图：以O为原点，OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（4，0，0），B（0，4，0，），C（﹣4，0，0，），C1（﹣2，0，2），，， 设与都垂直的向量为， 则，则， 取x＝1，则， 所以异面直线AB，CC1之间的距离， 则点P到直线CC1的距离的最小值为； 如图：过H作HF⊥AD，HE⊥AB， 因为，A1H＝2，所以， 所以点P在正方形ABCD内，以H为圆心，为半径的圆弧上， 因为AH＝2，所以，， 所以， 同理， 所以， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：；． 17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M是棱BB1的中点，点P在棱A1B1上，且满足AM⊥CP，则平面AMC截三棱锥P﹣ABC的外接球所得的截面面积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A（2，0，0），M（2，2，1），C（0，2，0）， 设点P（2，t，2）， 则， 由AM⊥CP，得， 解得t＝1，则点P（2，1，2）， 故点P为A1B1的中点， 设P﹣ABC的外接球球心为O，O在平面ABC上的射影N为AC的中点， O在平面ABP上的射影为△PAB的外心Q，AB的中点为I，连接PI， 则Q在线段PI上， 连接OQ，NI，OA，QA，OP， 设QA＝r，则，ON＝QI＝PI﹣PQ＝2﹣r， 由QI＝ON，可得2﹣r， 解得， 因为OQ＝NI1， 所以OA， 设外接球的球心为O（1，1，h）， 依题意，OA＝OP，即， 解得， 所以球心， 设平面AMC的法向量为， 因为， 则，取x＝1，解得， 所以， 又因为， 所以球心O到平面AMC的距离为， 所以截面圆的半径为， 所以截面面积为． 故答案为：． 18．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，M为BQ的中点，N为QC上一点，若，则点N到平面CPM的距离为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，易知AD，CD，PD两两垂直， 以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得C（0，2，0），P（0，0，2），Q（0，1，2），M（1，1，1）， 所以，，， 设（x，y，z）为平面CPM的法向量， 则，即， 不妨设z＝1，可得， 由，得， 则N到平面CPM的距离为． 故答案为：． 19．如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为正方形，∠EAB＝60°，∠EAD＝45°，AE＝2AB，． （1）证明：AB⊥EC． （2）若，求点C到平面AEF的距离． 【答案】（1）证明：因为四棱锥E﹣ABCD的底面为正方形，∠EAB＝60°，∠EAD＝45°，AE＝2AB，． 所以AB⊥BC，设AE＝2AB＝2x， 则BE2＝AE2+AB2﹣2AE•AB•cos∠EAB＝4x2+x2﹣2•2x•xcos60°＝3， 解得x＝1，所以AE＝2，AB＝1， 所以AE2＝BE2+AB2，所以AB⊥BE． 又BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCE， 所以AB⊥平面BCE，所以AB⊥EC； （2）． 【解答】解：（1）证明：因为四棱锥E﹣ABCD的底面为正方形，∠EAB＝60°，∠EAD＝45°，AE＝2AB，． 所以AB⊥BC，设AE＝2AB＝2x， 则BE2＝AE2+AB2﹣2AE•AB•cos∠EAB＝4x2+x2﹣2•2x•xcos60°＝3， 解得x＝1，所以AE＝2，AB＝1， 所以AE2＝BE2+AB2，所以AB⊥BE． 又BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCE， 所以AB⊥平面BCE，所以AB⊥EC； （2）以D为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴，建系如图： 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）．设E（x，y，z）（z＞0）， 则， 所以． 因为∠EAB＝60°，∠EAD＝45°， 所以，所以y＝1． 因为， 所以，解得，所以． 则，又z＞0，所以z＝1， 所以． 又，所以EF∥AB，所以平面AEF即平面ABE， 设平面ABE的法向量为， 则，得，取， 设点C到平面ABE的距离为d，因为， 所以． 20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为线段AA1的中点，且AD⊥BE． （1）求直线CE与B1D1所成角的余弦值； （2）求点C1到平面BCE的距离； （3）已知点M在线段CC1上，直线EM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求线段CM的长． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解答】解：（1）AA1⊥面ABCD，AD⊂面ABCD，故AD⊥AA1， 又AD⊥BE，AA1∩BE＝E，AA1，BE⊂面ABB1A1，故AD⊥面ABB1A1， 又AB⊂面ABB1A1，故AD⊥AB， 建立空间直角坐标系，如图所示： C（1，1，0），E（0，0，1），D1（1，0，2），B1（0，2，2）， ，， 则直线CE与B1D1所成角的余弦值为； （2）B（0，2，0），C1（1，1，2），，， 设平面BCE的一个法向量为， 则，即， 取x1＝1，则， 所以点C1到平面BCE的距离； （3）设M（1，1，t），其中t∈[0，2]，则， 设平面BCC1B1的法向量为， 则，即， 取x2＝1，则， 则， 解得或， 故线段CM的长为或． 21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，AB＝AA1＝4． （1）求证：A1B∥平面ADC1； （2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （3）求直线A1B到平面ADC1的距离． 【答案】（1）证明过程请见解答；（2）证明过程请见解答；（3）． 【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O是A1C的中点， 因为D是BC的中点， 所以OD∥A1B， 又OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1． （2）证明：因为△ABC为等边三角形，且D是BC的中点， 所以AD⊥BC， 由正三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC， 因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD， 又BC∩BB1＝B，BC、BB1⊂平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1， 因为AD⊂平面ADC1， 所以平面ADC1⊥平面BCC1B1． （3）解：由（1）知A1B∥平面ADC1， 所以直线A1B到平面ADC1的距离等价于点B到平面ADC1的距离， 由（2）知AD⊥平面BCC1B1， 所以点A到平面BDC1的距离为AD， 因为AA1∥平面BDC1，所以点A1到平面BDC1的距离也为AD， 而AD•DC12，BD•CC14， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以d•AD•，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上． （Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC； （Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的侧视图的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（Ⅰ）证法一：在四棱锥P﹣ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB， 因为E是PD的中点，所以EFCDAB，…（2分） 所以四边形AEFB是平行四边形，…（3分） 则AE∥FB， 而AE⊄平面PBC，FB⊂平面PBC，…（5分） ∴AE∥平面PBC．　　　　　　　　　　…（6分） 证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设PB＝t，则P（0，0，t），D（﹣1，2，0），C（1，2，0），A（﹣1，0，0）， 所以E（，1，），，…（2分） 设平面PBC的法向量为（x，y，z），则，所以，即 取y＝﹣1，得到平面PBC的法向量为（2，﹣1，0）． 所以0，而AE⊄平面PBC，则AE∥平面PBC．…（6分） （Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系， 设PB＝t（t＞0），则P（0，0，t），D（﹣1，2，0），C（1，2，0）， 所以（﹣1，2，﹣t），（1，2，0）， 则||，||，…（9分） 由已知异面直线BC与PD成60°角，所以•， 又•1×1+2×2+（﹣t）×0＝3， 所以3，解得t，即PB， 所以侧视图的面积为S2．…（13分） （多选）23．已知平面α，β的一个法向量分别为，，直线l的一个方向向量为，则（　　） A．若l∥α，则ac＝3 B．若l⊥β，则b﹣c＝3 C．若α⊥β，则2a﹣b＝﹣2 D．若α∥β，则b＝2a＝2 【答案】ABD 【解答】解：根据题意，平面α，β的一个法向量分别为，，直线l的一个方向向量为， 依次分析选项： 对于A，由l∥α，得，则﹣2+ac﹣1＝0，即ac＝3，A正确； 对于B，由l⊥β，得∥，则∃λ∈R，，即，解得，因此b﹣c＝3，B正确； 对于C，由α⊥β，得，则2+2a+b＝0，C错误； 对于D，由α∥β，得∥，则∃μ∈R，，即，，解得，D正确． 故选：ABD． 24．已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l∥α，则t＝ 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为， 又l∥α， 则， 即， 解得t＝2． 故答案为：2． 25．已知是平面α的一个法向量，是直线l的一个方向向量，若（3，1，2），（﹣2，2，2），则l与α的位置关系是 l⊂α或l∥α　 ． 【答案】l⊂α或l∥α． 【解答】解：根据题意，若（3，1，2），（﹣2，2，2）， 则有•6+2+4＝0，故⊥， 而是平面α的一个法向量，是直线l的一个方向向量， 则l⊂α或l∥α． 故答案为：l⊂α或l∥α． 26．已知（2，﹣4，z）是直线l的一个方向向量，（﹣1，y，）是平面α的一个法向量，若l⊥α，则y+z＝ 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：根据题意，若l⊥α，则∥，则有， 解可得：y＝2，z＝1， 故y+z＝3． 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $