3.1.2 第1课时 函数的表示法（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的表示法，涵盖解析法、列表法、图象法三种表示方法，函数图象绘制及解析式求法等核心知识点。课前预习通过诊断分析和优缺点比较搭建旧知联系，课中探究以实例和变式练习为支架，逐步深化理解。 其亮点在于以实例驱动，让学生用数学眼光观察现实问题（如彩电销售收款额），通过待定系数法、换元法等培养数学思维的逻辑性，素养小结系统梳理方法要点。学生能提升问题解决能力，教师可获得结构化教学资源，提高教学效率。

3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法 1 第1课时 函数的表示法 2 探究点一 函数的表示方法 探究点二 函数的图象 探究点三 函数解析式的求法 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 理解函数的表示法：（1）熟练掌握函数表示的三种常用方法: 解析法、图象法与列表法;（2）对于具体函数,能选择一种适当的方 法将其表示出来;（3）对一些简单函数，能根据函数的解析式画出 函数图象. 4 知识点一 函数的三种表示方法 1.函数的三种表示方法 表示法 定 义 解析法 用________表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出______来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用______表示两个变量之间的对应关系 解析式 表格 图象 课 前 预 习 5 2.三种表示方法的优缺点比较 优 点 缺 点 解析 法 一是简明、抽象地揭示了变量 间的关系;二是可以通过解析式 求出任意一个自变量所对应的 函数值 不够形象、直观，而且并不 是所有的函数都可以用解析 法表示 列表 法 不通过计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的 有限值的对应关系，且揭示 变量间的变化关系不够全面 课 前 预 习 6 优 点 缺 点 图象 法 直观形象地揭示出变量间的变 化情况，有利于通过图形研究 函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对 应的函数值，有时误差较 大、不够精确 续表 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( ) × [解析] 如 的图象就不是连续的曲线. （2）函数与 的图象相同.( ) × [解析] 两函数的定义域不同，则图象不同. 课 前 预 习 8 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若，则 .( ) √ [解析] 因为，所以 . （4）函数， 的图象是直线.( ) × [解析] 为一次函数，其图象是一条直线，因为 的定 义域为，所以 的图象为线段. 课 前 预 习 9 知识点二 函数图象的平移变换 （1）左加右减：将函数的图象沿轴向左 或向右 平移个单位长度得到函数 的图象. （2）上加下减：将函数的图象沿轴向上 或向下 平移个单位长度得到函数 的图象. 课 前 预 习 10 探究点一 函数的表示方法 例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求该彩电的销售 量（台）与收款额 （元）之间的函数关系，分别用列表法、图象 法、解析法表示出来. 解：列表法： 1 2 3 4 5 3000 6000 9000 12 000 15 000 6 7 8 9 10 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 课 中 探 究 11 图象法： 解析法：，，2，3， ， . 课 中 探 究 12 变式（1）已知函数由下表给出，则 的值为 ( ) 1 2 3 A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由表格可得，故 . 故选B. √ 课 中 探 究 13 （2）已知完成某项任务的时间 （单位：分钟）与参加此项任务的 人数之间的关系式为.当时，；当 时，.若参加此项任务的人数不能超过20，则函数 的解析 式为_ _______________________________. 课 中 探 究 14 [解析] 由题意知解得 所以， 又因为，为正整数，所以函数 的定义域是 ，，所以函数 的解析式为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 理解函数表示法的三个要点： （1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方法 表示函数，都必须满足函数的概念. （2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数 的角度描述函数. （3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方 法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 课 中 探 究 16 探究点二 函数的图象 例2 作出下列函数的图象. （1）， ； 解：列表： 0 1 2 1 3 5 课 中 探 究 17 描点、连线，, 的图象如图所示. 课 中 探 究 18 例2 作出下列函数的图象. （2）， ； 解：列表： 2 3 4 1 描点、连线，, 的图象如图所示. 课 中 探 究 19 例2 作出下列函数的图象. （3）， ； 解：列表： 0 1 2 0 0 3 8 描点、连线，, 的图象如图所示. 课 中 探 究 20 例2 作出下列函数的图象. （4） . 解：列表： 0 1 0 1 2 3 描点、连线， 的图象如图所示. 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 1.一般地,作函数图象有以下三个步骤: （1）列表；（2）描点；（3）连线. 2.作函数图象时应注意以下几点： （1）在定义域内作图； （2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个 图象； （3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点和与坐标轴的交点 等，要分清这些关键点是实心点还是空心点. 课 中 探 究 22 探究点三 函数解析式的求法 角度1 待定系数法求解析式 例3（1）已知函数是一次函数，且 , ,求 的解析式. 解：由函数为一次函数，可设，. 由 ，得，由，得， 故 ，的解析式为 . 课 中 探 究 23 （2）已知是二次函数，满足 , 求函数 的解析式. 解：设 , , 解得 的解析式为 . 课 中 探 究 24 角度2 换元法（或配凑法）求解析式 例4（1）已知，则 的解析式为 ( ) A. B. C. D. [解析] 已知 , 设,所以,. 要使 有意义,则需,解得, 所以 .故选A. √ 课 中 探 究 25 （2）若，则当，且时，函数 的解析式为 _ ___________________. ，且 [解析] 设，且，则， ， ，且 . 课 中 探 究 26 角度3 方程组法求函数解析式 例5（1）已知函数满足，则 _______. [解析] ①， ，由①②可得 . 课 中 探 究 27 （2）已知函数的定义域为，且 ， 求 的解析式. 解：在中，用代替 ，得. 由 消去得 . 课 中 探 究 28 变式（1）已知为二次函数,且满足 , ,求 的解析式. 解：设,因为,所以 , 又 ,所以 ,, 即 ,故 解得,则的解析式为 . 课 中 探 究 29 （2）已知,求 的解析式. 解：方法一（换元法） 令,则, , ,所以 . 方法二（配凑法） ,所以 . 课 中 探 究 30 （3）已知函数满足，求 的解析式. 解：由，可得 ， 两式消去，可得 ， 故 . 课 中 探 究 31 ［素养小结］ 求函数解析式的常用方法: （1）待定系数法:已知函数的类型（如一次函数、二次函数）,可用 待定系数法. （2）换元法:已知复合函数<m></m>的解析式,可用换元法,此时要 注意新元的取值范围. 课 中 探 究 32 （3）配凑法:由已知条件,可将改写成关于 的 表达式,然后用替换,即得 的解析式. （4）解方程组法:已知与或 之间的关系式,可根据已 知条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解 方程组求出 . 课 中 探 究 33 拓展 已知函数的定义域为 ，且 ，则 ( ) A.0 B.1 C.2025 D.2026 [解析] 令，可得,所以, 再令 可得 ， 即,将上式中的全部换成 ， 可得,联立①②可得 , 所以 ,故选D. √ 课 中 探 究 34 课后习题 35 1.已知函数的对应值如表所示，则 等于( ) 0 1 2 3 4 5 3 6 5 4 2 7 A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 由表可知,,所以 ,故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 2.函数，则 ( ) A. B.1 C. D.2 [解析] 方法一：令，得，则 . 故选A. 方法二：设，则 ， ， 即， . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 3.已知，则 等于( ) A. B. C. D.不能确定 [解析] 因为，所以 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 4.函数 的图象是( ) A. B. C. D. [解析] 将 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位 长度，得到 的图象，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 5.[2026·南宁高一阶段练]已知，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 令，则 ，则 ， . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 6.如图，函数的图象是曲线 ，其中点 ，，的坐标分别为，， ， 则 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由题图可得， ， .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 7.[2026·宿州高一期中]用列表法表示函数与函数 ， 如表所示，若，则 的值不可能为( ) 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 当时，；当时， ； 当时，；当时， . 所以满足的的取值为1,2,3. 由的表格可知，当 时，；当时，； 当时， .所以若,则 的值可能是1，2或4， 不可能是3.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 8.设,则 __________________. 且 [解析] 且 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 9.（13分）作出下列函数的图象. （1），，且 ； 解：的定义域为，，， ， 0，1，2，3， ，函数图象如图所示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 9.（13分）作出下列函数的图象. （2）， . 解：的定义域为 ，列表如下： 0 1 2 1 0 1 4 描点、连线，可得, 的图象如图所示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 10.已知函数与 在同一坐标系下的 大致图象如图所示，则函数 的图 象可能为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 从图象可知，函数 的图象分布在第 二、四象限，则， 一次函数 的图象从左到右是上升的， 且图象与 轴的交点位于正半轴上，则， ， 所以二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，且，二次函数的图象与 轴的交 点位于正半轴上，D选项中的图象合乎题意.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 11.（多选题）已知函数 ，则( ) A. B.， C.的最小值为 D.的图象与 轴只有1个交点 [解析] 令，得，则 ， 所以，故 ， ，则 ，故A正确，B错误. ，所以 ， 的图象与轴只有1个交点，故C错误，D正确.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 12.已知函数, .若 恒成立，则 ____. [解析] 函数, ， 由恒成立，得 恒成立， 可得，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 13.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，一次函数 的图象不 仅平分正方形的面积，也平分矩形的面积，则 ___________，函数 的零点为_ _____. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 如图，由图可知正方形 的对称中心的 坐标为，矩形的对称中心的坐标为 . 当且仅当一次函数 的图象经过这两个对称中心时， 正方形与矩形 的面积恰能各自被其平分. 设，则 解得则 ； 又由， 解得 ，则函数的零点为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 14.（15分） （1）已知二次函数满足，且 ，求 函数 的解析式. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解：由题意设， 因为 ，所以 . 又因为 ， 所以 ， 即，所以 解得 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 14.（15分） （2）已知，求 的解析式. 解：方法一（换元法）令,则， ， 故，， 所以函数 的解析式为 . 方法二（配凑法） . 因为，所以函数的解析式为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 14.（15分） （3）已知函数满足,求 的解析式. 解：由 ①, 得,由①②得 , 则, 令,则 ,所以, 故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 14.（15分） （4）已知是定义在上的函数， ，并且对任意的实数 ，都有，求函数 的解析式. 解：令，则 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 15.（多选题）将某几何图形置于坐标系中，直线 从左向右 扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线左侧部分的面积为 ， 若函数 的大致图象如图所示，则该几何图形可以是 ( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 对于A选项,由圆的性质可知，面积 的增速先越来越大，后越来越小， A选项错误； 对于B选项,首先面积的增速越来越大，之后面积匀速增加， 最后面积 的增速越来越小，B选项正确； 对于C选项,首先面积 的增速越来越大，之后面积匀速增加， 最后面积 的增速越来越小，C选项正确； 对于D选项, 首先面积的增速越来越小，之后面积匀速增加， 最后面积 的增速越来越大，D选项错误.故选 . [解析] 由已知图象可知面积 的增速经历三种变化，首先面积的增速 越来越大，之后面积 匀速增加，最后面积 的增速越来越小. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 16.（1）已知,对于一切正整数,都有 , 若,则 _________. [解析] 由,得,, , ,, . 由得 ,解得, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 （2）设是定义在上的函数，且对任意, ， 恒成立，则 的解析式为_________________. [解析] 是定义在上的函数，且对任意, , 恒成立， 令，得 ， 即，整理得 ， 故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 $