2.1 第2课时 等式性质与不等式性质（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，通过类比等式性质引导学生猜想并证明不等式性质，课前预习梳理等式性质作为基础，课中探究分比较大小、证明不等式、求代数式范围三个层次逐步深入，构建知识支架。 其亮点在于以问题探究为主线，结合诊断分析的正误判断和例题变式训练，培养学生推理能力与数学思维，素养小结提炼特殊值法、整体思想等方法，助力学生掌握性质应用，教师可通过结构化内容提升教学效率。

2.1 等式性质与不等式性质 1 第2课时 等式性质与不等式性质 2 探究点一 利用不等式性质比较大小 探究点二 利用不等式的性质证明不等式 探究点三 利用不等式的性质求代数式范围 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 掌握不等式的性质:（1）能类比等式的基本性质,猜想并证明不 等式的基本性质;（2）能根据实数大小关系的基本事实和不等式的 性质证明简单的不等式. 4 知识点一 等式的基本性质 性质1 如果 ，那么______. 性质2 如果， ，那么______. 性质3 如果，那么 . 性质4 如果，那么 . 性质5 如果，，那么 . 课 前 预 习 5 知识点二 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 , 3 可加性 可逆 4 可乘性 ,___ 的符号 ,___ 5 同向可加性 , 同向 6 同向同正可乘性 , 同向、同正 课 前 预 习 6 性质 别名 性质内容 注意 7 可乘方性 同正 续表 课 前 预 习 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若,则 .( ) √ [解析] 不等式两边同时加上,可得 ,所以此说法正确. （2）若,则, .( ) × [解析] 取,,,,满足,但不满足 , 所以此说法错误. 课 前 预 习 8 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若,,则 .( ) × [解析] 取,,,,满足,,但 不成立,所以此说法错误. （4）若,则 .( ) √ [解析] 若,则,所以 ，所以此说法正确. 课 前 预 习 9 探究点一 利用不等式性质比较大小 例1（1）（多选题）[2026·漳州一中高一期中]已知,,且 ， 则下列不等式不一定成立的是( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于选项A，因为，所以，又 ，所以一定成立，故A错误； 对于选项B，当 或时，，此时不等式成立，当时， ，此时不等式不成立，符合题意，故B正确； 课 中 探 究 10 对于选项C，当 时，，此时不等式成立，当,时，满足 ，但 ，此时不等式不成立，符合题意，故C正确； 对于选项D，因为，且，所以一定成立，故D错误.故选 . 课 中 探 究 11 （2）（多选题）下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若,,则 C.若，，则 D.若，则 √ √ [解析] 对于A，，，， ，，,故A正确； 课 中 探 究 12 对于B，当 ，，，时，满足,,但此时 ，，,故B错误； 对于C，当， ，时，满足，，但此时，， ，故C错误； 对于D，，， ，， ，由不等式的同向可加性，可得，故D正确．故选． 课 中 探 究 13 变式（1）（多选题）设,,, ，下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若,，则 D.若，则 [解析] 对于A，当时,,故A错误; 对于B，若 ,则,即,所以,故B正确; 对于C，取, , ,满足，，但,故C错误; 对于D，若 ,则由不等式的性质可知,故D正确.故选 . √ √ 课 中 探 究 14 （2）（多选题）已知， ，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] ，，又， ，故A正确； 当，时，，， ，，故B错误； ，， ，故C正确； 课 中 探 究 15 ，，， ，则，即 ，即，故D正确.故选 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 解不等式成立问题的常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法 排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 课 中 探 究 17 探究点二 利用不等式的性质证明不等式 例2 设,,,, . （1）证明: ; 证明： , ，,, 均不为0,则, . 课 中 探 究 18 例2 设,,,, . （2）若,证明： . 证明： 由题可知， ，,,即 ，,即 . 课 中 探 究 19 变式（1）已知，求证： . 证明：，即, ，，则 . （2）已知,,，求证： . 证明： ,，又 ，,,，又 ， ， . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，解决此类问 题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用. （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 课 中 探 究 21 探究点三 利用不等式的性质求代数式范围 例3 设，，求，， 的取值范围. 解：， ，，，， ， ，， . 课 中 探 究 22 变式（1）已知，，则 的取值范围为 __________________， 的取值范围为__________. [解析] 由，得,由 ,得，. 由,得 ,则,又, . 课 中 探 究 23 （2）若，，则 的取值范围为 ________________. [解析] ，因为 ，，即 ，所以，故 的取值范围为 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 求代数式的取值范围需注意两点: （1）严格运用不等式的性质，即两个同方向的不等式可加不可减,可 乘（同正）不可除； （2）利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在 多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. 课 中 探 究 25 课后习题 26 1.（多选题）[2026·浙江镇海中学高一月考]已知实数,, 满足 ，则下列不等关系中不一定成立的是( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] 对于A，若，则 ，即A不一定成立； 对于B，由可知，所以 ，即B一定成立； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 对于C，若,,，则 ，即C不一定成立； 对于D，若,,，则 ，即D不一定成立.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 2.若, ，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 [解析] 对于A，当，时，满足，但是 ，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是 ，故B错误； 对于C，当，时，满足 ，但是，故C错误； 对于D，若，则 ，所以，则 ，故D正确.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 3.对于实数，， ，下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 [解析] 若，，则，故A错误； 若 ，则，故B错误； 因为，所以 ，即，故C正确； 因为，所以 ，所以 ，故D错误．故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 4.（多选题）下列说法正确的有( ) A.若，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，，则 √ √ [解析] 对于A，当时， ，故A错误； 对于B，根据不等式的性质，可得 ，故B正确； 对于C，因为，，所以当时， ，当时，，故C正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 对于D，因为， ，所以当时，，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知，，为实数，则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若，则，所以，所以 一定成立，即充分性成立； 当时，，但无法判断 的正负，因此 不一定成立，即必要性不成立. 所以“”是“ ”的充分不必要条件．故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 6.（多选题）已知， 为正实数，下列说法中正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C. D.对任意,若,则 √ √ √ [解析] 由题意得,. 对于A选项,若,则 , 则,故A正确; 对于B选项,若 ,则 ,所以,故B正确; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 对于C选项, ,所以,故C正确; 对于D选项,当时, ,故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 7.已知，则，， 按从小到大的顺序排列是___________. [解析] 由，得，且，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 8.[2026·河北NT20名校联合体高一月考] 已知 若这个 关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数 的取值范围是_______ ________. [解析] 由可得，由可得 ，若不等式组 恰好有3个整数解，则这3个整数为2,1,0，所以，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 9.（13分）已知， ． （1）求 的取值范围； 解：因为，所以，又 ，所以 . （2）求 的取值范围； 解：因为，所以，又 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9.（13分）已知， ． （3）求 的取值范围． 解：因为，所以 . 当时， ； 当时， , 所以,所以 . 综上可得， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10.如图，数轴上给出了表示实数，， 的三个点，下列结论正确 的是( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题图可得，， ，所以，，则 ，故选项A错误； ，故选项B错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 因为，所以 ，又，所以，又 ，所以，故选项C错误； 因为， ，且由图可知，即，所以，又 ，所以 ，故选项D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 11.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是， ， ，，已知，， ，则这四个小 球重量的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] ，，，即 ,因此 ，，，，. 综上可得 , 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 12.（多选题）[2026·合肥六中高一期中]已知实数， 满足， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，因为，，所以 ，故A错误； 对于B，因为， ，所以，故B正确； √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 对于C，因为， ，所以，故C正确； 对于D，因为 ，所以，又，所以，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 13.已知实数，满足，，则 的最 大值为___. 7 [解析] 由，可得 ，， 因为 ，，,所以 ，故，则 的最大值为7. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 14.（15分）若，， ，求证： . 证明：因为，所以，又因为 ，所以 ，所以，所以. 因为 ，，所以 ，又，即,所以，所以 ，故 ，原不等式得证. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 15.已知，，，，设 ，则 下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. √ [解析] ，，，， ， ， ， .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 16.（15分）[2026·广州外国语学校高一月考] 对于实数和正数 ， 称满足不等式的实数的集合叫作的 邻 域.已知，若的邻域中恰有2个整数，求 的取值范围. 解：由题可知 恰有两个整数解，可得，则 ，所以 中恰有两个整数， 故 ，即，所以. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 当两个整数为2,3时，得 且，解得；当两个整数为3,4时， ，所以. 综上所述，的取值范围是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 $