概率知识清单 - 2027届高三数学一轮复习

人教A版2019概率知识点口诀—— 2027届高三数学一轮复习 一、随机事件与概率（必修第二册） 1. 基本概念 · 试验三特征：可重复、结果明、事前不定称随机。 · 样本空间 ：所有结果成全集，单个结果叫样本点。 · 随机事件：样本空间的子集，基本事件只含一点。 · 必然事件 ，不可能事件 。 口诀： 随机试验可重复，结果预知不糊涂； 样本空间全结果，子集就是事件数。 必然为 空为 ，基本事件单点住。 2. 事件的关系与运算 关系 含义 符号 包含 A发生则B必发生 相等 且 并（和） A或B至少一个发生 交（积） A与B同时发生 （） 互斥 A、B不能同时发生 对立 A、B互斥且并为 口诀： 包含箭头小推大，相等互含是一家； 并事件取至少一，交事件要同时发。 互斥交集等于空，对立互斥并全家； 对立一定是互斥，互斥对立别搞差。 3. 古典概型 · 两大特征：有限性（样本点有限）、等可能性（每个样本点概率相等）。 · 公式： 口诀： 古典概型两条件，有限等可能是关键； 分子事件包含数，分母总数来相除。 计数常用排列组，不重不漏要数准。 4. 概率的基本性质 1. 1. 1. 互斥可加：若 ，则 1. 对立： 1. 包含：若 ，则 1. 一般加法： 口诀： 概率范围零到一，必然为一空为零； 互斥相加直接算，对立一减就分明。 包含关系小到大，一般加法减交叉； 三个并集加加减，两两交减三者加。 三事件并集公式： 5. 事件的相互独立性 · 定义：，则A、B相互独立。 · 推广：A、B、C相互独立 ，，，。 · 结论：若A与B独立，则 与 、 与 、 与 也独立。 口诀： 独立定义乘积等，； 两两独立非全独立，三事件要四式证。 独立事件一对立，其余三组也独立； 互斥独立要分清，互斥 ，独立乘积相等值。 易错提醒：若 且 ，则A、B互斥与独立不能同时成立。 6. 频率与概率 · 频率：，随试验次数变化。 · 概率：频率的稳定值，客观存在。 · 大数定律思想：试验次数越多，频率越接近概率。 口诀： 频率是个变数，概率是个定数； 次数越多越稳定，频率趋近概率值。 小概率事件一次不发生，大概率事件一次未必成。 二、条件概率与全概率（选择性必修第三册） 7. 条件概率 · 定义：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 · 公式： · 乘法公式： 口诀： 条件概率有先后，A已发生B再求； 分子同时发生积，分母A的概率留。 乘法公式变形用，； 条件概率非交换，。 8. 全概率公式 设 ，且 两两互斥，，则： 口诀： 全概率公式分情况，完备事件组来帮忙； 每组概率乘条件，全部加起是总样。 原因推结果用全概率，先因后果分步算。 9. 贝叶斯公式 口诀： 贝叶斯公式反推因，已知结果找原因； 分子是那第i项，分母全概率总和定。 先验后验要分清，结果条件放分母。 三、离散型随机变量及其分布 10. 随机变量与分布列 · 离散型随机变量：取值可以一一列出。 · 分布列性质：① ；② 。 · 表示：。 口诀： 随机变量数化事件，离散取值一一列； 分布列有两性质，非负总和等于一。 求分布列四步走，定取值、算概率、列表格、验和一。 11. 两点分布（0-1分布） ，，。 口诀： 两点分布零和一，成功概率记为p； 期望就是p本身，方差p乘(1-p)。 12. 二项分布 · 条件：n次独立重复试验，每次成功概率p。 · 口诀： 二项分布n次试，独立重复概率p； k次成功组合数， 记。 期望np方差npq，q就是那(1-p)。 最可能k值看 ，整数取两相邻值。 最可能值：若 为整数，则 和 概率最大；否则取 。 13. 超几何分布 · 条件：N件产品中有M件次品，任取n件，其中次品数X。 口诀： 超几何分布不放回，总体N件M件废； 抽取n件看次品，组合相比算概率。 分子次品取k件，正品再取(n-k)； 分母N中取n件，期望n乘M/N。 当N很大n较小时，超几何近似二项式。 四、随机变量的数字特征 14. 均值（数学期望） · 离散型： · 性质： 5. 5. （无条件成立） 5. 若X、Y独立，则 口诀： 期望就是加权平均，取值乘概再求和； 线性性质aX+b，a倍期望再加b。 和的期望等期望和，不管独立不独立； 独立乘积期望等，乘积期望等期望积。 15. 方差与标准差 · 定义： · 标准差：。 · 性质： 5. 5. 若X、Y独立，则 口诀： 方差衡量波动大，离差平方再加权； 也可 减期望方，两种算法都可行。 线性变换aX+b，方差只乘a平方； 独立加减方差加，标准差是方差开方。 16. 常用分布期望方差速记 分布 记法 两点分布 二项分布 超几何分布 口诀： 两点期望p方差pq，二项np和npq； 超几何期望nM/N，方差公式要记齐： nM/N乘(N-M)/N，再乘(N-n)/(N-1)。 五、正态分布（连续型） 17. 正态分布 · 记法：， 为均值， 为标准差。 · 密度函数： · 图像特征：关于 对称，钟形曲线， 定位置， 定胖瘦。 · 3σ原则： 口诀： 正态分布钟形线，μ为中心σ定宽； 曲线对称x等于μ，两头低来中间高。 σ越大图越矮胖，σ越小图越瘦高； x轴渐近不相交，总面积永远等于一。 3σ原则要记牢，六八、九五、九九七； 区间对称μ为中，概率查表标准化。 标准化：若 ，则 。 六、易错点总口诀 概率为零未必空，连续型中单点零； 互斥独立两码事，概率为正时不共。 条件概率分母正，全概率要完备组； 二项独立有放回，超几何是不放回。 期望线性无条件，方差独立才加减； 正态对称3σ，标准化后查表算。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $