湖南湘潭市2027届高三第一次模拟考试数学试题

2027届湘潭市高三第一次模拟考试数学 本试卷共4页，19个小题。满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴 区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。涂写在本试卷上无效。 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。 4.保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.样本数据6,8,4,5,12的第一四分位数为 A.5 B.6 C.8 D.9 答案：A 2.已知向量a=(m,2),b=(1,m-1),若a⊥b,则实数m的值为 A号 B.2 C. D号 答案：D 3.点A(1,2)在抛物线C:y=2px(p>0)上，则焦点到准线的距离为 A.1 B.号 D.3 答案：C 4.已知函数f(x)=x2+4sinx-3,若f(a)=-6,则f(-a)= A.0 B.-6 C.6 D.4 答案：A 5.已知(x2+严°展开式中x项的系数为-160，则m= A.2 B.-2 C.4 D.-4 答案：B 6.已知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为 A.5 B.6 C.2+3 D.25+3 答案：D 7.某同学类比双曲线的定义研究平面上到点F(-1,0),F(1,0)距离的倒数之差的绝对值等于1的点的 轨迹，设点P是该轨迹上一点，则P的最大值为 A.5+1 B.2-√5 C.5+2 D.5-1 -=1 答案：C.解析：设P=n,P=n2.n>0,n>0,由愿意 n+nl=2,→ m-rl≤2 ·5 片-=1 n22-n -2+r3≤n≤2+ ,故n≤2+n当n=2+n时有片-2n=1即6+i=3 此时2=√3-1，n=2+n=√3+1，P的最大值为3+1. 8.若实数集A中存在最大元素M和最小元素m,则定义集合A的“极差”△(A)=M-m.下列说法正确 的是 A.已知A={-l,-2,sin号，e},则△(A)=3 B.已知A={x|a≤x≤a+2,a≥0}，B={y|y=√E,x∈A},则存在实数a使得△(B)>△(A) C.若A={六+01<b≤a<2以，则△(A)=1 D.已知Sn是等比数列{a}的前n项和，A={yly=S,n∈N,则不存在等比数列{a,使得△(A) <1 答案：C解析：对于A项，A={-1,-2,1,2,△(A)=4,错误：对于B项，△(A)=a+2-a=2,△(B)= a+-a=a++石·a=a++G在a+回)上单调通减 △（回）≤差=<△(.锥误对于C项，当a=2b=1时名+b最小为是， 又名+b≤云+a1<a<2,由于=名+a在2列嫌调道罐“云+b≤是。 4()=是-子=1，正确：对于D项，取=分公比号有8=1-<1， 即号≤8<1此时△(A<1,放存在等比{a使得A)<L,铺误 二、选择题：本愿共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分， 9.已知函数fz)=Asin(ar+p)(xeRA>0,o>0,ll<号)的部分图象如图所示，则下列说法正确的 是 A.@=2 B.直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴 C.将函数f(回)的图象向左平移吾个单位长度后，得到函数y=3c0s2z 的图象 D.若函数f(x)在(0，m)上恰有3个零点，则实数m的取值范围是 (告告》 答案：AC 10.已知圆C:(红-e)2+(y-a)=2(a∈R),则下列说法正确的有 A.圆心C在曲线y=lnx(x>0)上 B.存在两个不同的实数a,使圆C过点(1,1) C.存在四个不同的实数a,使圆C与直线x一y一3=0相切 D.存在两个不同的实数a,满足直线x-3y=0平分圆C的面积 答案：ABD.解析：对于A:圆C:(x-e}+(y-a=2的圆心为(e,a),因为a=lne,所以圆心C在 曲线y=1nx(x>0)上，故A正确：对于B:由圆C过点(1,1)，所以(a-1)2+(e-1子=2， ·6 方程(a-1)?+(e-1)?=2的解的个数等价于函数y=山x的图象与曲线(x-1子+(y-1)子=2的交 点个数，作函数y=lnx与圆（岔-1）子+(y-1)子=2的图象可得函数y=lnx的图象与圆 (:-1}+(y-1=2的交点个数为2，所以存在两个不同的4，使得圆C经过坐标原点，故B正确：对 于C:圆C与直线x-y-3=0相切等价于圆心(，a)到直线x-y-3=0的距高为√2，到直线 x一y一3=0的距高为V2的直线方程为x-y-1=0或x-y-5=0,即圆心(e,)在直线 需-y-1=0或x-y-5=0上，圆C与直线x-y一3=0相切的a的个数等价于直线x-y-1=0 和x-y-5=0与函数y=lnx的图象公共点的个数，而直线x一y-1=0与函数y=lnx的图象相 切，直线x一y一5=0与函数y=山x的图象相交，所以存在三个不同的实数a,使圆C与直线 需一y一3=0相切，故C错误：对于D:圆C的面积被直线x-3y=0平分等价于，x-3y=0过圆心 (ea),∴3a-e°=0，即e°-3a=0,令f)=e-3a,∴fx)=e-3,由f（x)>0→x>n3, f(x)<0→x<ln3,∴f(x)在(0n3,+oo)单调递增，在(-o,ln3)单调递减，又f(ln3)<0, ∴f(x)=e-ee有两个暑点，即存在两个实数a,使圆C的周长被直线3红-y=0平分，故D正确 11.某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发有 为雌虫，兼具父本和母本：未受精卵细胞发育为雄() 虫，雄虫仅有母本、无父本.下图是该类昆虫雄性的(P) 家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父(P) 母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记P表示一只该) 类雄性昆虫上溯第n代祖辈数量，例如P=1,P= (P. 2,那么下列结论中正确的是 A.P=21 B.B+P+P+…+Pn=Pt1-1 雄性昆虫的家系 C.记S.=∑R,满足Sn>227的最小n ●表示雄性 ○表示雌性 D.P+++…+P=P·P+ 答来：ABD.解析：数列{P}是斐波拉哭数列去掉第一项，即P+2=P1+P,其中乃=1，乃=2， 乃=3，R=5,R=8,R=13,B=2L,所以A正确：B+P+R++R =1+B+P+R+…+R-1=R+B+P+R+…+Bn-1=R+P+R+…+Rn-1 =…=R1一1，所以B正确： 3=2R=B+B+…+R=(仍-)+(B-R)+B-P)++(Bn-R+W=Ra-B =Pa-2,R=34,B=55,Rw=89,A1=144,Ra=233,所以Ra-2=231>227,满足5n>227的最 小n=10,故选项C错误：+骨+程++=P。:P+1-1,=1,臀=(R-R) =BR-BR,P=P(P-P-)=PP-PP++P =1+B乃-R乃+B2-RB+…+RR1-PP。=1-RR+R·P+1=PP+1-1,D正确： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.已知复数：=名则=一 答案：-1-1 13.函数f(x)=g+1nx的图象在点(L,f)处的切线与直线x+y=0平行，则该切线方程为 【答案】x+y-3=0. 14.四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器（容器壁厚度不计）完全罩住这 ·7 四个小球，则这个容器最小的半径为 首案：2等+2解析：根福愿目指述可以将上面四个小球维量出的正因面体通出。 正四面体的每个顶点为小球的球心，故该容器的最小半径R等于该正四面体的体 Q 离加上两个小球的半径r,:R=A+A=2R=2等+2 3 正四面体P-ABC的棱长为2r=2,其外接球球心为O.正△ABC中心为H.正 △MBG中心为易知oP==雪，P阳==2 B 3 设S0=R=P阻+2=2+2.S雕=A+3m=(号2r+P=子， B (R-+=(25+1'=号+>子.即R-r>SA,则点A在以3为球心， 半径为R=2+2的球内所以半球半径最小值为R=2+2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,bc,且a=V2bsin(C+于) (1)求角B: (2)若△ABC为锐角三角形，b=√10，c=3W2,求△ABC的面积 解析：(1)解：因为a=bcosC+bsinC,由正弦定理得inA=sin BcosC+sin BainC,…1分 由A+B+C=x,得A=x-(B+C),得 8inA=sin(B+C)=sin Bco8C+co8BginC=gin BcosC+sin BsinC,............................... 得co8 BainC=sinCainB,.又inC≠0，得coeB=inB,yB∈(0，x),所以B=等.…6分 (②)由()知B=章，由余弦定理得(W10}=(3W2y+a2-23W2·a008警…8分 g2-6@十8=0a=2,或者a=4…10分 a=2时c0e0=-晋<0，舍去， a=4时c08C=0>0符合，所以a=4,m=0cnB=6.…13分 (说明：未判断锐角三角形扣2分) 16.(15分)如图在四棱锥A-BCDE中，AE=EB=4,AE⊥EB,AC=27, CD∥BE,DE=CD=BC=2. (1)证明：平面ABE⊥平面BCDE: (2)求平面ADE与平面ABC的夹角的正弦值： 解析：(1)证明：连结EC,过C作CF⊥BE,垂足为F,DH⊥BE于H. EH=BF=1,t△E7G中，CF=√3EC=2W3.…2分 △AC中，AC=27,(2W7)}=42+(2W3)2,即AG°=AE+EC AB⊥EC,AE⊥EB.EB∩CE=E,… …4分 :AE⊥平面BCDE,又因为AES平面ABE内， 平面ABE⊥平面BCD泥。…6分 (②)因为AE⊥平面BCDE,如图所示以E为原点，过B点与BE垂直的直线 为x轴，EB,EA为，z轴建立坐标系.由(1)知E(0,0,0),B(0,4,0), A(0,0,4),D(3,1,0),C(3,3,0).…8分 所以品=(3,1,0)，=(0,0.4)，设平面EAD法向量元=(h), …8 由流：面=008名阶0取有，痛-3.00分 又G苑=(-√3,1,0)，=(0，-4,4)，设平面CAB法向量=(h), 由G苑=0，=0，{ -√3十物=0 物+场=0，取为有=山88…分 流 设平面ADE与平面ABC的夹角为0，则co80= 1-3到 …14分 2×√7 所以in0=√1-eos9=g …15分 ?.5分已知椭圆尽号+y=1>小.过右焦点蕃直于：轴的直线筱E所载线段长为1 (1)求椭圆E的离心率： (2)过直线x=4上一点P(4,t)作椭圆E的两条切线l,,切点分别为A,B两点. (①)证明直线AB过定点： ()求△OAB面积的最大值！ 解析：(1)此椭圆b=1,过焦点垂直于x轴的弦即通径， 长2沙=2=1，得a=2,c=0-=3,故e=9=5 4分 a a 2 2)由(B:号+=1.设A(,B(,设切线PA的方程为y一新=e一， y-h=k(x-), 联立 3 +2=1. 整理得(1+4)x+8k(hF)x+4(-kP-4=0, 由△=[8k(h-k)-4(1+4)[4(h-k}-4]=0,得(-4)k-2x1hk+明-1=0，…6分 因为A(,功)在椭圆C上，所以+4好=4，则k= 2助、=.=-点， 2(-4)-4=4幼' XY 所以过A与C相切的直线方程为y一的学条仁一动· 即PA的方程1心十4y一4=0，同理PB的方程十4W一4=0，…8分 又因为PA,PB都经过点P,所以4十t-4=0 l4+4ht-4=0' 显然A(功)，B(h)在直线4如+4y=4上，即直线AB方程为x十y=1,…10分 所以直线AB过定点(1,0)…11分 (③)联立直线AB与椭圆方程 =1-得(e+40-2w-3=0. x2+42=4 勤+肠= +g助= -3 …12分 2+4 SAOAB= -州=Vm+-=V(年+=2 +3 (8+4) 设w=+3>3原式=2√u+可=2 /w++2 3+言+2 2 …14分 所以当u=3即t=0,点P(40),切线PA,PB关于x轴对称时，S6on取最大值为 …15分 21 18.(17分)在一个不透明箱子内装有n(n≥2，n∈N)个大小相同，质地均匀的小球，其中有 k(0<k≤，k∈N)个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止. 记X为取球次数，q(1,)表示在标记了k个球的情况下，第i个小球是标记球的概率，p(1,)表示i是最 ·9 后一个标记球的概率。 (1)k=1,n=3,求p(2,1): (2)求g(i,2)和p(i,2): (3)求q(i,),p(i,k),E(X) 解析：()如果标记球是第1个被取出的，x=1,概率p(1,1)=号， 如果是第2个，x=2,瓶率p(2,1)=青，如果是第3个，x=3,瓶率p(3,1)=} 在3个球中，标记球等可能出现在第1、2、3位，所以p(2,1)=号.…3分 (2)g(1,2)表示第1个球是标记球的橛率，因为只标记了2个球，且标记是等可能随机选的， 所以g,2)=异，=1,2…，n…6分 只标记2个球，取到它就停止。取球次数就停止取球， 0到=a刘=告-装 2(>2) …9分 (3)g,)表示第1个球是标记球的概率。总共有n个球，标记了k个 每个球被标记的概率是费，因此g,)=告，i=1,2,…,n.…11分 在个球中有k个标记球，当我们不放回取球直到取完所有标记球时，最后一个标记球的位量1是所 有标记球中最大的位置序号月=空(《>， …13分 当i<k时，p(,k)=0,因为不可能有k个标记球都排在小于k的位置中， X是取到最后一个标记球时的取球次数，也就是所有标记球中最大的位置序号。 C 最大位量X的分布：P(X=m)= ,m=k,k+1,n 期望：B=k.C空+G+1). +tC …14分 =g+++ =k k(n+1) G k+1 …16分 所以g=桌，PL利=空，B]= k(n+1) k+1 …17分 19.(17分)已知f(x)=x2-πx+asinz,a∈R ()求证f()图象关于直线x=受对称： (2)当x∈(0，π)时，f(x)存在最大值，求实数a的取值范围： (3)当Hx∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的值 解折：(1)f(r-x)=(r-x}-π(x-x）+a8in(x-x)=x2-x十ainx=f(x) f儿)关于直线雪三7对称4 (2②)由(1)知fa)关于直线x=号对称，故仅考惠x∈(0，号] f()=2-+acosz,()=f"(),g'()=2-asinz. ()当a≤2时，g()≥0恒成立∴g()=f()在(0,7]单调递增， 此时，f'()≤f(受)=0a)在(0，]单调递减 所以f()<f（0)=0,此时f()在(0，号]不存在最大值.… …5分 (当a>2时，3∈(0，受)使血=子 ·10 当x∈(0，)时，g(x)>0,g(x)=(x),(x)单调递减增， 当∈（受]时，g()<0,g(=f'()单调递减， a≥π 又因为g(0)=(0)=-+a,g(2）=(5)=0, g(x) 所以g小=f(）>f（变)=0… …6分 -万 ①当a≥x时，g)=”(x)的大致图象如右图所示， 0 可知xe(0,受]时，g()=()≥0f()在(0，受]单调递增， 此时存在最大值（受）=-号十a,符合题意.… 分 ②当2<a<x时，3∈(0，)使g()=f()=0,g(x)='(x)的大致图象 如右图所示， 2<a<π 可知x∈(0，)时，g(x)=f(x)<0,f()在(0，)单调递减， g(x) 可知xe(]时，g)=f()>0f)在（受]单调递增， 当（受）>（受）时，回)在(0受]最大值，即-苦+a>0,即号 a<黑 a-2 2 综上a>军时f回有最大值-聋+a… …10分 (③)由(2②)知：当a<x时，不成立，a=x时，f(x)=2红-x+xco8x, (a)=2-xi血，g0)=-t+a≥0,3∈(0，x,万 使n=n=子，且0<<登<<代然 …11分 g()在(0，)单调递增，(，)单调递减，(x)单调递增， g(0)=0,g(受)=0，g()=0,g(a)>0g()<0f(句在(0，受)单调递增 (受)单调递减，f()≥0在[0，]成立。 x<0时，x<inxf(x)=x-e+宽tnx=2-x(x-inx)>0成立， 金>x时，π-金<0，f(x)=f(x-)>0成立， 所以a=元，对Vg∈R时，f(x)≥0恒成立。…13分 当a>x时，3小马e(Q刘使血=血=是，且0<<受<< g(x)在(0，)单调递增，(）)单调递减，(x)单调递增， g(0)）=-t+a>0,g(=-a<0,g(）>g(受）=0.…15分 g-号)=-2x<0,3∈(-交.0)f()在(，0)单调递增， 金∈(0)时，f八(x)<0不成立，综上a=震，对x∈R时，f(x)0恒成立。…17分 ·112027届湘潭市高三第一次模拟考试 数学 本试卷共4页，19个小题。满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在 答题卡上“条码粘贴区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案 信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案。涂写在本试卷上无效。 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。 4.保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.样本数据6,8,4,5,12的第一四分位数为 A.5 B.6 C.8 D.9 2.已知向量a=(m,2),b=(1,m-1),若a⊥b,则实数m的值为 A B.2 C.-1 3.点A(1,2)在抛物线C:y2=2px(P>0)上，则焦点到准线的距离为 A.1 B. C.2 D.3 4.已知函数f(x)=x3+4sinx-3,若f(a)=-6,则f八-a)= A.0 B.-6 C.6 D.4 5.已知+ 16 展开式中x3项的系数为-160，则m= A.2 B.-2 C.4 D.-4 6. 已知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为 A.5 B.6 C.√2+3 D.2√2+3 7.某同学类比双曲线的定义研究平面上到点F,(-1,0),F,(1,0)距离的倒数之差的绝 对值等于1的点的轨迹，设点P是该轨迹上一点，则PF的最大值为 A.√3+1 B.2-√/3 C.√3+2 D.3-1 8.若实数集A中存在最大元素M和最小元素m,则定义集合A的“极差”△(A)=M-m 下列说法正确的是 A已知A{1,-2,m2,e},则4(A)=3 B.已知A={xa≤x≤a+2,a≥0好，B={yly=R,xeA,则存在实数a使得△(B)>M(A) C若A=份bl≤6≤a≤2，则4)=1 D.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，A={y|y=Sn,n∈N},则不存在等比数列 {an},使得△(A)<1 2027届湘潭市高三第一次模拟考试（数学）第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9已知函数(x)=Asin(wx+p)(reR,A>0,w>0,|p<）的部分图象如图所示，则下 列说法正确的是 A.w=2 B.直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴 C.将函数∫代x)的图象向左平移T个单位长度后，得到函数 12 y=3c0s2x的图象 D.若函数f(x)在(0，m)上恰有3个零，点，则实数m的取值 范离怎 10.已知圆C:(x-e)2+(y-a)2=2(a∈R),则下列说法正确的有 A.圆心C在曲线y=lnx(x>0)上 B.存在两个不同的实数a,使圆C过点(1,1) C.存在四个不同的实数a,使圆C与直线x-y-3=0相切 D.存在两个不同的实数a,满足直线x-3y=0平分圆C的面积 11.某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精 卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本下图是该类昆虫雄性的家系图，假定： 其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推记P,表示 一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如P,=1,P,=2,那么下列结论中正确的是 (P) (P) (P) (P) 雄性昆虫的家系 ●表示雄性 ○表示雌性 A.P2=21 B.P2+P4+P6+…+P2n=P2n+1-1 C.记3=∑P,满足S>27的最小n=11 D.p+P+P+…+P=Pn·Pnt1-1 2027届湘潭市高三第一次模拟考试（数学）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 则 12已知复数：=2 13.函数f(x)=a+lx的图象在点(1，f1)处的切线与直线x+y=0平行，则该切线方程 为 14.四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器（容器壁厚度不 计)完全罩住这四个小球，则这个容器最小的半径为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=2bsin(C+T). (1)求角B; (2)若△ABC为锐角三角形，b=√10，c=3√2，求△ABC的面积 16.(15分)如图在四棱锥A一BCDE中，AE=EB=4,AE⊥EB,AC=2N7,CD∥BE,DE= CD=BC=2. (1)证明：平面ABE⊥平面BCDE: (2)求平面ADE与平面ABC的夹角的正弦值 2027届湘潭市高三第一次模拟考试（数学）第3页（共4页） 7(I5分)已知椭圆E:I(@>),过右焦点垂直于x轴的直线被E所裁线段张为工 (1)求椭圆E的离心率； (2)过直线x=4上一点P(4,t)作椭圆E的两条切线11，L2,切点分别为A,B两点. (i)证明直线AB过定点； (iⅱ)求△OAB面积的最大值 18.(17分)在一个不透明箱子内装有n(n≥2，n∈N)个大小相同，质地均匀的小球， 其中有k(O<k≤，k∈N)个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至 所有的标记球取完为止.记X为取球次数，q(i,k)表示在标记了k个球的情况下， 第i个小球是标记球的概率，p(i,k)表示i是最后一个标记球的概率 (1)k=1,n=3,求p(2,1); (2)求g(i,2)和p(i,2); (3)求g(i,k),p(i,k),E(X). 19.（17分)已知f(x)=x2-Tx+asinx,a∈R 1)求证：x)图象关于直线x=对称： (2)当x∈(0，T)时，f(x)存在最大值，求实数a的取值范围； (3)当Hx∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的值， 2027届湘潭市高三第一次模拟考试（数学）第4页（共4页）