18.1.2 分式的基本性质(2)约分与通分 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式的约分与通分，通过旧知回顾分数约分通分及分式基本性质，以类比迁移搭建从分数到分式的学习支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于运用类比迁移思想培养推理意识，结合因式分解提升运算能力，通过典例解析与归纳总结引导学生用数学语言表达。例如约分先因式分解再约公因式，通分确定最简公分母，助力学生形成代数变形技能，也为教师提供系统教学流程与分层练习。

第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.1.2 分式的基本性质（2） 分式的约分与通分 18.1 分式及其基本性质 1 学习目标 1. 理解分式约分、通分的概念，掌握找公因式及确定最简公分母的技巧，能正确对分式进行约分和通分，形成代数变形的基本技能. 2. 通过类比分数的约分、通分，体会 “类比迁移” 思想，提升因式分解在分式运算中的应用能力. 3. 感受分式与分数的内在联系，增强数学知识的系统性认知，提升学习信心. 2 3 旧知回顾 给下列的分数约分： = = . = = . 分数的约分： 把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫做分数的约分. 4 旧知回顾 分式的基本性质： . 用式子表示为： . 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. = ， = ，其中A，B，C(C≠0)是整式. 5 新知探究 思考 联想分数的约分，由例3(1)(2)，你能想出该如何对分式进行约分吗？ 1. 分式的约分 (1) = = . (2) = = . 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值. 6 新知探究 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. (1) = = . (2) = = . 7 新知探究 (1) = = . (2) = = . 经过约分后的分式， ，其分子与分母没有公因式. 像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或者整式. 8 典例解析 例4 约分 (1) ； 步骤 1：找分子、分母的公因式： (1)分子、分母系数的最大公约数；(2)分子、分母公共字母的最低次幂. 系数：−25和15的最大公约数是5； 字母：a的最低次幂是a1，b的最低次幂是b1，c的最低次幂是c1 ； 公因式为5abc. 9 典例解析 例4 约分 (1) ； 步骤 2：约去公因式 解：= － = － 10 典例解析 例4 约分 (2) ； 分析：约分时，分子或分母若是多项式，能分解则先进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分. 步骤 1：对分子、分母因式分解 分子：x2−9（平方差公式）⇒(x+3)(x−3)； 分母：x2+6x+9（完全平方公式）⇒(x+3)2. 11 典例解析 例4 约分 (2) ； 步骤 2：约去公因式(x+3). 解： = = ； 12 典例解析 例4 约分 (3) . 步骤 1：对分子、分母因式分解 分子：先提取公因式6，再用完全平方公式： 6x2−12xy+6y2=6(x2−2xy+y2)=6(x−y)2； 分母：提取公因式3：3x−3y=3(x−y). 13 典例解析 例4 约分 (3) . 步骤 2：约去公因式3(x−y) 解 = = 2(x－y) . 14 归纳总结 约分的基本步骤： (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 15 归纳总结 注意事项： （1）约分前后分式的值要相等. （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 16 旧知回顾 给下列的分数通分： ， . = . 分数的通分： 把分母不同的分数化成分母相同的分数，这个过程叫做分数的通分. 通分结果为： 和 . 17 新知探究 思考 联想分数的通分，由例3 (3)(4)，你能想出该如何对分式进行通分吗？ 2. 分式的通分 (3) = . (4) = (b ≠0). 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把两个分式化成分母相同的分式. a 2ab-b2 18 新知探究 = = . = = 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 19 典例解析 例5 通分： (1) 与 ； 步骤 1：确定最简公分母 系数：取 2 和 3 的最小公倍数6​； 字母：取各字母的最高次幂（a2、b2、c）； 最简公分母为6a2b2c​. 20 典例解析 例5 通分： (1) 与 ； 步骤 2：分子分母同乘对应整式，化为同分母分式. 解：最简公分母是6a2b2c​. 对​：分子分母同乘3bc. ​= ​=​​ ​. 对 ​：分子分母同乘2a. ​= ​= . 21 典例解析 例5 通分： (2) 与 . 步骤 1：对分母因式分解（多项式型分母需先分解） x2−25（平方差公式）⇒(x+5)(x−5)； 2x+10（提取公因式）⇒2(x+5). 步骤 2：确定最简公分母：2(x+5)(x−5). 22 典例解析 例5 通分： (2) 与 . 步骤 3：分子分母同乘对应整式，化为同分母分式. 解：最简公分母是2(x+5)(x−5). 对 ​：分子分母同乘 2. ​= =​​ . 对 ​：分子分母同乘(x−5). ​= ​= . 23 归纳总结 确定最简公分母的方法： (1) 分母为单项式： ① 取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ② 取单项式中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数； ③ 取单独出现的字母及其指数. 24 归纳总结 确定最简公分母的方法： (2) 分母为多项式： ① 若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；② 对每个分母因式分解； ③ 找出出现的每个因式的最高次幂，它们的积为最简公分母. 25 新知探究 类型 分数 分式 共同点 约分 找分子、分母的公因数，约去后化为最简分数 找分子、分母的公因式（多项式先因式分解），约去后化为最简分式 / 整式 核心：去掉分子与分母的 “共同部分” 目标：化简到分子、分母无共同部分 通分 找分母的最小公倍数（最简公分母），分子、分母同乘一个不为 0 的数，化为同分母分数 找分母的最简公分母（各因式最高次幂的积，多项式型需先因式分解），分子、分母同乘一个不为 0 的整式，化为同分母分式 核心：确定 “共同分母”（最简公分母） 操作：分子、分母同乘不为 0 的数 / 整式 结果：保持原数 / 分式的值不变 依据 分数的基本性质 分式的基本性质 “同乘 / 除以不为 0 的对象”，保持原数 / 分式的值不变 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 26 课堂练习 1.约分： （1） ；（2）； （3） ；（4） . 解：（1） =   ； （2） = ；  （3） =  = ； （4） = = . 27 课堂练习 2. 通分： (1)  与   ；(2)  与 ； (3)  与  ；(4)  与  . (1)  与   ； 分析：分母系数最小公倍数为1，字母取、、最高次幂，最简公分母为. 解： . 28 课堂练习 2. 通分： (1)  与   ；(2)  与 ； (3)  与  ；(4)  与  . (2)  与 ；  分析：分母系数最小公倍数为4，字母取、、最高次幂，最简公分母为. 解： 29 课堂练习 2. 通分： (1)  与   ；(2)  与 ； (3)  与  ；(4)  与  . (3)  与  ； 分析：分母含多项式因式，最简公分母为. 解： 30 课堂练习 2. 通分： (1)  与   ；(2)  与 ； (3)  与  ；(4)  与  . (4)  与  . 分析：分母分解因式，最简公分母 为. 解：. 31 课程小结 约分的基本步骤 (1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； (2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 注意事项： (1) 约分前后分式的值要相等. (2) 约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. (3) 约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 32 课程小结 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 确定几个分式的最简公分母的一般步骤： （1）分母为多项式的先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）写成积的形式. 33 随堂演练 1. 判断题（对的打“√”，错的打“×”） (1)分式是最简分式（ ） (2)分式约分后结果为（ ） (3)通分与的最简公分母是（ ） √ √ √ 34 随堂演练 2. 约分（直接写出结果）. ( . (2) . (3) .     35 随堂演练 3. 通分（写出最简公分母及通分过程） （1）与 解：最简公分母：. 36 随堂演练 3. 通分（写出最简公分母及通分过程） （2）与 解：分母分解因式：. 最简公分母：. 37 随堂演练 4. （1）下列约分正确的是（ ） A.   B.   C.   D.  （2）若分式约分后为，求的值. 解：由题意得： 则 对比系数： C 38 随堂演练 5. 甲、乙两人分别从A地到B地，甲的速度为 km/h，乙的速度比甲快 km/h，A、B两地距离为 km. （1）分别写出甲、乙两人所用时间的分式（结果化为最简分式）； （2）通分后比较两人时间的大小. 解：（1）甲的时间： h；乙的时间： h （2）最简公分母： ， ∵（），∴甲用时长于乙. 39 随堂演练 6. 已知（A、B为常数），求A、B的值. 解：右边通分： 对比分子系数： ，解得 40 第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.1.2 分式的基本性质（2） 分式的约分与通分 18.1 分式及其基本性质 41 $