32.2.2应用举例（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

32.2.2应用举例（第2课时）教学设计

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课主要学习仰角、俯角、方位角、坡度（坡比）、坡角等概念，综合运用解直角三角形解决测量高度、航海方位、堤坝斜坡等类型的实际问题。

2. 内容分析

本课时是第1课时解直角三角形实际应用的延续与深化。第1课时侧重基础情境下构造直角三角形求解，本课时引入测量、航海、工程当中的专有角的概念，问题情境更加复杂，图形大多为两个直角三角形组合的复合图形，需要学生借助水平线、垂线等构造直角三角形。

仰角、俯角、方位角、坡度、坡角是解直角三角形应用题里高频出现的条件，学生需要读懂概念含义，把文字描述的角度准确落实到几何图形上。本节课既是锐角三角函数知识的综合运用，也是中考几何实际应用的核心考点，能够强化数形结合、数学建模思想，也为后续综合性几何应用题的分析打下基础。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：把实际问题转化为解直角三角形的问题。

 二、目标和目标解析

1. 目标

（1）了解方位角、仰角、俯角、坡角、坡度。

（2）会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题，体会数形结合和数学模型思想。

2. 目标解析

（1）学生能够识记仰角、俯角、方位角、坡角、坡度的定义，分清坡度与坡角的关系；可以根据题意，在几何图形中正确标出仰角、俯角、方位角、坡角，读懂航海、工程测量类题目的文字条件，把专有名词转化为几何边角信息。

（2）面对含有仰俯角、方位角、坡度的实际问题，学生能够根据题意画出或者补全平面示意图，通过作垂线构造直角三角形，从复合图形中拆分出直角三角形；能合理选取锐角三角函数完成计算，将数学计算结果还原为实际问题的结论；经历“实际问题—几何模型—求解—回归实际”完整流程，深化数形结合与数学建模思想，提升读图、识图、几何运算能力。

三、教学问题诊断分析

学情分析：经过第1课时的学习，学生已经掌握解直角三角形的基本方法，初步具备简单实际问题的建模能力。但本节课存在多处学习障碍：第一，仰角、俯角、方位角、坡度、坡角属于生活应用专有概念，学生容易混淆概念，不会把题目文字转化为图上对应的角，例如方位角容易找错基准南北线，分不清坡度

是比值不是角度；第二，本节课题目大多是双直角三角形组合图形，条件交错，需要学生自主添加辅助线（作垂线）构造直角三角形，学生添加辅助线的思路薄弱；第三，部分题目需要设未知数，结合方程思想求解，学生不习惯几何当中的方程解法；第四，航海、堤坝这类陌生情境，学生容易产生畏难心理，容易忽略题目实际意义，算出数值后不会判断实际结论。

应对策略：复习回顾第1课时解直角三角形解决实际问题的一般步骤，衔接新旧知识；结合示意图逐个讲解新概念，辨析易混淆点，着重强调方位角以南北方向为基准，坡度是垂直高度和水平宽度之比；探究与例题设置分层追问，把复杂问题拆解，引导学生挖掘隐藏边角条件，明确辅助线的做法；板书示范复合图形解题完整格式，展示拆分两个直角三角形的分析思路；通过不同类型例题、练习题，归类仰俯角、方位角、坡度三类题型，帮助学生归纳同类题的分析套路。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在复合型图形中添加辅助线构造直角三角形，综合运用解直角三角形知识解决实际问题。

四、教学过程设计

（一）复习引入

温故 解直角三角形解决实际问题的一般步骤：

设计意图：回顾上节课解直角三角形解决实际问题的完整流程，唤醒学生已有的建模解题经验，为本节课更加复杂的实际应用做好方法铺垫。直接引出本节课将学习测量、航海、工程中的特殊角度，自然导入新课。

（二）合作探究

问题1 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？

答：三种：重叠、向上和向下．

当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，

当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．

问题2 如图，在用无人机测量一栋楼的高度时， 无人机的探测器显示，从A处看楼顶部B的仰角α为30°，看楼底部C的俯角β为60°，A处与楼的水平距离为120 m.  这栋楼有多高(结果取整数)?

追问1  A处与楼的水平距离为120 m→   AD=120 m，AD⊥BC  .

追问2  在 Rt△ABD中， α 和 AD 已知，利用解直角三角形的知识可以求出 BD . 类似地可以求出

  CD ，进而求出  BC  .

解：如图，由题意知，α=30°，β=60°，AD=120.

        在Rt△ABD 中，

        ∵tanα= ，

        ∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120× =40 .

        同理，在Rt△ACD中，

        CD=AD·tanβ=120×tan60°=120× =120 .

        ∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277.

        因此，这栋楼高约为277m.

问题3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向、距离灯塔80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处 . 这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?