1.1.1集合的概念（教案）-高教版第三版《数学 基础模块上册》【上好课】

该教案聚焦集合的概念、元素、确定性、属于关系及集合分类等核心知识点。课堂导入通过四大发明、数学书籍等具体情境，对比“高个子”模糊标准，引导学生从具体对象抽象出集合的确定性，为后续学习集合关系与运算搭建支架。 该教案以生活情境为载体，通过具体实例抽象集合概念，培养学生数学眼光中的抽象能力。强调判断标准明确性，结合例题与练习培养推理意识，规范符号使用提升数学语言表达。帮助学生从直观过渡到抽象，教师可通过即时反馈把握学情，提升教学效率。

高教版第三版《数学》基础模块上册 第一章 集合 1.1.1集合的概念 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 本课是集合语言的起始课。教材先用四大发明、数学书籍专区、按同一标准分类的螺钉和圆上点说明人们怎样把确定的对象作为一个整体来研究，再给出集合与元素的概念。例1和“温馨提示”进一步说明判断标准必须明确；例2介绍、的用法；最后学习有限集、无限集、空集和常用数集。教学中应让学生先从具体对象中说出集合和元素，再逐步学习判断、表示和分类。本课为学习集合间的关系、集合的运算奠定基础。 学情分析 中职一年级学生具有自然数、整数、方程等基础，但抽象概括、符号辨析和规范书写能力差异较大。教学应利用教材情境、原例、完整例题和即时反馈，帮助学生从直观对象过渡到规范集合语言。 教学目标 1．理解集合、元素及确定性的含义，能依据明确标准判断对象能否组成集合。 2．理解元素与集合的属于、不属于关系，会规范使用、并说明判断依据。 3．能结合实例区分有限集、无限集和空集，掌握常用数集的含义并进行基本辨识。 教学重难点 重点：集合、元素、确定性，、及常用数集记法。 难点：从判断标准理解对象的确定性；区分元素与集合，并依据对象范围准确判断集合类别和数集归属。 教学方法 问题引导法、例题讲解法、讲练结合法、合作讨论法、纠错评价法。 课前准备 课堂练习、板书或课件。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师呈现教材“情境与问题”的四类对象：指南针、造纸术、火药和印刷术；数学书籍专区中的每本书；按相同用途或材料分类的螺钉；平面内到原点的距离等于1的点。提出：“每个案例中研究的是哪些对象？这些对象为什么能够放在一起研究？” 学生逐项回答，教师分四组整理。第一组研究四大发明，指南针是其中一个对象；第二组研究专区内的数学书籍，其中每本数学书都是一个对象；第三组研究采用同一标准分类的螺钉，其中每个符合标准的螺钉都是一个对象；第四组研究到原点距离等于1的点，圆上的每个点都是一个对象。 教师追问：“某班所有高个子同学能否组成同样明确的整体？”学生发现“高个子”没有统一标准。教师归纳：只有能够明确判断的对象，才能组成我们要研究的集合。由此引出集合、元素和确定性。 借助四大发明、数学书籍、螺钉分类和圆上点等具体情境，引导学生从“其中一个对象”认识“研究的整体”。通过“高个子”这一模糊表述形成对比，使学生体会判断标准明确是对象能够组成集合的关键，为集合与元素概念的抽象做好准备。 新知讲授 知识点一　集合、元素与确定性 一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集。组成这个集合的对象称为这个集合的元素。 教师解释三个关键词：“对象”是研究的具体事物，“整体”是把这些对象放在一起考察，“确定”是任给一个对象，都能依据明确标准判断它是否属于这个整体。学生回到导入四个案例，分别说出集合及其中一个元素。 教材“试一试” 说出生活中两个集合的例子。 【示例】本班全体学生组成的集合，其中每名学生都是元素；本教室全部课桌组成的集合，其中每张课桌都是元素。示例必须同时说明整体、元素和明确标准。 例题讲解　教材例1 判断下列对象能否组成集合：①小于6的所有自然数；②方程的所有实数解；③所有的平行四边形；④某班级中的所有高个子同学。 【解】①小于6的自然数为0，1，2，3，4，5，是确定的对象，所以能组成集合。 ②方程的实数解为和1，是确定的对象，所以能组成集合。 ③平行四边形的特征是确定的，满足此特征的对象可以明确判断，所以能组成集合。 ④“高个子”没有具体标准，不能明确判断哪些同学符合，所以不能组成集合。 教材“温馨提示” 组成集合的对象必须是确定的，不能确定的对象不能组成集合。“某班所有高个子同学”标准不明确；改为“该班身高1.75 m及以上的同学”后，任给一名学生都能依据身高判断，因而可以组成集合。教师强调：确定性取决于判断标准是否明确，与对象多少无关。 强化记忆：学生合书复述集合、元素的定义，并说明：“任给一个对象，都能依据标准明确判断它是否属于这个集合。” 基础练习1　“所有质数”能否组成集合？说明理由。 【答案】能。质数有明确的数学定义。 基础练习2　“非常接近0的数”能否组成集合？说明理由。 【答案】不能。“非常接近”没有明确界限。 提高练习　把“成绩优秀的学生”改写成能够组成集合的表述，并指出其中的元素。 【答案】示例：本次考试成绩达到90分及以上的学生；其中每名达到标准的学生都是这个集合的元素。 知识检测　判断对象能否组成集合时，应检查什么？ 【答案】检查是否有明确标准，使任给一个对象都能确定它是否属于这个整体。 知识点二　元素与集合的关系 集合常用大写英文字母表示，如，，，…；集合的元素常用小写英文字母表示，如，，，…。如果是集合的元素，就说属于，记作；如果不是集合的元素，就说不属于，记作。 教师强调：、左边写元素，右边写集合；判断时先验证对象是否满足集合的确定条件，再写关系符号。 例题讲解　教材例2 若方程的所有实数解组成的集合为，则，。（用符号“”或“”填空。） 【解】因为，所以是方程的解，故。因为，所以5不是方程的解，故。 教师说明判断方法：先把数代入方程检验。如果它是方程的解，就说明它属于解集；如果不是方程的解，就说明它不属于解集。书写时元素在左、集合在右，不能倒写成。 教材“试一试” 试写出方程在整数范围内的解组成的集合。学生先判断不是整数，因此这个集合没有元素；教师暂记“没有元素”，在知识点三学习空集后回填为。 强化记忆：教师说“属于”，学生写；教师说“不属于”，学生写。随后教师写出两个符号，学生说出读法，并指出左边是元素、右边是集合。 基础练习1　设为小于5的所有自然数组成的集合，判断与的关系。 【答案】。 基础练习2　设为方程的实数解组成的集合，判断0与的关系。 【答案】，因为。 知识检测　怎样判断一个数是否属于方程的解集？ 【答案】先把这个数代入方程检验。等式成立时，它是解集中的元素；等式不成立时，它不属于这个解集。书写时元素在左、集合在右。 知识点三　集合的分类与常用数集 含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集。教材例1①②中的集合元素可以数完，是有限集；所有平行四边形组成的集合，以及不等式的所有实数解组成的集合，元素不能数完，是无限集。 不含任何元素的集合称为空集，记作。例如方程无实数解，其实数解组成的集合是空集。空集含有0个元素，元素个数是有限的，所以空集是有限集。教师返回教材“试一试”：方程在整数范围内无解，其整数解组成的集合写作。 由数组成的集合称为数集。教师依据教材表1-1呈现：自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集。强调本教材中但；负整数属于、、；分数属于、；无理数属于但不属于。 强化记忆：教师依次提问：“自然数集怎样表示？正整数集怎样表示？0属于自然数集吗？0属于正整数集吗？−2属于哪些常用数集？空集为什么是有限集？”学生逐题回答。 【答案】自然数集记作；正整数集记作或；，；、、；空集含有0个元素，所以是有限集。 基础练习1　判断下列集合的类别：本班全体学生；所有正整数；方程的实数解集。 【答案】依次为有限集、无限集、空集（也是有限集）。 基础练习2　判断、、、分别属于、、、中的哪些数集。 【答案】；；；且。 提高练习　一个方程没有实数解时，“它的实数解不能组成集合”正确吗？ 【答案】不正确。其实数解组成的集合不含任何元素，是空集。 知识检测　有限集、无限集、空集怎样区分？常用数集符号分别是什么？ 【答案】含有限个元素的集合是有限集，含无限个元素的集合是无限集，不含任何元素的集合是空集；空集也是有限集。自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集分别记作、或、、、。 按照“认识整体与元素、判断标准是否明确、学习关系符号、区分集合类别”的顺序逐步推进，降低抽象概念的理解难度。结合教材例题、即时练习和纠错反馈，使学生经历观察、判断、说明理由和规范书写的过程，形成完整的集合概念。 课堂背诵 1．填空：一般地，由某些________的对象组成的整体称为集合。组成这个集合的对象称为这个集合的________。 【答案】确定；元素。 2．填空：如果是集合的元素，记作________；如果不是集合的元素，记作________。 【答案】；。 3．填空：含有限个元素的集合称为________；含无限个元素的集合称为________；不含任何元素的集合称为________，记作________。 【答案】有限集；无限集；空集；。 4．回答：自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集分别怎样表示？ 【答案】分别记作、或、、、。 5．判断并改错：；；空集是无限集；。 【答案】第一项正确；第二项错误，应为；第三项错误，空集是有限集；第四项正确。 通过挖空、符号填空和易错判断进行提取练习，帮助学生准确记忆集合、元素、有限集、无限集、空集和常用数集的基本表述，同时检查关系符号和数集记法是否真正掌握。 师生互动 四人小组逐题判断并说明理由。①“著名科学家的全体”能否组成集合？②“身高1.75 m及以上的学生”能否组成集合？③方程的实数解组成什么集合？④所有整数能否组成集合，属于哪一类，怎样表示？ 【参考答案】①不能。“著名”没有明确标准。②能。是否达到1.75 m可以明确判断；若研究某个班的学生，这个集合是有限集。③方程没有实数解，其实数解组成空集，空集是有限集。④能。整数的判断标准明确，整数有无限多个，因此组成无限集，记作。 各组展示后，其他学生检查四点：判断标准是否明确，集合分类是否正确，符号是否规范，理由是否完整。教师归纳：对象能否组成集合取决于标准是否明确；集合的类别取决于元素个数；没有元素时得到空集，而不是“不能组成集合”。 通过小组判断、说明理由和相互评价，促使学生综合运用确定性、集合分类和符号表示。利用不同答案暴露“标准不明确”“没有元素就是不能组成集合”等常见误区，并在交流中完成纠正。 课堂练习 1．教材练习改编：判断“某校汉字录入速度快的所有学生”能否组成集合，并说明理由。 【答案】不能。“速度快”没有明确标准。 2．判断“某校汉字录入速度达到每分钟90字符及以上的所有学生”能否组成集合。 【答案】能。每分钟90字符及以上是明确标准。 3．设为方程的所有实数解组成的集合，填空：，。 【答案】，。 【解析】，而。 4．判断下列集合是有限集、无限集还是空集：全班学生；所有整数；方程的实数解。 【答案】依次为有限集、无限集、空集。 5．填空：，，，。 【答案】，，，。 6．判断：“成绩较好的学生”不能组成集合，“成绩达到80分及以上的学生”能组成集合。说明两种表述产生不同结论的原因。 【答案】前者“较好”标准不明确；后者给出80分这一量化标准，任给一名学生都能明确判断。 【解析】能否组成集合取决于对象是否确定，即判断标准是否明确，而不是人数多少。 按照“判断标准、关系符号、集合分类、常用数集、理由表达”设置递进练习，既检查基础知识，又考查学生能否说明判断依据。通过模糊条件与量化条件的对比，进一步巩固确定性的本质。。 课堂小结 学生先说出本节课学习的主要内容，教师归纳。第一，集合是由确定的对象组成的整体，其中的对象叫元素。判断对象能否组成集合，关键看标准是否明确。第二，元素属于集合写作，不属于集合写作，元素写在左边，集合写在右边。第三，含有限个元素的是有限集，含无限个元素的是无限集，不含任何元素的是空集，空集也是有限集。第四，常用数集分别记作、或、、、。 教师回应导入：四个教材情境中的对象都有明确标准，所以能够分别组成集合；“高个子”只有改成可以量化判断的条件后，才能组成集合。 引导学生从集合与元素、关系符号、集合分类和常用数集四个方面主动梳理知识，并回到导入情境解释对象为什么能够组成集合，形成前后呼应的知识结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 重点记录学生能否完整说出判断对象确定性的依据，能否区分对象、元素和集合，能否正确使用、，以及是否混淆空集、与。还要观察学生能否先把数代入方程检验，再判断这个数是否属于解集。若例1逐项说理或数集辨识错误集中，后续应安排短时复现；进入列举法前继续强调集合元素必须由明确标准确定。 学科网（北京）股份有限公司 $