2.4 实验用单摆测量重力加速度(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中物理选择性必修第一册（教科版）

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，系统梳理从实验目的（测量g、使用停表）、原理（单摆周期公式T=2π√(l/g)推导g=4π²l/T²），到器材选择、步骤（做单摆、测摆长与周期、变摆长），再到数据处理（公式法求平均值、图像法T²-l图像）、误差分析及注意事项的完整探究链条，构建实验学习支架。 该资料突出科学探究与科学思维培养，通过图像法处理数据（T²-l图像斜率求g）强化模型建构，误差分析（如摆长漏加半径、周期多计次数）培养科学论证能力。含教材原型与拓展创新实验（复摆、圆锥摆），课中辅助教师演示操作，课后题型训练助学生巩固技能，弥补实验细节与误差分析盲点。

4.实验：用单摆测量重力加速度 一、实验目的 1.学会用单摆测量当地的重力加速度。 2.学会使用停表。 二、实验原理 　当偏角很小（5°左右）时，单摆做简谐运动，其运动周期为T=2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g=。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。 三、实验器材 　带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线（约1米）、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。 四、实验步骤 1.做单摆：取约1 m长的不易伸长的细线，一端穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。 2.测摆长：用量程1 m的刻度尺量出从悬点到摆球上端的摆线长度l′，用游标卡尺量出摆球的直径d，摆长l=l′＋。 3.测周期：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（5°左右）后释放。为了使摆球只在一个竖直平面内摆动，要从静止释放且摆球不要旋转。从摆球某次通过平衡位置时启动停表开始计时，数出摆球通过平衡位置的次数n（摆球第一次过平衡位置记为零）。用停表记下所用的时间t，则单摆振动的周期 T=。 4.变摆长：改变摆长，多做几次实验。 五、数据处理 1.公式法：把测得的数据和计算结果填入如下的表中，将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g=中算出重力加速度g的值，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可把它看作本地区的重力加速度。 实验次数 1 2 3 l′ d l′＋ n t g g1==　　　 g2==　　　 g3= =　　　 == 2.图像法：由T=2π得T2=l，以T2为纵轴、以l为横轴作出 T2－l 图像，其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 六、误差分析 1.系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。 2.偶然误差：主要来自时间（即单摆周期）的测量。因此，要注意测准时间（周期）。要从摆球通过平衡位置时开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2…在数“零”的同时按下秒表开始计时，不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 七、注意事项 1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。 3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°，可通过估算振幅的办法掌握。 4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，可在摆球平衡位置的正下方做一标记，以后摆球每次通过最低位置时进行计数。 题型一　教材原型实验 某实验小组做“用单摆测量重力加速度”的实验。所用实验器材有：带孔小钢球一个、长度可调的轻质摆线、铁架台、刻度尺、停表、10分度的游标卡尺等。实验装置如图甲所示。实验时，将摆球拉起较小角度后释放，使之做简谐运动，利用停表测出摆球摆动的周期。 （1）组装好装置后，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用游标卡尺测量小钢球直径d。小钢球直径d=　18.5　 mm，记摆长l=L＋。 （2）进行实验时，用停表测量周期，应从摆球摆至　　　最低点　时开始计时（选填“最高点”或“最低点”），记下小球作50次全振动的时间。 （3）测得摆线长度L=97.87 cm，单摆作50次全振动的时间为100.0 s，利用以上数据结合实验原理可算出重力加速度为　9.74　 m/s2。（结果保留三位有效数字，π2取9.87） 解析：（1）游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和，所以d=18 mm＋5×0.1 mm=18.5 mm。 （2）开始计时位置应选在最低点，能减小误差。 （3）单摆的周期为T== s=2.0 s，又根据单摆的周期公式T=2π，解得g≈9.74 m/s2。 （2025•四川省内江市高三零模考试）某实验小组“用单摆测量重力加速度”。 （1）下列悬挂单摆的装置中，最合理的是　D　。 （2）用秒表记录单摆完成30次全振动所用时间，如图所示，其读数为　52.0　 s。 （3）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的是　C　。 A．测量摆长：用刻度尺量出从悬点到摆球上端点间的距离 B．测量周期：从摆球通过平衡位置开始计时，当摆球再次通过平衡位置时结束计时，秒表所示读数表示单摆的周期 C．为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最低点（速度最大）的位置开始计时 D．拉开摆球，使摆线离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球50次经过平衡位置所用的时间Δt，则单摆周期T= （4）另一组同学测出了摆线长度L和摆动周期T，如图a所示。通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图像如图b所示。由图像可知，当地重力加速度g=　π2　 m/s2（结果用含π的表达式）。 解析：（1）为了使摆长不变，用不可伸长的细丝线，不能用弹性棉线，且用夹子夹住细丝线，选项A、C错误；为了减小空气阻力产生的影响，不能用塑料球，应该用铁球，选项B错误，选项D正确。 （2）图中秒表的读数为t=52.0 s。 （3）测量摆长：用刻度尺量出从悬点到摆球球心的距离，选项A错误；测量周期：从摆球通过平衡位置开始计时数零，摆球振动多次后，当某次以相同方向通过平衡位置时结束计时，秒表所示读数与全振动次数的比值表示单摆的周期，选项B错误；为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最低点（速度最大）的位置开始计时，选项C正确；拉开摆球，使摆线与竖直方向夹角不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时数零，记下摆球50次经过平衡位置所用的时间Δt，则单摆周期T==，选项D错误。 （4）根据单摆的周期公式得T=2π，解得T2=L＋，根据图像得k==，解得g=π2 m/s2。 规律总结 单摆周期测量误差的产生原因 1.测量摆长时引起的误差 （1）摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长，漏加摆球半径等； （2）摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长（多加了半径）。 2.测量周期时引起的误差 （1）周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把（n＋1）次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。 （2）周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把（n－1）次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。 （3）计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点（平衡位置）时开始计时，容易产生较大的计时误差。 题型二　拓展与创新实验 （2025•四川省成都市蓉城联盟高二期中考试）某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 （1）下列说法正确的有　BC　（填标号）。 A．摆角要尽可能大 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度大、体积小的实心金属小球 （2）如图甲所示，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆的周期为T=　2t0　（用字母t0表示）。 （3）在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长为L，再用螺旋测微器测得摆球的直径为D，则该单摆摆长的表达式为l=　 L＋　（用所测物理量的字母表示）。 （4）根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为g=　　（用字母L、t0、D表示）。 （5）若实验时，固定细线的铁夹出现松动，摆动过程中摆线变长了，则测得的重力加速度　偏小　（填“偏大”或“偏小”）。 解析：（1）为减小实验误差，摆角要小于5°，选项A错误；摆线适当长一些，选项B正确；摆球应选密度大、体积小的实心金属小球，以减小空气阻力，选项C正确。 （2）由图可知，每次到最高点时绳子的拉力最小，故周期为T=2t0。 （3）摆长是从悬点至球心的距离，故l=L＋。 （4）由T=2π得g=。 （5）摆球摆动过程中，摆线变长了，则l实大于l测，由g=可知，测得的重力加速度偏小。 1.将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出T2－L函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。 （1）如果实验中所得到的T2－L关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该是a、b、c中的　a　； （2）由图可知，小筒的深度h=　0.3　m，当地重力速度g=　9.86　m/s2（π取3.14，g的计算结果保留3位有效数字）。 解析：（1）由单摆周期公式有T=2π ，得T2=＋，纵轴截距大于0，图线应为题图乙中的图线a。 （2）将T2=0，L=－30 cm代入T2=＋，可得 h=30 cm=0.3 m；由斜率可求得 g== m/s2=π2 m/s2≈9.86 m/s2。 2.某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T=2π，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图（a），实验时在杆上不同位置打上多个小孔，让光滑水平轴穿过其中一个小孔，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后让轴穿过不同位置的孔重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m=0.50 kg。 r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.200 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 （1）由实验数据得出图（b）所示的拟合直线，图中纵轴表示　T2r　。 （2）Ic的国际单位制单位为　kg•m2　，由拟合直线得到Ic的值为　0.17　（保留到小数点后两位）。 （3）若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值　不变　（填“偏大”“偏小”或“不变”）。 解析：（1）由公式T=2π得T2r=＋，故题图（b）中纵轴表示T2r。 （2）由公式T=2π 得Ic=－mr2，即Ic的国际单位制单位为kg•m2，由题图（b）并结合（1）中的式子可得1.25 s2•m=，由题图（b）知拟合直线的斜率k== s2•m－1= s2•m－1，解得Ic≈0.17 kg•m2。 （3）由（1）、（2）中分析可知重力加速度的测量值与质量无关，故g的测量值不变。 1.（2025•四川省泸县第五中学高三第一次诊断性模拟考试）某同学设计了如图1所示的单摆装置来测量当地重力加速度g，将小钢球通过没有弹性的长为l的细绳悬挂于O点，小球通过最低点时球心会经过光电计时器，光电计时器用于测量小球的通过时间及次数。 （1）本实验中有关小球摆动时对应的圆心角α、绳长l与小钢球直径d的关系，符合要求的是　AD　。 A．圆心角α很小 B．圆心角α不大于30°即可 C．l大于d即可 D．l远大于d （2）若已知绳长l，还需要测量小钢球的直径d。某同学利用测量工具测得d的值如图2所示，其读数为d=　　　3.860　 mm。 （3）某次实验时，他将小钢球第一次到达最低点记作次数0，此时开始计时，经时间t小球第n次经过最低点，则当地重力加速度的测量值g=　　（用测量的物理量字母符号表示）。 解析：（1）单摆对摆角的要求为摆角很小，且细绳长度远大于小球直径，选项A、D正确。 （2）读数为d=3.5 mm＋0.01×36.0 mm=3.860 mm。 （3）根据题意周期T=，由单摆周期公式T=2π，其中L=l＋，解得g=。 2.（2025•四川省绵阳中学高二第一次测试）某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图1所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 （1）该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图2所示，则小球的直径为d=　1.150　 cm。 （2）该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图3所示，则小球摆动的周期为T=　2t0　。 （3）根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为g=　　　　（用d、t0、R表示）。 （4）另一同学将光滑圆弧球面半径R当作小球等效单摆长度所测得g比真实重力加速度　偏大　（选填“偏大”“偏小”“正确”）。 解析：（1）小球的直径为d=11 mm＋0.05 mm×10=11.50 mm=1.150 cm。 （2）小球摆动的周期为T=2t0。 （3）根据T=2π，解得g=。 （4）若将光滑圆弧球面半径R当做小球等效单摆长度，根据g测=，则所测得g比真实重力加速度偏大。 1.（2025•四川省汶川中学校高二入学考试）某实验小组在实验室用单摆做测定重力加速度的实验，实验装置如图甲所示。 （1）用游标卡尺测量摆球的直径，测量结果如图乙所示，则该摆球的直径为　9.7　 mm。 （2）关于本实验，下列说法正确的是　B　。 A．需要用天平称出小球的质量 B．摆球应选用体积较小、质量较大的小球 C．为了方便测量，摆球摆动的幅度越大越好 D．测量周期时，应从摆球到达最高点时开始计时 （3）实验测出单摆完成n次全振动的时间为t，摆长为L，则计算重力加速度的表达式为g=　　。 解析：（1）题图乙中游标卡尺的分度值为0.1 mm，摆球的直径为9 mm＋7×0.1 mm=9.7 mm。 （2）实验是通过测量单摆周期计算重力加速度，与摆球的质量无关，选项A错误；实验的摆球应选择体积较小、质量较大的小球，减小阻力，选项B正确；当摆球的摆角较小时，摆球的运动可以看作简谐运动，所以单摆偏离平衡位置的角度不能过大，选项C错误；测量周期时，应从平衡位置开始计时，此时误差较小，选项D错误。 （3）根据单摆的周期公式T=2π，其中周期为T=，解得g=。 2.（2025•四川省仁寿第一中学校（北校区）高二期末）某同学在做“用单摆测量重力加速度”实验中： （1）先测得摆线长，用游标卡尺测得摆球的直径如图甲所示，则小球的直径为　2.125　 cm。 （2）为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最　低　（填“高”或“低”）点的位置时开始计时，并用秒表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。 （3）为了提高测量精度，需多次改变L的值并测得相应的T值。现测得的六组数据，标示在以L为横坐标、T2为纵坐标的坐标纸上，即图乙中用“×”表示的点。（取π2=9.8）根据图中的数据点作出T2与L的关系图线如图乙所示，则重力加速度g= 9.80 m/s2。（结果保留三位有效数字） （4）如果测得的g值偏大，可能的原因是　BD　（填正确答案标号）。 A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了 B．把n次摆动的时间误记为次摆动的时间 C．以摆线长作为摆长来计算 D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算 解析：（1）用游标卡尺测得摆球的直径为21 mm＋5×0.05 mm=21.25 mm=2.125 cm。 （2）为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最低点的位置时开始计时，并用秒表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。 （3）根据T=2π可得T2=，由图像可知k===4，解得g=9.80 m/s2。 （4）根据T=2π可得g=，单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了，但计算时仍用原来的值计算，根据g=可知，g测量值偏小，选项A错误；把n次摆动的时间误记为次摆动的时间，则周期T测量值偏小，根据g=可知，g测量值偏大，选项B正确；以摆线长作为摆长来计算，则摆长偏小，则根据g=可知，g测量值偏小，选项C错误；以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，摆长偏大，根据g=可知，g测量值偏大，选项D正确。 3.（2025•四川省成都市成华区嘉祥外国语高级中学高一月考）小陈同学在家里做“用单摆测量重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的小石块代替摆球，设计的实验步骤是： A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点 B．用刻度尺测量O、N间细线的长度l作为摆长 C．将石块拉开一个大约α=5°的角度，然后由静止释放 D．从石块摆至平衡位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，并计算出周期T E．改变O、N间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T F．根据公式g=l，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果 （1）小陈同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是　BD　。（填选项前的字母） A．开始计时时，过早按下停表 B．测量周期时，误将摆球n－1次全振动的时间记为n次全振动的时间 C．悬点O未固定牢固，振动中出现松动（摆长变长） D．释放石块时有初速度，石块实际上做圆锥摆 （2）李老师利用小陈测出的多组摆长l和周期T的值，对实验数据处理做了改进，作出T2－l图线，由图像可求得当地重力加速度g=　　，该方法所求得的g值　等于　真实值。（选填“大于”“小于”或“等于”） 解析：（1）根据公式g=l计算重力加速度。开始计时时，过早按下停表，则周期测量值偏大，使得重力加速度测量值偏小，选项A错误；测量周期时，误将摆球n－1次全振动的时间记为n次全振动的时间，则周期测量值偏小，使得重力加速度测量值偏大，选项B正确；悬点O未固定牢固，振动中出现松动（摆长变长），则摆长测量值偏小，使得重力加速度测量值偏小，选项C错误；释放石块时有初速度，石块实际上做圆锥摆，设圆锥摆母线与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律可得mgtan θ=mLsin θ，可得T=2π＜2π，可知周期测量值偏小，使得重力加速度测量值偏大，选项D正确。 （2）根据单摆周期公式T=2π可得T2=l，可知T2－l图线的斜率为k==，可得重力加速度为g=，由题图可知，图线有正的纵轴截距，原因可能是只用摆线长度作为摆长，设石块重心到N点距离为r，则T=2π，可得T2=l＋r，可知T2－l图线的斜率仍为k=，故该方法所求得的g值等于真实值。 4.（2026•四川广安期末）某同学在实验室测量单摆的周期和当地的重力加速度大小。 （1）将摆线上端固定于铁架台，下端系一小球，做成单摆，如图a所示。将小球由平衡位置拉开一个小角度静止释放，传感器连接的计算机屏幕显示的拉力F随时间t变化的关系如图b所示。现测得单摆摆长为L，则单摆的振动周期T=　Δt　 （用字母Δt表示）； （2）观察图b变化的趋势，引起该情况最可能的原因是　B　； A．传感器损坏 B．小球摆动的振幅减小 C．小球由单摆运动变为圆锥摆运动 （3）改变单摆摆长L，重复实验，测得多组数据，得到振动周期的平方T2与单摆摆长L的关系图像，如图c所示。已知图像的斜率为k，则当地重力加速度大小g=　　（用字母k、π表示）。 解析：（1）小球经过最低点时拉力最大，从最低点开始计时，一个周期内两次经过最低点，即周期T=Δt。 （2）小球经过最高点时绳子拉力最小，由图b可知经过最高点的拉力逐渐变大，设在最高点时绳子与竖直方向的夹角为θ，则Tmin=Gcos θ，可知最高点时绳子与竖直方向的夹角变小，即小球摆动的振幅减小。故选B。 （3）根据单摆周期公式T=2π 可得T2=•L 可知T2－L图像斜率k= 可得重力加速度g=。 5.某同学设计实验测量当地的重力加速度，实验器材主要由一个可调速的电动机、智能手机、细铜丝、钢管支架和不锈钢底座组成，其中可调速的电动机是由一个低速旋转电动机、一个直流电机调速器和一个直流开关电源组成。手机在水平面内稳定做匀速圆周运动时可处理为“圆锥摆”模型，手机上装载的Phyphox软件配合手机内的陀螺仪可直接测得手机做圆周运动的角速度ω和向心加速度a，Tracker软件可通过拍下的视频分析测量绕杆做圆周运动时悬线与竖直方向的夹角及手机做圆周运动的半径r。有了a、θ、ω、r的实测数据，即可在误差允许范围之内测量当地重力加速度。 （1）小河同学根据所学过的力学知识推出当地重力加速度表达式为g1=　　（用a和θ表示）。 （2）若保持角速度ω不变，改变线长L，根据测得的5组数据描点作图，直线拟合后得到a－r图像如图所示，直线斜率为k，圆心到悬点距离为h，当地重力加速度表达式为g2=　 kh　（用k和h表示）。 （3）根据下面数据描绘a－tan θ图像，请在坐标纸上描出序号为4的点，并由图像计算重力加速度g=　9.76（9.70~9.86均可）　m/s2（结果保留三位有效数字）。 序号 夹角θ/（°） 夹角正切tan θ 半径r/m 角速度ω/（rad•s－1） 向心加速度a/（m•s－2） 1 44.90 0.998 0.403 4.954 9.789 2 47.25 1.082 0.434 4.941 10.577 3 49.50 1.111 0.486 4.833 11.348 4 49.90 1.188 0.466 4.961 11.683 5 53.10 1.332 0.545 4.912 12.999 答案：见解析图　 解析：（1）由题意可知圆锥摆做圆周运动时的向心力为 ma=mg1tan θ，故重力加速度为g1=。 （2）由题意知ma=mω2r，则a=ω2r，可得斜率k=ω2，由（1）知mgtan θ=mω2r，tan θ=，故可求得g2=kh。 （3）描出序号为4的点，如图所示。 由（1）可知a－tan θ图像的斜率表示重力加速度，其值约为9.76 m/s2。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $