专题2 不等式（讲义）-2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》 专题2 不等式 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 等式与不等式 不等式的基本性质 2026-2 单选 3 等式的性质与方程的解 2025-22 填空 5 不等式的基本性质 2023-11 单选 3 解不等式 解一元二次不等式 2026-20 填空 4 解绝对值不等式 2024-5 单选 2 解不等式组 2022-3 单选 2 基本不等式 利用基本不等式求最值 2024-13 单选 3 利用基本不等式求最值 2023-12 单选 3 用基本不等式求最值 2022-23 填空 4 命题轨迹透视： 不等式在浙江省单独招生考试中属于重要考查点，几乎为每年必考题目。不等式主要考查不等式的基本性质、求不等式的解以及基本不等式求最值等，出现在选择题或填空题中，并且每年的题序不固定，考查1道或2道题，以选择题或填空题形式呈现，每题分值3分。 【考点1：等式与不等式】 1. （2026年浙江T2）已知实数,则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质判断各选项的变形是否正确. 【详解】A选项，因为，所以， 根据不等式的基本性质可得，故A选项正确. B选项，因为，所以. 根据不等式的基本性质可得，从而，故B选项错误. C选项，因为，所以， 取,，此时，故C选项错误. D选项，因为，所以， 取,，此时，故D选项错误. 故选：A. 2. （2025年浙江T22）购房需要缴纳契税，规定不超过的房子契税按总价的百分之一，超过的房子契税按总价的百分之二征收. 为了降低消费者购房成本，某地方政府推出新政：规定不超过的房子契税按总价的百分之一，超过的房子契税按总价的百分之二征收. 新政之下消费者购买一个的房子花了240万元，契税能省__________元. 【答案】2.4 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】分别计算出旧政策与新政策下应缴纳的契税，作差即可求解. 【详解】按旧政策，应缴纳契税（万元）， 按新政策，应缴纳契税（万元）， 所以契税能省（万元）. 故答案为：2.4. 3. （2023年浙江T11）已知实数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的基本性质即可求解. 【详解】因为，即，， 所以，因此选项A错误，选项B正确. 取，，，则，因此选项C错误，选项D错误. 故选：B. 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3.比较大小 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 题型1 等式性质与方程的解 1. 与命题等价的命题是（    ） A． B． C． D． 2.若关于的方程的解集为，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.某市出租车的票价按下列规则制定：3公里以内（含3公里）票价7元，3公里以上，每增加1公里增加元.小明乘坐一出租车行驶了8公里，则小明应该付司机_____________元. 4.王同学从家到学校用了10分钟，从学校原路返回到家用了8分钟，速度提高了______%. 题型2 不等式的性质 5.（2026浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）已知a和b均为实数，且，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6.（2025浙江省职教高考研究联合体高三第三次联考试题）已知，，都是实数，且，则（    ） A． B． C． D． 7.（2025浙江省职教高考绍兴市高三第一次模拟考试）已知，则下列不等式恒成立的是（   ）． A． B． C． D． 8.（2025浙江省职教高考研究联合体高三第二次联合考试）已知a，m，n均为实数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9.（2025浙江省丽水、衢州、湖州市中职学校高三质量检测试题）已知，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案与解析】 1【答案】B 【知识点】充要条件的判断与证明、等式的性质与方程的解 【分析】根据，可判断. 【详解】由于,， 故与等价. 故选：B 2【答案】B 【知识点】列举法表示集合、等式的性质与方程的解 【分析】根据题意将代入方程中即可得解. 【详解】方程的解集为， 将代入方程中得，解得， 故选：. 3【答案】 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】由题意列式计算即可. 【详解】由题意可知，. 故答案为：. 4【答案】25 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】把小红从家到学校的路程看做单位“1”，分别表示出来回的速度，再根据比多比少问题进行解答. 【详解】把小红从家到学校的路程看做单位“1”，则从家到学校速度为，从学校原路返回到家速度为. 则速度提高了. 故答案为：25. 5【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质判断选项即可. 【详解】选项：若，则，不成立； B选项：若，则，不成立； C选项：若，则，不成立． D选项：因为，所以，成立． 故选：D. 6【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，利用作差法，即可判断求解. 【详解】因为，，都是实数，且， 若，则，故选项A错误； 若时，，故选项B错误； 当时，无意义，故选项C错误； 若，则，故，即， 故选项D正确； 故选：D. 7【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由不等式的运算性质，逐个判断选项得到答案. 【详解】已知， 选项A，，该选项错误； 选项B，假设，，，此时，该选项错误； 选项C，因为是正数，是负数，则，该选项错误； 选项D，因为，，则，该选项正确， 故选：D. 8【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用赋值法和不等式的性质可求. 【详解】选项A中，若，满足，但是，故错误； 选项B中，，不等式的两边同加，不等号的方向不变．故B正确； 选项C中，若，满足，但此时，故C错误； 选项D中，若，满足，但此时，故D错误； 故选：B. 9【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质判断各个选项. 【详解】根据不等式性质可得，，，， ，所以选项B,C,D错误. 故选:A． 【考点2：解不等式】 1. （2026年浙江T20）已知一元二次方程的两根为，，求不等式的解集为______. 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为一元二次方程的两根为，， 又函数的图像为开口向上的抛物线， 与轴的交点坐标为， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. （2024年浙江T5）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据含绝对值的不等式求解即可. 【详解】由可知或，解得或, 所以不等式的解集为. 故选：D 3. （2022年浙江T3）下列不等式（组）中，其解集在数轴上的表示如图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、解不含参数的一元二次不等式、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】逐项解不等式或不等式组，对应数轴上的解集即可判断. 【详解】数轴上的解集为， 对于A，解得：，故解集为，不符合题意； 对于B，解得：，故解集为，符合题意； 对于C，解得：，故解集为，不符合题意； 对于D，得：，故解集为，不符合题意. 故选：B. 知识点1 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 2.【知识拓展】 （1）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （2）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （3）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 3. 解不含参数的一元二次不等式的4个步骤 （1）变：将一元二次不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 （2）判：计算相应方程的根的判别式符号 （3）求：求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程是否有实数根 （4）写：利用“大于去两边，小于取中间”写出不等式的解集 4. 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 知识点2 绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法： 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a＜x＜a} ∅ ∅ |x|>a {x|x＞a或x＜－a} {x∈R|x≠0} R (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 知识点3 分式不等式的解法 （1）; (2) ; 题型1 解绝对值不等式 1.（2026浙江省绍兴市新昌技师学院高三高职班第二学期回头考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2.（2025浙江省职教高考研究联合体高三第五次联合考试）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3.（2024浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试试题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型2 解不等式组 4. 不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 5. 不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 6.（2023浙江省高职考二三轮系统性考试高三第一次模拟考试）解集为的不等式（组）是（   ） A． B． C． D． 题型3 解一元二次不等式 7.（2025浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟考试）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8.（2026浙江省宁波、嘉兴职教高考第二次模拟考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9.（2024浙江省高职理论考临海、温岭、玉环县市高三联合模拟考试）函数的图像如图所示，下列不等式中，解集与相同的是（    ）    A． B． C． D． 10.（2024浙江省温州市普通高职单独考试高三二模）已知一次函数的图像如图所示，令，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 11. 若不等式的解集为，则的值为（    ） A． B．11 C． D．13 12.如果函数，当时，有，则的值为（    ） A． B． C． D． 13.（2025浙江省职教高考研究联合体高三第三次联考试题）已知函数的图像与轴相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14.（2025浙江省职教高考高三第五次模拟）已知函数（为常数），满足，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型4 解分式不等式 15.不等式的解集是 （    ） A． B． C． D． 16.分式不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 17.不等式的解集是_____. 18.不等式的解集为_______． 【答案与解析】 1【答案】C 【知识点】解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以不等式的解集是. 故选：C. 2【答案】B 【知识点】解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据绝对值不等式的性质求解即可. 【详解】不等式的解集为或， 解得或. 故选：B. 3【答案】B 【知识点】解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据含绝对值不等式的求法求解即可. 【详解】由， 得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 4【答案】C 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】直接解一元一次不等式组即可得解. 【详解】解不等式组得，即， 故解集为. 故选：C. 5【答案】B 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】分别求不等式的解集，然后求交集即可 【详解】不等式组，解得，即， 解集为； 故选：B. 6【答案】C 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、解不含参数的一元二次不等式、解不含参数的含绝对值的不等式、分式不等式 【分析】根据分式不等式、一元二次不等式、含绝对值的不等式及一元一次不等式组，逐项求解各不等式即可得解. 【详解】A， ， 解得或，所以解集为，不符合题意； B， ，解得或， 所以解集为，不符合题意； C，由得或，解得或， 所以解集为，符合题意； D， 解得或， 所以解集为，不符合题意. 故选：C． 7【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】或, 得不等式的解集是， 故选：B 8【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为， 所以，故， 所以该不等式的解集为. 故选：A. 9【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解不含参数的含绝对值的不等式、分式不等式 【分析】先根据一元二次不等式的基本解法，得到的解集，再分别求得各选项的解集，即可求解. 【详解】根据函数图像可知，的解集为. 选项A中，可化为，则解集为，故正确. 选项B中，可化为，则解集为，故错误. 选项C中，的解集为，故错误. 选项D中，中，因为分母不为零，则，且，或者且， 且时，空集. 且时，得到. 综上，解集为，故错误. 故选：A. 10【答案】D 【知识点】函数图象的应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先根据图像写出一次函数的解析式，求出的解析式，即可求解. 【详解】由图像可知，， 所以， 所以即为， 解得或， 所以的解集为. 故选:D. 11【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解集求出和的值，再计算的值． 【详解】由题意不等式的解集为, 所对应方程的两根, 根据根与系数的关系可知，, 所以 故选：B. 12【答案】C 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据二次函数与二次方程和一元二次不等式的关系运用韦达定理求解即可. 【详解】已知函数， 当时，有， 即的解集为， 则有时，. 根据韦达定理得， ，解得. 故选：C. 13【答案】B 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由二次函数与一元二次不等式的关系即可得解. 【详解】因为函数的图像与轴相交于，两点， 所以， 即所求不等式即为，又， 不等式可化为，即解集为. 故选：B. 14【答案】A 【知识点】已知函数值求自变量或参数、一元二次不等式恒成立问题 【分析】由，恒成立，可得，，两式联立即可得的值. 【详解】，则， ， 恒成立，则恒成立, , 由得 即 , 故选：A. 15【答案】B 【知识点】分式不等式 【分析】不等式大于0则分子分母一定同号，求解得到答案. 【详解】不等式大于0，且分子为1， 故原不等式变为， 不等式的解集为. 故选：B. 16【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】首先将分式不等式转化为，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由分式不等式可转化为， 即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：D． 17【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法，即可求解. 【详解】； 因为分子为正，分母不能等于0， 所以, 所以不等式的解集是. 故答案为：. 18【答案】9 【知识点】分式不等式 【分析】根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】因为，即， 所以，即， 所以或， 即或， 解得或. 即不等式的解集为. 故答案为：. 【考点3：基本不等式】 1.（2024年浙江T13）已知皆为正数，且，则（    ） A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据基本不等式即可求最值. 【详解】已知，则， 因为皆为正数，所以， 所以，当且仅当，时，等式成立， 所以有最小值4， 故选：A. 2（2024年浙江T12）当时，函数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【知识点】其他不等式 【分析】先分离常数，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 函数 ， 当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值是. 故选：C. 3. （2022年浙江T23）已知，且，则xy的最大值为__________． 【答案】 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据基本不等式解法求解即可. 【详解】，， 即，， 当且仅当即，时取等号， 此时的最大值为. 故答案为：. 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 5. 常用结论 ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) 题型1 利用基本不等式求最大值 1.（2025浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟考试）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2.（2025浙江省中职数学温州市三模）已知，若，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3.已知，且满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 4.（2025浙江省职教高考绍兴市高三第一次模拟考试）函数的最大值为______． 5.若，则的最大值是____________． 6.已知正数a，b满足，则的最大值为___________. 题型2 利用基本不等式求最小值 7.（2025浙江省绍兴市职教高考高三第二次模拟试题）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8.（2024浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．10 C．100 D．20 9.若点在函数图象上，且，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 10.函数取到最小值时，实数（    ） A． B．3 C．0或2 D．2 11.（2026浙江省宁波市北仑职业高级中学高考班第一次选拔考试）已知点在一次函数的图像上，其中，则的最小值为__________. 12.（2025浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）已知和均为正实数，则的最小值为_____. 13.（2025浙江省职教高考研究联合体高三第二次联合考试）已知，则函数的最小值为_____． 【答案与解析】 1【答案】C 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为正数满足，根据基本不等式， 化简得，当且仅当等号成立. 则的最大值为. 故选：C. 2【答案】B 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据题意结合均值不等式公式即可得解. 【详解】，， 由均值不等式可知，， 所以， 当且仅当或时等号成立，则的最大值为， 故选：. 3【答案】A 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为3. 故选：A 4【答案】 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】利用基本不等式得到函数最大值. 【详解】， 由基本不等式可得，，等号当且仅当，即时成立， 因此，等号当且仅当时成立， 故答案为：. 5【答案】4 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时， 有最大值4， 故答案为：4 6【答案】25 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据题意利用基本不等式即可求解. 【详解】因为为正数， 由可知，， 根据基本不等式，有， 当且仅当，即时，等号成立. 因此，的最大值为25. 故答案为：25. 7【答案】C 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据均值不等式即可得解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时等号成立，此时或（舍）， 所以的最小值为， 故选：. 8【答案】D 【知识点】对数的运算、求对数函数的定义域、利用基本不等式求最值 【分析】结合对数函数有意义的条件和对数运算，得到，利用基本不等式，即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时的最小值为20. 故选：D. 9【答案】B 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据条件得到，进而由基本不等式求解即可. 【详解】因为点在函数图像上，所以， 因为，所以 当且仅当时，取得等号. 故的最小值为8. 故选：B. 10【答案】D 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】利用基本不等式可求解函数最小值，即可求解. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数取到最小值时，实数. 故选：D. 11【答案】8 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】先根据点在一次函数图像上得到，再结合基本不等式求值即可. 【详解】已知点在一次函数的图像上， 得， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为， 故答案为：. 12【答案】 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】首先将式子进行化简，再根据基本不等式进行求最值. 【详解】和均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 13【答案】8 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】将函数进行化简，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意知函数，， 所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为8． 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $