专题10 角的概念推广及弧度制（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 角的概念推广及弧度制 ( 【复习目标】 理解任意角的概念，理解角的旋转形成的原理; 角的范围及坐标轴上角的特征; 熟练掌握象限角、界限角的定义，能准确判断任意角所述象限，熟记各象限 掌握终边相同角的集合表示方法; 理解弧度制的定义，掌握弧度与角度的换算核心公式; ) 【考点1 角的概念】 1．任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2．角的分类 （1）正角:按逆时针方向旋转所形成的角. （2）负角:按顺时针方向旋转所形成的角. （3）零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3．象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4．轴线角 （1）定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. （2）轴线角的表示： 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 5．终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 【即时训练】 一、单选题 1．与终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意写出终边相同的角的集合即可得解. 【详解】与终边相同的角是， 令，解得，故错误； 令，解得，故错误； 令，解得，故正确； 令，解得，故错误， 故选：. 2．集合 中的一个负角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的集合求解即可. 【详解】选项A：是正角，不符合题意，错误； 选项：，，是集合中的负角，正确； 选项C：令，解得，不是整数，不在集合内，错误； 选项D：是正角，不符合题意，错误. 故选：B 3．与 终边相同的角可表示为（　　）（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义表示即可. 【详解】和终边相同的角可写为，其中，故B正确； 选项A是加的整数倍，得到的是和终边共线的角，不符合要求； 选项C表示的是和终边相同的角，和终边不同； 选项D是加的整数倍，终边只会落在坐标轴附近或每间隔的位置，和终边不都相同. 故选：B. 4．与角终边相同，且在到内的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角相差整数个求解即可. 【详解】因为， 所以与角终边相同，且在到内的角是. 故选：D. 5．以下各角，终边在第四象限的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据象限角的定义求解. 【详解】因为，所以的终边在第二象限； 因为，所以的终边在第四象限； 因为，所以的终边在第三象限； 的终边在轴正半轴， 故选：B. 二、填空题 6．与角终边相同的角的一般形式为______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据终边相同的角的表示求解. 【详解】与角终边相同的角的一般形式为：. 故答案为：（答案不唯一）. 7．若与终边相同，且，则______. 【答案】 【分析】根据终边相同的角的表示求解即可. 【详解】与终边相同的角可表示为：， 且，即， 解得， 则当时满足题意，此时. 故答案为：. 8．在到之间，与角终边相同的角为______. 【答案】 【分析】根据终边相同角的表示求解. 【详解】因为， 所以在到之间，与角终边相同的角为. 故答案为：. 9．角与到内的______角终边相同. 【答案】 【分析】根据终边相同角的概念求解即可. 【详解】因为， 所以角与角的终边相同. 故答案为：. 10．已知角的终边经过点（），则角的终边所在的象限是_______ 【答案】第二象限 【分析】根据点的横坐标与纵坐标的正负判断即可. 【详解】∵角的终边经过点（）， ∴横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限， ∴角的终边在第二象限. 故答案为：第二象限. 三、解答题 11．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角. (1) (2) 【答案】(1)，第二象限角 (2)，第一象限角 【分析】根据终边相同的角的表示及象限角的定义求解. 【详解】（1）∵，∴在范围内，与终边相同的角是， ∵，∴是第二象限角，从而是第二象限角. （2）∵，∴在范围内，与终边相同的角是， ∵，∴是第一象限角，从而是第一象限角. 12．一机械摆动机构的摆杆从垂直向下位置开始. (1)摆杆先顺时针摆动了 ，然后又逆时针摆动了，求摆杆相对垂直初始位置的角度. (2)若摆杆最终相对垂直初始位置逆时针摆动了，且已知它先顺时针摆动了，求之后逆时针摆动了多少度？ 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据摆动方向规定正负计算最终角度. （）通过设未知数，依据初始和最终位置的角度关系建立方程求解. 【详解】（1）因为逆时针摆动为正，顺时针摆动为负. 相对垂直初始位置角度为， 即相对于垂直初始位置逆时针摆动了. （2）设之后逆时针摆动了. 先顺时针摆动即，最终逆时针摆动，可列方程，解得， 即之后逆时针摆动了. 【考点2 弧度制】 1．弧度制概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， ， 3．常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 4．扇形中的弧长公式和面积公式 （1）弧长公式：(是圆心角的弧度数) （2）扇形面积公式：. 【即时训练】 一、单选题 1．化为角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度与弧度的互化关系求解. 【详解】. 故选：C. 2．若圆弧长，半径，则圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用弧长公式直接计算即可得出结果. 【详解】因为弧长公式：，所以， 圆心角的弧度数为. 故选：. 3．化为角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度转角度的换算公式计算可得结果. 【详解】. 故选：. 4．弧度制中，半径为、圆心角为的扇形的弧长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形弧长公式求解即可. 【详解】弧度制中，半径为、圆心角为的扇形的弧长是. 故选：A. 5．在单位圆上，角的终边上一点，则对应的角在上为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出角的终边在轴负半轴上即可得解. 【详解】角的终边上一点，则角的终边在轴负半轴上， 则该角在上为， 故选：. 二、填空题 6．化为弧度是______. 【答案】 【分析】将角度制化为弧度制即可得解. 【详解】化为弧度是， 故答案为：. 7．化为角度是______. 【答案】 【分析】根据弧度制与角度制的互化原则求解即可. 【详解】，故化为角度是. 故答案为：. 8．半径为，圆心角为的弧长为______. 【答案】6 【分析】用弧长公式直接计算即可得出结果. 【详解】半径为，圆心角为的弧长为. 故答案为：. 9．半径为，圆心角为的弧长为______. 【答案】 【分析】直接使用弧长公式代入数值运算即可. 【详解】因为半径为，圆心角为， 所以弧长. 故答案为： . 10．半径为，圆心角为的扇形的弧长是______. 【答案】 【分析】根据题意，结合弧长公式，即可求解. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为， 所以弧长. 故答案为：. 三、解答题 11．已知扇形半径为，圆心角为，求弧长和扇形面积. 【答案】弧长，面积 【分析】利用弧长和扇形面积公式计算即可得出结果. 【详解】弧长. 扇形面积. 所以弧长，扇形面积. 12．将与分别化为弧度. 【答案】，. 【分析】利用角度转弧度公式：，计算即可得出结果. 【详解】； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 角的概念推广及弧度制 ( 【复习目标】 理解任意角的概念，理解角的旋转形成的原理; 角的范围及坐标轴上角的特征; 熟练掌握象限角、界限角的定义，能准确判断任意角所述象限，熟记各象限 掌握终边相同角的集合表示方法; 理解弧度制的定义，掌握弧度与角度的换算核心公式; ) 【考点1 角的概念】 1．任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2．角的分类 （1）正角:按逆时针方向旋转所形成的角. （2）负角:按顺时针方向旋转所形成的角. （3）零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3．象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 4．轴线角 （1）定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. （2）轴线角的表示： 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 终边落在轴非正半轴 终边落在轴 终边落在轴 终边落在坐标轴 5．终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 【即时训练】 一、单选题 1．与终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 2．集合 中的一个负角是（　　） A． B． C． D． 3．与 终边相同的角可表示为（　　）（） A． B． C． D． 4．与角终边相同，且在到内的角是（　　） A． B． C． D． 5．以下各角，终边在第四象限的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．与角终边相同的角的一般形式为______. 7．若与终边相同，且，则______. 8．在到之间，与角终边相同的角为______. 9．角与到内的______角终边相同. 10．已知角的终边经过点（），则角的终边所在的象限是_______ 三、解答题 11．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角. (1) (2) 12．一机械摆动机构的摆杆从垂直向下位置开始. (1)摆杆先顺时针摆动了 ，然后又逆时针摆动了，求摆杆相对垂直初始位置的角度. (2)若摆杆最终相对垂直初始位置逆时针摆动了，且已知它先顺时针摆动了，求之后逆时针摆动了多少度？ 【考点2 弧度制】 1．弧度制概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， ， 3．常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 4．扇形中的弧长公式和面积公式 （1）弧长公式：(是圆心角的弧度数) （2）扇形面积公式：. 【即时训练】 一、单选题 1．化为角度是（　　） A． B． C． D． 2．若圆弧长，半径，则圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D． 3．化为角度是（　　） A． B． C． D． 4．弧度制中，半径为、圆心角为的扇形的弧长是（　　） A． B． C． D． 5．在单位圆上，角的终边上一点，则对应的角在上为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．化为弧度是______. 7．化为角度是______. 8．半径为，圆心角为的弧长为______. 9．半径为，圆心角为的弧长为______. 10．半径为，圆心角为的扇形的弧长是______. 三、解答题 11．已知扇形半径为，圆心角为，求弧长和扇形面积. 12．将与分别化为弧度. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $