专题9 对数与对数函数（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 对数及对数函数 ( 【复习目标】 1. 理解 对数的概念，掌握指数和对数的互化 . 2. 能够 熟练运用对数的运算法则进行对数的计算 . 3 . 掌握对数函数的概念，会画对数函数的图像 . 4 . 熟练掌握对数函数的图像和性质，并会用来解决问题 . ) 【考点1 对数】 1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作 .其中a叫做对数的 ，N叫做 ． 2．两类重要的对数 （1）常用对数：以10为底的对数叫做 ，并把log10N记作lgN； （2）自然对数：以e为底的对数称为 ，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. （3）对数与指数之间的关系 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. 3．对数的运算公式 (1)对数运算的性质 ： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM； 一般地，＝ logaM； (2)换底公式及对数恒等式： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)． 特别地，logab＝. 【即时训练】 一、单选题 1．由 可得（　　） A． B． C． D． 2． 的值为（　　） A． B． C． D． 3．利用 ，可得 （　　） A． B． C． D． 4．若，则（　　） A． B． C． D． 5．把合并为一个对数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．把 写成对数式为______. 7．若，则______. 8．______. 9．展开得______. 10．若，，则______. 三、解答题 11．已知，，用表示和 . 12．（1）计算； （2）已知，求的值． 【考点2 对数函数】 1．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 值域 性质 【即时训练】 一、单选题 1．底数为的对数函数，当真数增大时函数值（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 2．把看成，则对应的范围是（　　） A． B． C． D． 3．比较两个正数时，若以为底的对数值满足，则（　　） A． B． C． D． 4．函数的图像经过点（　　） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若函数单调递增，则底数满足______. 7．函数的定义域是______. 8．若函数在区间上的最大值与最小值之和为1，则实数________. 9．函数的定义域是 ______ 10．比较大小： ______ （填“”或“”） 三、解答题 11．已知函数且的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集. 12．已知函数且的图像经过点，求: (1)函数的解析式； (2)若不等式成立，求实数x的取值范围. 1.（2026·内蒙古·真题T14）计算：________． 2.（2026·内蒙古·真题T18）比较大小：________． 3.（2026·内蒙古·真题T10）已知函数则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 4.（2025·内蒙古·真题T03）已知函数，且，若，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 5.（2024·内蒙古·真题T13） 已知函数，若，则_________. 6.（2022·内蒙古·真题T14）若，，______． 7.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. 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(1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（）将点代入函数解析式中即可得解. （）利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】（1）函数且的图象经过点， 则，即，解得， 所以. （2）函数，底数，所以在上为增函数， 不等式， 解得， 所以解集为. 12．已知函数且的图像经过点，求: (1)函数的解析式； (2)若不等式成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，将已知点代入函数解析式，求得a的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为函数且的图像经过点， 所以，所以或（舍）. 所以函数解析式为，； （2）因为，即， 因为在上单调递增， 所以，解得， 即实数x的取值范围是. 1.（2026·内蒙古·真题T14）计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的运算性质、诱导公式及特殊角的三角函数的值计算即可. 【详解】 . 故答案为：0. 2.（2026·内蒙古·真题T18）比较大小：________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定两个对数有意义的公共定义域，再根据自然对数的单调性比较真数大小，即可得到两个对数的大小关系 【详解】要使和有意义， 则，解得， 因为在上为增函数， 当时，，， 所以，则， 故答案为：. 3.（2026·内蒙古·真题T10）已知函数则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论当和时，列出方程即可得解. 【详解】函数，且， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以解集为， 故选： . 4.（2025·内蒙古·真题T03）已知函数，且，若，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件列出等式，再进行计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 因为，所以，进而. 故选：C. 5.（2024·内蒙古·真题T13） 已知函数，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域、对数的运算及函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数，所以， 此不等式等价于，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以. 故答案为：. 6.（2022·内蒙古·真题T14）若，，______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数定义及指数的运算即可得解. 【详解】，. 所以. 故答案为：. 7.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $