专题9 对数及对数函数（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以内蒙古对口招生考情为导向，采用支架式教学理念，构建“对数概念-对数函数性质”递进式训练体系，通过分层题型实现从知识梳理到能力突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数|12题/考点+6真题|聚焦定义转换、运算求值，覆盖指数对数互化、运算法则应用|从对数概念生成到运算性质推导，构建“定义-性质-应用”逻辑链| |对数函数|12题/考点+6真题|突出定义域、单调性、比较大小，融合奇偶性判断与图像应用|以对数概念为基础，延伸至函数性质探究，形成“概念-图像-性质-综合应用”递进关系|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9 对数及对数函数 【考点1 对数】 一、单选题 1．设，，则（   ）． A． B．2 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据指数式与对数式的转化关系求解即可. 【详解】，， 所以． 故选：A. 2．已知函数，且，则（   ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】将代入函数的解析式中得出，再将代入解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 因为，则 ， 所以，即， 所以， 故选：A. 3．（   ） A．0 B．1 C．10 D． 【答案】B 【分析】根据对数运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 4．已知，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．10 【答案】A 【分析】根据对数的定义求出，结合对数的运算公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 5．计算的值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据对数的运算来化简各个部分，再求解. 【详解】 . 故选：C. 二、填空题 6．________ 【答案】 【分析】根据对数运算法则化简求值和指数求值易得答案. 【详解】原式. 故答案为:. 7．计算________. 【答案】0 【分析】根据对数、指数运算法则计算即可. 【详解】 原式 故答案为：0 8．计算：________． 【答案】 【分析】运用指数幂的运算和对数的运算法则求解. 【详解】原式. 故答案为：. 9．计算：_______． 【答案】 【分析】根据指数幂及对数的运算法则求解即可. 【详解】，， 所以. 故答案为：. 10．________ 【答案】 【分析】由对数的运算法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 三、解答题 11．设，求和. 【答案】， 【分析】根据对数的运算性质进行化简计算即可. 【详解】， . 12．已知和是关于的一元二次方程的两个根，而关于的方程有两个相等的实数根，求实数，和的值. 【答案】 【分析】根据题意，结合韦达定理可得，结合一元二次方程根的判别式，可求得a的值，继而求得b的值，结合对数的运算，即可求得m的值. 【详解】因为和是关于的一元二次方程的两个根， 所以， 因为关于的方程有两个相等的实数根， 所以， 即，解得， 又， 所以，解得， 所以. 【考点2 对数函数】 一、单选题 1．式子的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】， 故选：A 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的定义域即可求解. 【详解】，则，即. 故选：A. 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数型函数的定义即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 故函数的定义域为. 故选：C 4．已知，，，其中，，则下列各式中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，可得出，，从而得出的大小关系，得到答案. 【详解】由题意，因为，， ∴在定义域R上单调递增， 在定义域R上单调递减， 所以，， 所以， 又因为在定义域上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 5．，，，，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数求出取值范围和指数函数的单调性比较函数值大小易得答案. 【详解】因为，， 函数在定义域上单调递减， 所以， 函数在定义域上为单调递增， 所以， 所以. 故选：C. 二、填空题 6．函数的定义域是，若在定义域上的最大值比最小值大1，则__________． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性以及对数的运算求解即可. 【详解】因为函数， 所以函数在定义域上单调递减， 所以函数的最大值为， 最小值为， 因为在定义域上的最大值比最小值大1， 所以， 所以解得. 故答案为：. 7．函数的定义域是________． 【答案】 【分析】由定义域的定义,被开方数为非负数及对数函数的定义与性质即可得解. 【详解】由题意可知. 解得. 所以定义域为. 故答案为:. 8．已知，，，则a、b、c的大小关系：________． 【答案】 【分析】由指数的运算和对数函数单调性比大小即可得解. 【详解】因为，所以， ，所以， 因为，且，所以， ， 所以. 故答案为：. 9．已知函数且的图象经过点则_______. 【答案】/ 【分析】将已知点代入，利用对数的运算可求解. 【详解】由题可得， ，解得. 故答案为： 10．已知函数（，且）的图像恒过定点P，则点P的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据对数型函数的图像及性质，令，可得，代入求出的值即可. 【详解】根据题意，令，可得， 代入可得， 所以函数图像恒过定点， 故答案为： 三、解答题 11．求下列函数的定义域： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】（1）对于， 有，解得，即或， 所以的定义域为. （2）对于， 有，解得， 所以的定义域为. 12．已知函数的定义域为，且． (1)求a的值； (2)求m的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数值即可求解底数. （2）根据定义域为，进而列出不等式求解即可. 【详解】（1）且． ， （2）的定义域为， 恒成立，即，得． 所以m的取值集合为. 【考点1 对数】 一、单选题 1．将对数式写成指数式正确的是（   ） A．. B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数式与对数式转化直接求解. 【详解】对数式化成指数式为：. 故选：A. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数式化为指数式，可得，再根据指数幂的运算可得结果. 【详解】， . 故原式. 故选：C 3．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质直接计算即可. 【详解】. 故选:B. 4．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．化为对数式是 B．化为指数式是 C．化为对数式是 D．化为对数式是 【答案】C 【分析】根据指数式和对数式的互化规则可判断结果. 【详解】根据指数式与对数式的互化规则可知， C选项，对数式是，符合互化规则， A选项，化为对数式是， B选项，化为指数式是， D选项，化为对数式是. 故选：C 5．，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．16 【答案】D 【分析】根据指对互化即可解决. 【详解】 故选：D． 二、填空题 6．______． 【答案】3 【分析】由对数的运算即可得解. 【详解】. 故答案为：3. 7．计算：________. 【答案】1 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：1. 8．已知指数函数的图象过点，则_______ 【答案】3 【分析】先根据指数函数图象过的点求出底数 的值，再计算. 【详解】由题意得，则，且，， 所以，则. 故答案为：3. 9．若，，则________． 【答案】 【分析】利用指数运算的性质，将已知的两个指数式相除，消去底数后得到一个新的指数式，再根据指数与对数的关系求出结果. 由，， 则，即， 则． 故答案为：. 10．计算：___________． 【答案】0 【分析】根据对数的运算性质以及指数幂的运算求解即可. 【详解】． 故答案为：0. 三、解答题 11．已知，，，用，，表示 【答案】. 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】， 所以用，，表示为. 12．设，求的值. 【答案】1. 【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可得解. 【详解】由，得，， 由换底公式得，， ． 【考点2 对数函数】 一、单选题 1．下列命题正确的是（   ） A．函数与是同一函数 B．若，，则 C．函数是奇函数 D．若，则 【答案】C 【分析】根据相等函数的判断、对数函数的性质、奇函数的判定，即可求解. 【详解】对于A：函数的定义域为，值域为， 函数的定义域为，值域为， 因为函数与的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B：由，则函数在上单调减， 若成立，则，故B错误； 对于C：函数有意义，则， 等价于，解得， 即函数的定义域为关于原点对称， 所以， 即，即函数为奇函数，故C正确； 对于D：由，则函数在上单调递减， 所以，即，故D错误. 故选：C. 2．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性并结合中间值0和1比大小即可. 【详解】因为在上为减函数，所以； 又在上为增函数，所以； 又在上为减函数，所以. 所以． 故选：B 3．函数的定义域是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数及二次根式的性质求出函数定义域即可得解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以定义域为， 故选：. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可比较大小. 【详解】； ； . 所以， 故选：B 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数式中的对数的真数大于零，偶次根式的被开方数为非负数，列不等式组可求解. 【详解】由得 解得. 所以函数的定义域为. 故选：C 二、填空题 6．函数的定义域为__________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 【详解】要使函数有意义， 则需使， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7．已知_____. 【答案】 【分析】根据对数的定义进行求解. 【详解】因为， 所以，即， 解得. 故答案为： 8．若，则x的值为______． 【答案】2 【分析】利用对数运算法则解对数方程即可得解. 【详解】方法一：由，可知， 故，解得． 方法二：由得，解得或． 经检验，当时，对数无意义，舍去，因而x的值为2． 故答案为：. 9．函数的定义域为________. 【答案】 【分析】根据对数函数的真数大于0进行求解. 【详解】∵函数， ∴，化简为， 解得，即. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 10．函数的图象恒过点_______________. 【答案】 【分析】利用对数函数的性质求解. 【详解】对于函数， 令，即，此时， 因此，函数的图象恒过点. 故答案为：. 三、解答题 11．已知函数， (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）先表示出的函数解析式，并求出函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断即可. （2）根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数，， ， 若有意义，则有，解得， 则有，解得， 所以函数的定义域为． 任取，都有， ， 所以函数在为奇函数． （2）由题意可知， 即，又函数在内为增函数， 所以，解得， 解得， 所以不等式的解为． 12．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)证明：在上为增函数； (3)若，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义在上的奇函数有，将其代入中求值即可. （2）根据函数单调性的定义结合指数幂的运算法则证明即可. （3）根据函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）由于是上的奇函数，且， 则，即 解得. （2）证明：设，，且， 则 由得，且，， 所以，即， 所以在上为增函数. （3）若，则， 又为上的奇函数，即， 由（2）得为上增函数， 可得，即， 由为增函数，可得， 即t的取值范围为. 1.（2026·内蒙古·真题T14）计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的运算性质、诱导公式及特殊角的三角函数的值计算即可. 【详解】 . 故答案为：0. 2.（2026·内蒙古·真题T18）比较大小：________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定两个对数有意义的公共定义域，再根据自然对数的单调性比较真数大小，即可得到两个对数的大小关系 【详解】要使和有意义， 则，解得， 因为在上为增函数， 当时，，， 所以，则， 故答案为：. 3.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则，代入计算即可. 【详解】函数，且， ，则， . 故答案为：. 4.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的定义可得列式求出a的值，由此可得函数的解析式即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以得，解得， 所以．则. 故选：D. 5.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与幂函数单调性，结合特值依次判断即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，即，， 因为，， 所以，即. 所以. 故选：D 6.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9 对数及对数函数 【考点1 对数】 一、单选题 1．设，，则（   ）． A． B．2 C．5 D．7 2．已知函数，且，则（   ） A．0 B．3 C． D．2 3．（   ） A．0 B．1 C．10 D． 4．已知，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．10 5．计算的值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 6．________ 7．计算________. 8．计算：________． 9．计算：_______． 10．________ 三、解答题 11．设，求和. 12．已知和是关于的一元二次方程的两个根，而关于的方程有两个相等的实数根，求实数，和的值. 【考点2 对数函数】 一、单选题 1．式子的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，其中，，则下列各式中正确的是（    ）. A． B． C． D． 5．，，，，，的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．函数的定义域是，若在定义域上的最大值比最小值大1，则__________． 7．函数的定义域是________． 8．已知，，，则a、b、c的大小关系：________． 9．已知函数且的图象经过点则_______. 10．已知函数（，且）的图像恒过定点P，则点P的坐标是_____． 三、解答题 11．求下列函数的定义域： (1) (2) 12．已知函数的定义域为，且． (1)求a的值； (2)求m的取值集合． 【考点1 对数】 一、单选题 1．将对数式写成指数式正确的是（   ） A．. B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．的值为（    ） A． B． C． D． 4．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．化为对数式是 B．化为指数式是 C．化为对数式是 D．化为对数式是 5．，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．16 二、填空题 6．______． 7．计算：________. 8．已知指数函数的图象过点，则_______ 9．若，，则________． 10．计算：___________． 三、解答题 11．已知，，，用，，表示 12．设，求的值. 【考点2 对数函数】 一、单选题 1．下列命题正确的是（   ） A．函数与是同一函数 B．若，，则 C．函数是奇函数 D．若，则 2．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．函数的定义域是（   ）. A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．函数的定义域为__________.（用区间表示） 7．已知_____. 8．若，则x的值为______． 9．函数的定义域为________. 10．函数的图象恒过点_______________. 三、解答题 11．已知函数， (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解． 12．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)证明：在上为增函数； (3)若，求实数t的取值范围. 1.（2026·内蒙古·真题T14）计算：________． 2.（2026·内蒙古·真题T18）比较大小：________． 3.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 4.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $