专题8 指数幂与指数函数（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以内蒙古对口招生考情为导向，通过支架式教学构建指数幂与指数函数从概念到应用的完整进阶路径，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数指数幂|单选10题+填空10题+解答4题|聚焦概念辨析与运算化简，覆盖根式与分数指数幂互化、混合运算|从指数幂定义到运算性质，形成“概念-性质-运算”逻辑链| |指数函数|单选10题+填空10题+解答4题|突出单调性、定点、值域等核心性质，结合奇偶性与不等式应用|以指数函数定义为起点，延伸至图像性质及综合应用，衔接指数幂基础| |真题再现|6题|精选近4年内蒙古真题，覆盖高频考点如比较大小、函数求值|强化考点与考法对应，体现从基础到应试的能力迁移|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题8 指数幂与指数函数 【考点1 实数指数幂】 一、单选题 1．当时，（　　） A． B． C． D． 2．若，则（　　） A． B． C． D． 3．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，下列式子中，表示的分数指数幂形式的是（    ） A． B． C． D． 5．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，化简______. 7．若，则 ______. 8．______. 9．已知，将根式写成分数指数幂的形式是：________. 10．已知，，则____________． 三、解答题 11．（1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 12．已知，求的值 【考点2 指数函数】 一、单选题 1．观察底数 ，当 增大时， 的函数值（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．无单调性 2．若，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．若 ，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 4．指数函数且在上是减函数，满足的条件是（    ） A． B． C． D．任意实数 5．已知，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若函数 单调递增，则底数 满足______. 7．若指数函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 8．函数的图象恒过定点__________. 9．若指数函数在上单调递减，则__________. 10．已知函数的定义域和值域都是，则__________. 三、解答题 11．已知指数函数 且 的图象经过点 . (1)求的值； (2)判断在上的单调性. 12．已知函数是定义在上的奇函数．求： (1)实数的值； (2)不等式的解集． 【考点1 实数指数幂】 一、单选题 1．计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．的运算结果是（    ） A．5 B． C．25 D． 3．计算的结果是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知，，则 （     ） A． B． C． D． 5．化简的结果为（     ） A．a B． C． D． 二、填空题 6．_____. 7．计算：____________． 8．求值：__________. 9．计算：___________． 10．计算___________. 三、计算题 11．计算（式中字母均为正数）： (1) ； (2) . 12．计算： (1) (2) 【考点2 指数函数】 一、单选题 1．函数（且）恒过定点（   ） A． B． C． D． 2．已知函数（，且），若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图像经过，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．下列函数在其定义域内是偶函数，且在区间内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．函数恒满足，定义域为R，当时，则下述正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．当时，函数的值域为_________. 7．已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 8．已知定义在上的函数满足，当时，，则_________． 9．已知函数，则__________． 10．已知函数（且），若，则__________. 三、解答题 11．已知，求适合此条件的实数的集合. 12．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性. 1.（2026·内蒙古·真题T14）计算：________． 2.（2026·内蒙古·真题T18）比较大小：________． 3.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 4.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题8 指数幂与指数函数 【考点1 实数指数幂】 一、单选题 1．当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】当时，. 故选：. 2．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，则. 故选：. 3．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，即可求解. 【详解】. 故选：B. 4．已知，下列式子中，表示的分数指数幂形式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 5．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算化简即可； 【详解】 . 故选：C 二、填空题 6．若，化简______. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】若，. 故答案为：. 7．若，则 ______. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】若，则. 故答案为：. 8．______. 【答案】4 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】. 故答案为：. 9．已知，将根式写成分数指数幂的形式是：________. 【答案】 【分析】根据分数指数幂的转化法则即可得出结果. 【详解】已知，将根式写成分数指数幂的形式为. 故答案为：. 10．已知，，则____________． 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】已知，， 则，， 所以， 故答案为：. 三、解答题 11．（1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）. 【分析】（1）根据分数指数幂运算的性质化简可得； （2）对进行平方，结合完全平方公式和立方和公式可求出结果． （1）原式 （2）（i）因为， 所以， 因此：. （ii）由，得， 故， 又， 故． 12．已知，求的值 【答案】 【分析】根据根式和绝对值的意义求出x和y的值，再根据根式的计算运算即可. 【详解】因为， 所以且， 即， 代入得到， 将和代入得到， 计算得到. 【考点2 指数函数】 一、单选题 1．观察底数 ，当 增大时， 的函数值（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．无单调性 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】底数 ，指数函数 单调递减. 所以当 增大时， 的函数值单调递减. 故选：B. 2．若，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】函数是底数为2的指数函数，底数， 因此在全体实数范围内是严格单调递增的函数. 因为，所以. 故选：A. 3．若 ，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】指数函数，当时是减函数，所以. 故选：C. 4．指数函数且在上是减函数，满足的条件是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性由底数决定即可解答. 【详解】指数函数且在上是减函数 所以， 故选：B. 5．已知，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】指数函数，底数，所以函数为增函数， 则，即， 故选：. 二、填空题 6．若函数 单调递增，则底数 满足______. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】若函数 单调递增，则底数 满足. 故答案为：. 7．若指数函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】已知指数函数在R上单调递增，则，解得. 即a的取值范围是 故答案为： 8．函数的图象恒过定点__________. 【答案】 【分析】令指数部分等于0求出的值即可得到定点. 【详解】令指数部分，得，此时， 因此函数恒过定点. 故答案为：. 9．若指数函数在上单调递减，则__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性，列出不等式求解. 【详解】若指数函数在上单调递减， 则需满足， 即，解得， 所以. 故答案为：. 10．已知函数的定义域和值域都是，则__________. 【答案】或 【分析】因为函数，讨论和，根据函数的单调性，即可求得答案. ①当时，根据指数函数单调可知:是单调递增函数， 此时单调递增， 可得:，解得 ，即 解得:. ②当时，根据指数函数单调可知:是单调递减函数， 此时单调递减， 可得:，解得: ，即 解得:. 综上所述，或 故答案为:或. 三、解答题 11．已知指数函数 且 的图象经过点 . (1)求的值； (2)判断在上的单调性. 【答案】(1) (2)减函数 【分析】（1）根据题意将点代入即可； （2）根据指数函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为指数函数 的图象经过点 ， 将点代入函数解析式得：， 因为 且 ， 所以； （2）指数函数的解析式为：， 因为， 所以 在上是减函数. 12．已知函数是定义在上的奇函数．求： (1)实数的值； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义在上的奇函数有，代入函数解析式求值即可. （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）已知函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 当时，定义域为， 且满足奇函数定义， 所以. （2）由（1）可得，， 则，即，因为， 两边同乘，得， 即，得， 所以，因为在上为增函数， 所以，则原不等式解集为. 【考点1 实数指数幂】 一、单选题 1．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，及根式与分数指数幂的转化，即可求解. 【详解】原式. 故选：C. 2．的运算结果是（    ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质即可得解. 【详解】，故结果为5． 故选：A. 3．计算的结果是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 4．已知，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质求解. 【详解】已知，， 则. 故选：A. 5．化简的结果为（     ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 二、填空题 6．_____. 【答案】 【分析】根据题意结合指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 7．计算：____________． 【答案】 【分析】根据根式的运算性质和实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】，又， 所以原式. 故答案为：. 8．求值：__________. 【答案】3 【分析】根据根式与指数幂的运算性质即可求解. ， 故答案为：3 9．计算：___________． 【答案】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 原式． 故答案为： 10．计算___________. 【答案】3 【分析】利用根式的化简及指数幂的运算，即可求得答案. . 故答案为：3. 三、计算题 11．计算（式中字母均为正数）： (1) ； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数幂的运算法则计算. 【详解】（1）. （2）. 12．计算： (1) (2) 【答案】(1)13 (2)3 【分析】(1)利用指数幂的运算法则可求解； (2)利用根式的化简和指数幂的运算性质可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 【考点2 指数函数】 一、单选题 1．函数（且）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断. 【详解】令， 所以函数（且）恒过定点． 故选：C. 2．已知函数（，且），若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性可得结果. 【详解】在指数函数（，且）中，， 由可知：指数函数（，且）为减函数， 所以. 故选：A. 3．已知函数的图像经过，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知点代入指数函数解析式求出底数，再代入计算的值. 【详解】指数函数的底数满足且， 因为函数图像过点，所以有： ， 结合，解得，因此函数解析式为. 则 ， 故选：C. 4．下列函数在其定义域内是偶函数，且在区间内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性以及奇偶性求解即可. 【详解】选项A，在上为偶函数，但其在上不具备单调性，不符. 选项B，的定义域为，，不是偶函数，不符. 选项C，的定义域为，且，为偶函数. 该函数是开口向上的二次函数，对称轴为，因此在内单调递增，符合. 选项D，的定义域为，，不是偶函数， 且在内单调递减，不符. 故选：C. 5．函数恒满足，定义域为R，当时，则下述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合偶函数及指数函数的性质即可得解. 【详解】函数恒满足，且定义域为R，符合偶函数的定义， 当时，底数，所以单调递增， 因为，所以，即， 故选：. 二、填空题 6．当时，函数的值域为_________. 【答案】 【解析】令，则，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 由题意，当时，函数， 令，则，此时， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 7．已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 8．已知定义在上的函数满足，当时，，则_________． 【答案】8 【分析】直接利用已知条件，逐步求解转化到已知的函数解析式的定义域范围，求解即可． 由题意得：， ，即 故答案为:8． 9．已知函数，则__________． 【答案】 【分析】将和分别代入，然后对进行化简求值. ， 故． 故答案为： 10．已知函数（且），若，则__________. 【答案】3 【分析】将代入求解即可. 【详解】∵函数（且），且， ∴， 又且，则. 故答案为：3. 三、解答题 11．已知，求适合此条件的实数的集合. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性以及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，化为. 因为函数在上单调递增，所以不等式等价于. 整理，解得：. 所以，适合此条件的实数的集合为. 12．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性. 【答案】(1)R (2)函数为奇函数，证明过程见解析. 【分析】（1）由分式有意义的条件和指数的运算求出定义域即可； （2）先判断函数的奇偶性，再进行证明即可. 【详解】（1）由于，故， 因此函数的定义域为R. （2）函数为奇函数.证明如下： 因为函数的定义域为R，关于原点对称， 所以， 故函数为奇函数. 1.（2026·内蒙古·真题T14）计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的运算性质、诱导公式及特殊角的三角函数的值计算即可. 【详解】 . 故答案为：0. 2.（2026·内蒙古·真题T18）比较大小：________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定两个对数有意义的公共定义域，再根据自然对数的单调性比较真数大小，即可得到两个对数的大小关系 【详解】要使和有意义， 则，解得， 因为在上为增函数， 当时，，， 所以，则， 故答案为：. 3.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则，代入计算即可. 【详解】函数，且， ，则， . 故答案为：. 4.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的定义可得列式求出a的值，由此可得函数的解析式即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以得，解得， 所以．则. 故选：D. 5.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与幂函数单调性，结合特值依次判断即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，即，， 因为，， 所以，即. 所以. 故选：D 6.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $