专题8 指数幂与指数函数（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 指数幂与指数函数 ( 【复习目标】 1. 理念幂的有关概念，熟练运用幂的运算法则 . 2. 理解幂函数的定义，掌握五种常见幂函数的图像和性质. 3 . 理解 指数函数的定义 . 4 . 掌握 指数函数的图像和性质，会用指数函数的图像和性质解决问题. ) 【考点1 指数幂】 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 一、单选题 1．的值是（　　） A． B． C． D． 2．若，则（　　） A． B． C． D． 3．若，则（　　） A． B． C． D． 4．若，则（　　） A． B． C． D． 5．把写成分数指数幂形式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．______. 7．化简得______. 8．写成分数指数幂为______. 9．若，则 ______. 10． ______ 三、解答题 11．已知，求： (1) (2) 12．已知，，化简下列各式： (1)； (2). 【考点2 指数函数】 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 ，a是指数函数的 ． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 奇偶性 【即时训练】 一、单选题 1．比较与的大小，正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 2．下列函数中，图像经过点，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则 与 的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．已知，，，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（   ） A． B．2或 C． D．或 二、填空题 6．比较大小：______（填>或<） 7．指数函数 的值域是 ______ 8．若函数 ，则 的值为_______ 9．已知函数（，且）的图象过点，则______. 10．已知，且，函数，若的最大值与最小值之和是5，则实数__________. 三、解答题 11．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与. 12．已知指数函数且的图像经过点， (1)求函数的解析式及函数的值域； (2)求当时的函数值. 1.（2026·内蒙古·真题T14）计算：________． 2.（2026·内蒙古·真题T18）比较大小：________． 3.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 4.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 指数幂与指数函数 ( 【复习目标】 1. 理念幂的有关概念，熟练运用幂的运算法则 . 2. 理解幂函数的定义，掌握五种常见幂函数的图像和性质. 3 . 理解 指数函数的定义 . 4 . 掌握 指数函数的图像和性质，会用指数函数的图像和性质解决问题. ) 【考点1 指数幂】 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 一、单选题 1．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】. 故选：A. 2．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】若，则， 故选：. 3．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】， 故选：A． 4．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】若，则， 故选：. 5．把写成分数指数幂形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与指数幂的互化即可得解. 【详解】把写成分数指数幂形式为. 故选：. 二、填空题 6．______. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】， 故答案为：. 7．化简得______. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】因为， 则， 故答案为：. 8．写成分数指数幂为______. 【答案】 【分析】将根式化为指数幂的形式即可得解. 【详解】写成分数指数幂为， 故答案为：. 9．若，则 ______. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，则， 故答案为：. 10． ______ 【答案】/0.5 【分析】根据指数幂的运算求解. 【详解】. 故答案为：. 三、解答题 11．已知，求： (1) (2) 【答案】(1)7 (2)47 【分析】（）将两边进行平方即可得解. （）将两边进行平方即可得解. 【详解】（1）因为， 则. （2）因为， 则. 12．已知，，化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】将根式转化为分数指数幂的形式，再利用指数幂的运算法则化简. 【详解】（1）. （2）=. 【考点2 指数函数】 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R ，a是指数函数的 底数 ． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 一、单选题 1．比较与的大小，正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数，底数， 所以函数为增函数， 因为，则. 故选：. 2．下列函数中，图像经过点，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合指数函数、二次函数的单调性即可得解. 【详解】选项，函数，将点代入函数解析式中得，等式成立， 则，底数，则在上为减函数，故不符合题意； 选项，函数，将点代入函数解析式中得，等式成立， 因为，底数，所以在上为增函数，故符合题意； 选项，函数，将点代入函数解析式中得，等式不成立，不符合题意； 选项，函数，将点代入函数解析式中得，等式成立； 因为函数图像为开口向上的抛物线，所以在上先减后增，故不符合题意， 故选：. 3．已知 ，则 与 的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为指数函数的底数为，函数在上为减函数， 又，所以. 故答案为：A. 4．已知，，，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知，，， 因为在上单调递减，且， 则，所以. 故选：B. 5．已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（   ） A． B．2或 C． D．或 【答案】D 【分析】分别讨论和两种情况，再由指数函数的单调性列方程求解即可. 【详解】已知函数， 当时，在上单调递增， 此时，， 因为，则，解得或（舍去)， 当时，在上单调递减， 此时，， 因为，则，解得或（舍去）， 故选：D. 二、填空题 6．比较大小：______（填>或<） 【答案】 【分析】借助指数函数的单调性判断指数大小即可； 【详解】函数在上为减函数（底数）， 由得. 故答案为： 7．指数函数 的值域是 ______ 【答案】 【分析】根据指数函数的解析式确定值域即可； 【详解】指数函数 的值域为 （所有正实数）. 故答案为： 8．若函数 ，则 的值为_______ 【答案】/ 【分析】根据，两两配对求值即可. 【详解】已知函数 ， ， 所以，且， 所以， 故答案为：. 9．已知函数（，且）的图象过点，则______. 【答案】2 【分析】根据指数函数经过的点即可求解. 【详解】将代入得， 故答案为：2. 10．已知，且，函数，若的最大值与最小值之和是5，则实数__________. 【答案】2 【分析】根据题意得出函数是单调函数，即可得解. 【详解】，且，函数，函数为单调函数， 因为，且在上的最大值与最小值之和是， 所以，所以，解得（舍去）或， 故答案为：. 三、解答题 11．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数函数的单调性判断指数的大小即可； 【详解】（1）函数在上为增函数（底数）， 由，得. （2）函数在上为减函数（底数）， 由，得. 12．已知指数函数且的图像经过点， (1)求函数的解析式及函数的值域； (2)求当时的函数值. 【答案】(1)；值域为 (2) 【分析】（1）根据题意，将已知点的坐标代入函数解析式，求得a的值，继而求得函数解析式，结合指数函数的值域，即可求得函数的值域； （2）根据题意结合函数解析式，将分别代入，即可求得函数值. 【详解】（1）因为指数函数且的图像经过点， 所以，又，所以， 所以函数解析式为， 因为指数函数的定义域是R，所以， 所以函数的值域是； （2）因为， 所以当时，函数值；当时，函数值； 当时，函数值. 1.（2026·内蒙古·真题T14）计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的运算性质、诱导公式及特殊角的三角函数的值计算即可. 【详解】 . 故答案为：0. 2.（2026·内蒙古·真题T18）比较大小：________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定两个对数有意义的公共定义域，再根据自然对数的单调性比较真数大小，即可得到两个对数的大小关系 【详解】要使和有意义， 则，解得， 因为在上为增函数， 当时，，， 所以，则， 故答案为：. 3.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则，代入计算即可. 【详解】函数，且， ，则， . 故答案为：. 4.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的定义可得列式求出a的值，由此可得函数的解析式即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以得，解得， 所以．则. 故选：D. 5.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与幂函数单调性，结合特值依次判断即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，即，， 因为，， 所以，即. 所以. 故选：D 6.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $