专题7 函数的奇偶性及周期性（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 基于支架式教学理念，通过分层训练构建函数奇偶性及周期性从概念理解到综合应用的完整进阶路径 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|14题|奇偶性判断、简单性质应用|概念定义→图像特征→基本性质推导| |能力提升|8题|综合证明、参数求解、单调性结合|性质应用→综合问题分析→逻辑推理| |真题再现|6题|中考高频考点（奇偶性与周期性综合）|核心考点→命题趋势→实战能力迁移|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题7 函数的奇偶性及周期性 一、单选题 1．若 ，都是奇函数， 在上有最大值，则在上有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 2．，则函数为（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．定义域为的偶函数在上单调递减，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若函数是定义在上的偶函数，则______． 10．若函数为奇函数，则________． 11．已知函数是定义在区间上的奇函数，则________________. 12．已知偶函数的定义域为R，且在上为增函数，则不等式的解集为_______． 13．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则_______． 14．已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是______ 三、证明题 15．已知函数为偶函数，且． (1)求函数的表达式； (2)判断函数在区间内的单调性，并用单调性定义证明． 16．已知函数过点和． (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 四、解答题 17．已知函数是奇函数，是偶函数，若. (1)求的解析式； (2)当时，求的值域. 18．已知函数是R上的偶函数，且在区间上单调递增，若，求实数a的取值范围. 一、单选题 1．已知点在奇函数的图像上，则下列也在该函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 2．函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 3．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 4．已知定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 5．函数在上是偶函数，且在上是增函数，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，且，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 7．对于定义在上的任何奇函数都有（   ） A． B． C． D． 8．已知函数为偶函数，且，则（   ） A． B．7 C．4 D． 二、填空题 9．已知函数的图象关于原点中心对称，则______. 10．已知函数的定义域为，且为奇函数，则的值为_______________． 11．若函数是定义在上的偶函数，则_____. 12．定义在上的奇函数，当时，，则解析式是________. 13．定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为__________. 14．已知函数为偶函数，则___________. 三、解答题 15．设. (1)求函数的表达式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 16．已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数m的取值范围. 17．已知定义在R上的函数是奇函数，是偶函数，且，求和的解析式. 18．若二次函数为偶函数，求的值. 1.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 2.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 3.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.（2023·内蒙古·真题T02）已知函数在定义域上奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5.（2022·内蒙古·真题T03）已知是定义在上的偶函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 6.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题7 函数的奇偶性及周期性 一、单选题 1．若 ，都是奇函数， 在上有最大值，则在上有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】C 【分析】设，可得为奇函数，根据函数奇偶性的性质，可得答案． 【详解】设，则， 因为 在上有最大值 ， 所以在上有最大值. 因为， 都是奇函数， 所以是奇函数. 所以在上有最小值，在上有最小值. 故选：C 2．，则函数为（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】由，令，可求得和的关系，进而求得的奇偶性. 【详解】由， 令，可得，，， 令，可得，， 即， 所以， 所以为奇函数. 故选：. 3．是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义及条件可得，然后利用单调性的定义求解即可． 【详解】∵函数为奇函数，∴， ∴由，得，即， 又在区间上单调递减， ∴，解得． ∴的取值范围是． 故选：C． 4．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性与奇偶性求解即可； 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递减， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以在时，； 在时，； 时，； 因为，则或， 解得或， 故原不等式的解集为， 故选：C 5．设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、奇偶性分析即可得出答案. 【详解】为奇函数，，故A正确； 又函数是定义在上的减函数， ，B正确； 又，，C正确； ，，D错误. 故选：D. 6．若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质将自变量转化到同一单调区间，再根据单调性比较函数值的大小. 【详解】已知是偶函数，则，可得，， 因为在上单调递减，且， 所以，即. 故选：D. 7．已知是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及代入求解即可, 【详解】因为是定义在上的奇函数，则，解得. 因为，令，则，即，解得. 因此. 故选：C. 8．定义域为的偶函数在上单调递减，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，作出函数的大致图像，结合图像即可求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，且， 所以时，；时，， 由偶函数对称性得到时，；时，， 即函数的大致图像如图所示：    又，所以或， 即或， 解得或， 故不等式的解集为. 故选：B. 二、填空题 9．若函数是定义在上的偶函数，则______． 【答案】2 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出值，利用偶函数的定义求出值即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 所以函数， 且，即， 解得，所以， 故答案为：2. 10．若函数为奇函数，则________． 【答案】 【分析】由奇函数定义，集合嵌套函数运算即可. 【详解】已知是奇函数，当，，， 且，解得， 所以， 则， 故答案为：. 11．已知函数是定义在区间上的奇函数，则________________. 【答案】 【分析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得，求出的值，代入条件检验可得结论. 【详解】由已知必有，即，或； 当时，函数即，而，在处，故舍去； 当时，函数即，此时，经检验，满足题意； . 故答案为：. 12．已知偶函数的定义域为R，且在上为增函数，则不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性分析求解即可. 【详解】因为偶函数在上为增函数, 所以函数在上为减函数， 则不等式可化为， 则有或， 解得：或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 13．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则_______． 【答案】2 【分析】根据奇偶函数性质可得答案. 【详解】由题意，是偶函数，则，是奇函数，则， 将替换为，代入，得：， 即，则 解得：故． 故答案为：2. 14．已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是______ 【答案】 【分析】根据偶函数的性质和单调性知识解不等式即可. 【详解】因为是定义域为上的偶函数，成立， 所以，， 则， 又因为在上严格减函数， 所以，平方得，解得， 所以. 故答案为： 三、证明题 15．已知函数为偶函数，且． (1)求函数的表达式； (2)判断函数在区间内的单调性，并用单调性定义证明． 【答案】(1) (2)单调递减，证明过程见详解. 【分析】（）根据偶函数的定义及，求出值即可得解. （）根据函数单调性的定义即可得解. 【详解】（1）函数为偶函数，定义域为， ，所以， 此时， ，解得， 所以. （2）函数在区间上单调递减， 证明：任取且， 则，所以， 所以函数在区间上单调递减. 16．已知函数过点和． (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)是奇函数，证明见解析 【分析】（1）将已知两点带入解析式求解即可 （2）利用奇函数和偶函数的定义即可解得 【详解】（1）将点分别代入， 得，解得. （2）为奇函数，证明如下： 函数定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数. 四、解答题 17．已知函数是奇函数，是偶函数，若. (1)求的解析式； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义构造方程组，消元法解出的解析式即可. （2）根据函数的分式型函数结构可求出其值域. 【详解】（1）解：∵是奇函数，是偶函数 ∴ 又∵① ∴ ② 由①②得: （2）.∵， ∴ 故函数的值域为. 18．已知函数是R上的偶函数，且在区间上单调递增，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性直接求实数a的取值范围. 【详解】由函数是R上的偶函数，且在区间上单调递增, 所以在区间上单调递减, 因为,, ,,即,所以. 一、单选题 1．已知点在奇函数的图像上，则下列也在该函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 已知点在函数图像上，则，那么， 所以也在该函数图像上. 故选：A. 2．函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义逐项分析即可. 【详解】已知， 则， 定义域为不关于原点对称，不是奇函数，故A错误. ， 定义域为关于原点对称， 令，则，是奇函数，故B正确. ， 定义域为不关于原点对称，不是奇函数，故C错误. ， 定义域为不关于原点对称，不是奇函数，故D错误. 故选：B. 3．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出函数，再由偶函数的定义逐一判断选项即可. 【详解】函数为， A选项，，其中，解得， ∴该函数的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数； B选项，，其中，解得， ∴该函数的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数； C选项，，其中，解得， ∴该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，则，不是偶函数； D选项，，其中恒成立， ∴该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，则，是偶函数. 故选：D. 4．已知定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由条件判断出函数的单调性，再根据函数奇偶性的性质列不等式求解即可. 【详解】∵对于任意不等实数都满足， ∴函数在上为增函数， 由偶函数的性质可得该函数在上为减函数， ∵，即， ∴，即， ∴，可转化为， 解得或， 则不等式的解集为． 故选：D. 5．函数在上是偶函数，且在上是增函数，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性求解即可. 【详解】或， 因为函数在上是偶函数，且，所以， 又因为在上是增函数，所以在上是减函数， 则，解得， ，解得， 所以的解集为. 故选：D. 6．已知函数是定义在上的奇函数，且，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据题意，结合奇函数的定义，即可求解. 【详解】， 又函数是定义在上的奇函数， ，解得. 故选：B. 7．对于定义在上的任何奇函数都有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质判断选项即可. 【详解】∵是定义在上的任何奇函数， ∴，即， A，B选项，，不确定的符号，故A，B选项错误； C，D选项，，故C选项错误，D选项正确. 故选：D. 8．已知函数为偶函数，且，则（   ） A． B．7 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质求解即可； 【详解】函数为偶函数，且，则. 故选：B. 二、填空题 9．已知函数的图象关于原点中心对称，则______. 【答案】 【分析】根据奇函数的概念求解即可. 【详解】由函数的图象关于原点中心对称，得为奇函数， 则， 即， 所以，解得. 故答案为：. 10．已知函数的定义域为，且为奇函数，则的值为_______________． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称求解. 【详解】∵函数的定义域为，且为奇函数， ∴，解得. 故答案为：. 11．若函数是定义在上的偶函数，则_____. 【答案】1 【分析】利用奇偶函数的定义与性质，结合的解析式列式即可求解. 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，解得，. 故答案为：1. 12．定义在上的奇函数，当时，，则解析式是________. 【答案】 【分析】根据时，，代入，结合函数奇偶性即可求解. 【详解】当时，，所以， 由于为奇函数，所以， 故， 故答案为: 13．定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为__________. 【答案】1 【分析】由奇函数的性质以及周期性代入即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：1. 14．已知函数为偶函数，则___________. 【答案】/0.5 【分析】先提取公因式后将原函数为偶函数转化为为奇函数，利用求得的值，再利用奇函数定义进行验证即得. 【详解】因函数在R上为偶函数，且是奇函数， 故在R上为奇函数，则，解得； 验证：当时，，， 由可得为奇函数， 故是偶函数. 故答案为：． 三、解答题 15．设. (1)求函数的表达式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见详解 【分析】（1）先令，再代入解析式即可求解. （2）根据函数奇偶性的定义即可求解. 【详解】（1）令，则. 所以. 则. （2）由（1）得，，定义为. 因为. 所以是偶函数. 16．已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性解抽象不等式，从而得解. 【详解】因为是奇函数， 则由已知可得， 又是上的减函数， 所以，即， 所以m取值范围为. 17．已知定义在R上的函数是奇函数，是偶函数，且，求和的解析式. 【答案】， 【分析】将代入已知等式，利用函数、的奇偶性，得到关于与的又一个方程，将二者看做未知数解方程组，即可求解． 【详解】因为① 所以. 又因为是奇函数，是偶函数， 所以， 从而上式可化为② 联立①②可得 ，. 18．若二次函数为偶函数，求的值. 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求出，再由函数解析式求函数值即可. 【详解】二次函数为偶函数，则， 定义域为，关于原点对称， 且，即， 整理可得， 因为上式对任意均成立，故， 所以，则. 1.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 2.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 3.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值和对称轴，结合二次函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】已知函数， 所以该函数的对称轴为，且图象开口向上，最小值为， 所以，则， 又，且与关于对称轴对称， 所以，且在上单调递增， 又闭区间上有最大值3，所以， 则的取值范围是. 故选：D. 4.（2023·内蒙古·真题T02）已知函数在定义域上奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质分析，进而根据题意计算即可. 【详解】因为函数在定义域R上是奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：B. 5.（2022·内蒙古·真题T03）已知是定义在上的偶函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的概念及二次函数的性质求解． 【详解】由题意，函数的定义域关于原点对称，则，得，∴， ∵是偶函数，∴它的图像关于对称， ∴，即，∴． 故选：A． 6.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及条件可得，然后利用单调性的定义求解即可． 【详解】∵函数为奇函数，∴， ∴由，得，即， 又在区间上单调递减， ∴，解得． ∴的取值范围是． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $