专题7 函数的奇偶性及周期性（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的奇偶性及周期性 ( 【复习目标】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性 . 2. 掌握奇偶函数的图像性质，会用其解决有关问题. 3 . 理解函数周期性的概念，并会求函数的周期 . ) 【考点1 函数的奇偶性】 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 一、单选题 1．已知函数在上是奇函数，且，，则（    ）. A． B． C． D．无法比较和的大小 2．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 3．已知偶函数的定义域为，在区间上为减函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中,既是偶函数,又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．若偶函数在上是减函数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知是奇函数，且时，，则________. 7．已知一个函数为奇函数，若时，则时_______ 8．函数的奇偶性为______. 9．已知定义在区间上的函数为偶函数，则__________. 10．已知是奇函数，是偶函数，且，则__________． 三、解答题 11．根据函数的图像回答下列问题：    (1)分别写出，，的值； (2)写出函数的单调区间； (3)写出函数的定义域； (4)函数的值域． 12．已知函数，且 (1)求a，b的值，并写出函数的解析式 (2)用定义法判断函数的奇偶性 【考点2 函数的周期性】 1．周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即时训练】 1．下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 2．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 3．若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 4．已知偶函数的定义域为R，当时，满足，当时，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=（       ） A． B． C．0 D． 6．已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 9．设是定义在上的周期为6的偶函数，且在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 10．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 1.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 2.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 3.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.（2023·内蒙古·真题T02）已知函数在定义域上奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5.（2022·内蒙古·真题T03）已知是定义在上的偶函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 6.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的奇偶性及周期性 ( 【复习目标】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性 . 2. 掌握奇偶函数的图像性质，会用其解决有关问题. 3 . 理解函数周期性的概念，并会求函数的周期 . ) 【考点1 函数的奇偶性】 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 一、单选题 1．已知函数在上是奇函数，且，，则（    ）. A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质及，，可得的值. 【详解】∵函数在上是奇函数， ∴， ∵，， ∴ ， 所以， 故选：B. 2．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断. 【详解】函数，定义域为，关于原点对称， ，，则为偶函数； ，，则不是奇函数； 综上函数是偶函数； 故选：B. 3．已知偶函数的定义域为，在区间上为减函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性以及奇偶性，即可求解. 【详解】由题意知函数为偶函数， 所以， 又因为在区间上为减函数，且， 所以. 故选：A. 4．下列函数中,既是偶函数,又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数增减性，奇偶性的判定方法，即可求解. 【详解】A选项为奇函数，B、D选项为非奇非偶函数，不合题意； C选项为二次函数，图像开口向下，对称轴为y轴，所以为偶函数，且在上单调递减符合题意. 故选：C 5．若偶函数在上是减函数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由函数的奇偶性可知，，再由函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知偶函数在上是减函数， 所以，，且， 选项A，,故A错误； 选项B，则，故B错误， 选项C、D，，故C错误，D正确. 故选：D. 二、填空题 6．已知是奇函数，且时，，则________. 【答案】 【分析】根据函数为奇函数，得到，然后计算即可. 【详解】由题可知：是奇函数，且时， 所以 故答案为： 7．已知一个函数为奇函数，若时，则时_______ 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】∵函数为奇函数,且， ∴， 故答案为：. 8．函数的奇偶性为______. 【答案】奇函数 【分析】利用函数奇偶性的判断方法即可得解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称. 又， 因此是奇函数. 故答案为：奇函数. 9．已知定义在区间上的函数为偶函数，则__________. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称的性质，列式即可得解. 【详解】因为定义在区间上的函数为偶函数， 所以，解得. 故答案为：. 10．已知是奇函数，是偶函数，且，则__________． 【答案】 【分析】利用函数奇偶性的性质即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以，； 是偶函数，所以，， 所以， 故答案为：. 三、解答题 11．根据函数的图像回答下列问题：    (1)分别写出，，的值； (2)写出函数的单调区间； (3)写出函数的定义域； (4)函数的值域． 【答案】(1)，，. (2)单调增区间：，； 单调减区间：. (3)定义域为 (4)值域为 【分析】（1）根据图象直接得出，，的值； （2）根据图象判断函数的单调区间即可. （3）根据图象确定函数的定义域即可； （4）根据图象求函数的值域即可. 【详解】（1）根据图像可得，，； （2）根据图像可得函数的单调增区间为：，； 单调减区间为：. （3）根据图象可得定义域为. （4）根据图象可得值域为. 12．已知函数，且 (1)求a，b的值，并写出函数的解析式 (2)用定义法判断函数的奇偶性 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）根据待定系数法即可求解. （2）根据函数奇偶性的定义即可求解. 【详解】（1）函数， 由题意得， ，解得. 所以. （2）由（1）得，，则定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数. 【考点2 函数的周期性】 1．周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即时训练】 1．下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数，不是周期函数， 故选：C. 2．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【解析】因为函数是周期为2的周期函数， 所以为的周期，即， 所以， 故选：A. 3．若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题知是上周期为的奇函数， 所以有， ， 故， 故选：D. 4．已知偶函数的定义域为R，当时，满足，当时，，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的周期性和奇偶性，即可求解. 【详解】因为当时，函数满足， 所以当时，函数是周期为4的函数， ， 又函数是定义域为R的偶函数，当时，， 所以， 所以. 故选：C． 5．已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=（       ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数的周期性和奇函数的定义，结合题意即可求解. 【解析】对任意，都有， 函数为周期为6的周期函数， ， 又函数为奇函数，且， ， 故选：A． 6．已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】， ，， ， 故选：A. 7．已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足对， 所以函数的最小正周期为， 又时，， 因此， 故选：C. 8．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】函数是定义在上周期为4的奇函数, , 又, 所以， 故选：A. 9．设是定义在上的周期为6的偶函数，且在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的周期性、奇偶性、单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的周期为6的偶函数， 所以，，， 又函数在上是减函数， 所以，即. 故选：C. 10．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 【答案】, 【解析】解:由题意可知,; ． 1.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 2.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 3.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值和对称轴，结合二次函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】已知函数， 所以该函数的对称轴为，且图象开口向上，最小值为， 所以，则， 又，且与关于对称轴对称， 所以，且在上单调递增， 又闭区间上有最大值3，所以， 则的取值范围是. 故选：D. 4.（2023·内蒙古·真题T02）已知函数在定义域上奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质分析，进而根据题意计算即可. 【详解】因为函数在定义域R上是奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：B. 5.（2022·内蒙古·真题T03）已知是定义在上的偶函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的概念及二次函数的性质求解． 【详解】由题意，函数的定义域关于原点对称，则，得，∴， ∵是偶函数，∴它的图像关于对称， ∴，即，∴． 故选：A． 6.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及条件可得，然后利用单调性的定义求解即可． 【详解】∵函数为奇函数，∴， ∴由，得，即， 又在区间上单调递减， ∴，解得． ∴的取值范围是． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $