专题6 函数的单调性及最值（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过体系化专题清单与分层训练，构建函数单调性及最值从概念理解到综合应用的完整进阶路径，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|单选10题/填空10题|单调性判断、参数范围求解、最值计算|从单调性定义出发，构建"概念理解-性质应用"逻辑链| |能力提升|解答题4题|单调性证明、含参函数最值讨论|结合函数解析式特征，深化"性质分析-问题解决"推理过程| |真题演练|3道中考真题|实际情境中的单调性应用|对接中考命题趋势，强化"知识迁移-综合表达"应用意识|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题6 函数的单调性及最值 一、单选题 1．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴、开口方向和单调性即可求解. 【详解】函数为二次函数，对称轴为， 图象开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增， 因为函数在上为减函数， 所以，得. 故选：C. 2．若函数在上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性的定义，结合题意即可求解． 【详解】因为函数在上是增函数，且， 所以， 即， 所以， 即实数的取值范围是． 故选：C． 3．函数在上的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】反比例函数，当时，随的增大而减小， 函数可看作是由向右平移个单位得到的， 所以函数在上单调递减， 则时，当时，函数取得最小值，且最小值为. 故选：B. 4．已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性的定义求解即可. 【详解】由题意可得在上单调递减， 若可得. 故选：D. 5．已知函数是定义在上的增函数，则与的关系为（    ） A． B． C． D．与的值有关 【答案】A 【分析】根据增函数的定义，要比较与的关系，需要比较与的大小关系即可. 【详解】， ， 又是定义在上的增函数， . 故选：A. 二、填空题 6．若在上是减函数，则的解集为______. 【答案】 【分析】由函数的单调性转化不等式即可得解. 【详解】因为在上是减函数，且， 所以，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 7．已知函数在区间上是单调递减函数， 则_______.（填""， “"或""） 【答案】 【分析】根据函数单调性的定义可得结果. 【详解】因为函数在区间上是单调递减函数，且， 所以. 故答案为：. 8．已知函数为上的增函数，若，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【分析】根据函数的定义域以及单调性求解即可. 【详解】因为函数为上的增函数， 所以由可得. 不等式，解得或. 不等式，即，解得或. 不等式，解得. 即不等式组的解集为. 故答案为：. 9．二次函数，的最大值是______． 【答案】2 【分析】根据二次函数的性质求最值. 【详解】，函数对称轴为, 所以 即时，函数最大值是2. 故答案为：2. 10．已知函数，则______；的单调增区间______． 【答案】 3 【分析】根据函数解析式求值，分别确定两段的单调性，然后合并可得． 【详解】， 时，单调递增， 时，，在上递增，又， 所以的增区间是． 故答案为：3；． 三、解答题 11．已知函数，. (1)求函数的表达式； (2)判断函数在区间的单调性，并说明理由. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，结合函数解析式及函数值，代入即可求解； （2）根据题意，结合函数单调性的概念，即可判断求解. 【详解】（1）因为函数， 所以， 又，即，解得， 所以函数表达式为； （2）函数在上单调递增，理由如下： 由（1）得， 任取，且， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 12．已知函数，其中m为常数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； (2)若，都有，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象的性质，判断对称轴的范围，从而确定m的取值范围. （2）根据二次函数值恒大于零，判断，从而确定m的取值范围. 【详解】（1）因为函数为二次函数，开口向上，对称轴为， 又因为函数在区间上单调递减， 所以对称轴大于等于，即，解得， 故的取值范围为：. （2）因为，都有， 所以， 解得：， 故的取值范围为. 一、单选题 1．下列选项中，在定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几个常见函数的性质即可求解. 【详解】一次函数， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 故A错误，B正确； C选项为二次函数，定义域为R，图像开口向上，对称轴为y轴， 在单调递减，在单调递增，故错误； D选项为反比例函数，定义域为，在单调递减，在单调递减，故错误. 故选：B 2．函数有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值1 D．最大值1 【答案】A 【分析】分类讨论去绝对值求分段函数值域即可解得. 【详解】由题，当，即时，， 当，即时，， 故函数有最小值，无最大值. 故选：A. 3．如果函数在R上单调递减，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由减函数的概念计算即可. 【详解】因为函数在R上单调递减， 所以对，有， 因为， 所以， 解得， 所以a的取值范围. 故选:D. 4．已知在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义结合已知条件即可求解. 【详解】由是定义在上的减函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 5．函数在区间的最大值与最小值分别是（    ）. A．0 和 B．5和 C．0 和 D．5 和0 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，确定极值点，结合闭区间端点的函数值来求解最值. 【详解】函数开口向上，对称轴为. 当时，. 当时，. 当时，， 所以最大值是5，最小值是. 故选：B. 二、填空题 6．函数的最小值是______． 【答案】/ 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得， ， 函数图象开口向上，且对称轴为， 当时，取最小值， 最小值为. 故答案为：. 7．若 且 ，则 与 的关系为______. 【答案】 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由得， ， 则， 因为，所以， 则，所以. 故答案为：. 8．已知函数的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是_______（ 单调性 ） 【答案】增函数 【分析】根据题意，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】因为对于任意两个不相等的实数，总有成立， 所以函数为增函数. 故答案为：增函数. 9．已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先将函数拆分化简，再根据函数的单调性求解即可. 【详解】函数， ∵函数在区间上单调递减， 若在区间上单调递增， 则有，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 10．若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______，单调递减区间是______． 【答案】 ， ， 【分析】根据函数图象，可直接写出函数的单调区间，即得答案. 【详解】由函数图象可得：单调递增区间为：，； 单调递减区间为：， 故答案为：，；， 三、解答题 11．已知函数.求： (1)函数的最小值. (2)函数在上的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据二次函数顶点式确定最值即可. （2）根据二次函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）已知函数， 且，图像开口向上， 所以当时，， 所以函数的最小值为1. （2）由（1）可知， 函数对称轴为直线， 且当时，， 则当时，单调递减， 当时，单调递增， 且当时，， 当时，， 所以在上的最大值为. 12．已知二次函数的图象如图所示． (1)求的解析式； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)函数单调增区间为，单调减区间为 【分析】（1）由题设二次函数方程，根据已知对称轴和点坐标代入方程即可解得 （2）观察题中所给图像即可判断函数单调性 【详解】（1）由题，该函数为二次函数，则设 又知函数对称轴为，与轴交点为，顶点坐标 故， 解得， 故函数解析式为. （2）观察图像可知， 函数单调增区间为，单调减区间为 1.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 2.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值和对称轴，结合二次函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】已知函数， 所以该函数的对称轴为，且图象开口向上，最小值为， 所以，则， 又，且与关于对称轴对称， 所以，且在上单调递增， 又闭区间上有最大值3，所以， 则的取值范围是. 故选：D. 3.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及条件可得，然后利用单调性的定义求解即可． 【详解】∵函数为奇函数，∴， ∴由，得，即， 又在区间上单调递减， ∴，解得． ∴的取值范围是． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题6 函数的单调性及最值 一、单选题 1．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 3．函数在上的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的增函数，则与的关系为（    ） A． B． C． D．与的值有关 二、填空题 6．若在上是减函数，则的解集为______. 7．已知函数在区间上是单调递减函数， 则_______.（填""， “"或""） 8．已知函数为上的增函数，若，则实数的取值范围为_____ 9．二次函数，的最大值是______． 10．已知函数，则______；的单调增区间______． 三、解答题 11．已知函数，. (1)求函数的表达式； (2)判断函数在区间的单调性，并说明理由. 12．已知函数，其中m为常数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； (2)若，都有，求实数m的取值范围. 一、单选题 1．下列选项中，在定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值1 D．最大值1 3．如果函数在R上单调递减，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数在区间的最大值与最小值分别是（    ）. A．0 和 B．5和 C．0 和 D．5 和0 二、填空题 6．函数的最小值是______． 7．若 且 ，则 与 的关系为______. 8．已知函数的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是_______（ 单调性 ） 9．已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是________． 10．若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______，单调递减区间是______． 三、解答题 11．已知函数.求： (1)函数的最小值. (2)函数在上的最大值. 12．已知二次函数的图象如图所示． (1)求的解析式； (2)讨论的单调性． 1.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 2.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $