专题6 函数的单调性及最值（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 函数的单调性及最值 ( 【复习目标】 1. 理解 函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性 . 2 . 会判断所给函数的单调性，并会求函数的单调区间. 3 . 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法 . ) 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 一、单选题 1．若是上的减函数，则有（    ） A． B． C． D． 2．下列函数在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，定义域是且为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．为上的减函数，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数是上的增函数，对任意实数，，若，则有（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，则________，其单调增区间是____． 7．若函数在是减函数，则实数的取值范围为_______． 8．某月上旬，海外新冠病毒新增确诊人数发展趋势如图所示，由图可知确诊人数递减时间的区间是____________. 9．函数 在 上是 ______ 函数（填“增”或“减”）. 10．如图所示，函数的图象关于直线对称，则________.（填“”、“”或“”） 三、解答题 11．已知一次函数的图像经过点和． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明． 12．讨论下列函数在给定区间上的单调性： (1)，； (2)，． 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得 ．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 2．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 3．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 4．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 6．函数，则函数在区间内的值域为（       ） A． B． C． D． 7．如图所示为函数，的图象，下列说法正确的是（       ）    A．在上是减函数，在上是增函数 B．在上的最大值为3，最小值为 C．在上有最大值3，最小值 D．当直线与的图象有3个交点时， 8．若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 9．若函数在区间上的最大值为6，则 ． 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 1.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 2.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 函数的单调性及最值 ( 【复习目标】 1. 理解 函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性 . 2 . 会判断所给函数的单调性，并会求函数的单调区间. 3 . 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法 . ) 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 一、单选题 1．若是上的减函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数单调性即可得解. 【详解】因为是上的减函数， 所以，解得. 故选：C. 2．下列函数在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数的单调性即可解答. 【详解】中，， 所以在上是增函数，故A错误， 图象开口向上，对称轴为， 所以在上是增函数，故B错误， 图象开口向下，对称轴为， 所以在上是减函数，故C正确， 中，， 所以在上是增函数，故D错误， 故选：C. 3．下列函数中，定义域是且为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的特点判断函数的定义域及单调性. 【详解】A、定义域为，在上为减函数,不符合题意； B、定义域为，在上为增函数，符合题意； C、定义域为，在上为增函数，不符合题意； D、定义域为，但在定义域上不具有单调性，不符合题意. 故选:B. 4．为上的减函数，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数单调性，结合各个选项判断. 【详解】已知在单调递减， 选项A中，若，则，可得，该选项错误； 选项B中，若，则，可得，该选项错误； 选项C中，，即， 可得，该选项正确； 选项D中，若，则，可得，该选项错误； 故选：C. 5．已知函数是上的增函数，对任意实数，，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性即可得解. 【详解】由，可得； 因为是上的增函数， 所以， 将两个不等式左右两边分别相加，得，故A正确； 经检验，其他选项都错误. 故选：A. 二、填空题 6．已知，则________，其单调增区间是____． 【答案】 (也对) 【分析】由换元法可得的解析式；再由二次函数的单调性可得所求的单调增区间. 【详解】令 ，则 ， 所以， 所以 ，对称轴为， 所以当 为减函数, 为增函数， 综上所述, , 其单调增区间为. 故答案为：，(也对). 7．若函数在是减函数，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】由二次函数的单调性即可得解. 【详解】二次函数的对称轴为. 因为图像开口向上,所以减区间为. 由题意可知在上为减函数. 所以. 故答案为:. 8．某月上旬，海外新冠病毒新增确诊人数发展趋势如图所示，由图可知确诊人数递减时间的区间是____________. 【答案】 【分析】根据图表找到下降趋势的区间即可求解. 【详解】根据所给图表分析，当时，确诊人数递减. 故答案为：. 9．函数 在 上是 ______ 函数（填“增”或“减”）. 【答案】增 【分析】根据函数的单调性的定义即可求解. 【详解】对于函数，令， 则，即， 所以函数函数 在 上是增函数. 故答案为：增. 10．如图所示，函数的图象关于直线对称，则________.（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据函数图象的对称性及单调性即可求解. 【详解】解:由图知,在上单调递增,在上单调递减, 因为函数的图象关于直线对称, 所以 又 所以 故答案为: 三、解答题 11．已知一次函数的图像经过点和． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见详解. 【分析】（1）将所经过的点代入函数，解关于的二元一次方程组，即可求解. （2）利用函数的单调性的定义，作差后即可判断。 【详解】（1）由题，一次函数的图像经过点和， 将和代入可得， 解得. （2）函数在上的单调递增. 由（1）可知，函数的解析式为， 函数的定义域为， 证明：设且， 所以， 故函数在上单调递增. 12．讨论下列函数在给定区间上的单调性： (1)，； (2)，． 【答案】(1)在上单调递增 (2)在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）根据得到函数的单调性； （2）配方得到函数的对称轴，结合开口方向，得到函数的单调性. 【详解】（1）由于，故在上单调递增； （2）， 开口向下，对称轴为， 故当时，单调递增，当时，单调递减. 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值，即，解得舍去， 所以， 故选：B. 2．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【解析】∵，等号成立当且仅当， ∴函数的最小值是， 故选：C. 3．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【解析】函数在区间是减函数， 所以时有最大值为1，即A=1，时有最小值，即B=， 则， 故选：A. 4．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 5．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为在上单减，所以在上单减， 即在上单减， 所以f(x)的最大值为. 故选：D. 6．函数，则函数在区间内的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可解得. 【详解】由题，函数， 函数对称轴为，且函数图像为开口向上的抛物线， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则在区间内，函数的最大值为，最小值为， 故函数值域为. 故选：A. 7．如图所示为函数，的图象，下列说法正确的是（       ）    A．在上是减函数，在上是增函数 B．在上的最大值为3，最小值为 C．在上有最大值3，最小值 D．当直线与的图象有3个交点时， 【答案】C 【分析】结合函数的图象，分析其单调性与最值判断ABC，分析其与的交点判断D，从而得解. 【解析】对于A，在上是先递增后递减的函数，故A错误； 对于B，在上无最小值，故B错误； 对于C，在处取得最大值3，在处取得最小值，故C正确； 对于D，当直线与的图象有3个交点时，，故D错误. 故选：C. 8．若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【答案】A 【解析】在区间，上是增函数，最小值是， ，又为偶函数， 在，上单调递减， （5）． 即在区间，上的最小值为， 综上，在，上单调递减，且最小值为， 故选：A． 9．若函数在区间上的最大值为6，则 ． 【答案】4 【解析】函数在区间上单调递增， 于是得，解得：， 故答案为：4. 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据待定系数法求解题中二次函数解析式即可； （2）根据二次函数在定区间上的单调性求解即可. 【解析】解：（1）设二次函数为，，由题意得 解得 所以函数． （2）函数，开口向下，对称轴， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以， ． 1.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 2.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值和对称轴，结合二次函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】已知函数， 所以该函数的对称轴为，且图象开口向上，最小值为， 所以，则， 又，且与关于对称轴对称， 所以，且在上单调递增， 又闭区间上有最大值3，所以， 则的取值范围是. 故选：D. 3.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及条件可得，然后利用单调性的定义求解即可． 【详解】∵函数为奇函数，∴， ∴由，得，即， 又在区间上单调递减， ∴，解得． ∴的取值范围是． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $