专题5 函数的概念及表示（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以内蒙古对口招生考情为导向，采用支架式教学理念，通过体系化专题清单与分层训练，构建函数概念及表示从基础到应用的完整进阶路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|单选8+填空6|聚焦定义域、函数值计算、解析式判断|从函数定义出发，层层递进至概念辨析| |综合应用|解答题4+单选8|融入实际情境（如电动车销售、打印费用）|实现从数学抽象到模型应用的转化| |真题再现|9道近年真题|涵盖定义域、解析式、图像分析等高频考点|对接考情，强化知识迁移与问题解决能力|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题5 函数的概念及表示 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C．R D． 2．已知函数，则（ ） A．1 B． C． D． 3．若函数满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．函数的图像经过的点是（　　） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．电动车库存台，单价元，售出台，营业额，正确解析式（    ）. A． B． C． D． 8．函数，的图像是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若，则______. 10．若，则对应的函数值是______. 11．若，当时，______. 12．对于函数，若存在常数，使得对任意（定义域），都有，则称为“—等差函数”．若函数是“—等差函数”，则______． 13．已知函数，且，则______. 14．设函数，则________. 三、解答题 15．已知函数. (1)求； (2)若，求. 16．求函数 的定义域. 17．已知函数. (1)求，，时的函数值； (2)判断点是否在其图像上. 18．已知，且 . (1)求； (2)求. 一、单选题 1．已知的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数 的定义域为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 5．已知一次函数图像经过和，其解析式为（　　） A． B． C． D． 6．学校组织春游，全班统一乘坐大巴出发，大巴全程匀速行驶，行驶20分钟后到达加油站加油，停留10分钟，加油结束后大巴再次以原速度匀速行驶30分钟抵达目的地．设大巴行驶的总路程为（千米）与时间（分钟），则关于的函数图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．已知函数，则（     ） A． B． C．0 D．3 8．已知函数 则（   ） A．0 B．2 C． D．3 二、填空题 9．函数 的定义域为______. 10．若，当时，______. 11．已知函数，则的解集是______. 12．函数中， ______. 13．若，则 ______. 14．点集对应的一个解析式可写为______. 三、解答题 15．已知函数. (1)求； (2)若，求. 16．求下列函数的定义域． (1)； (2)． 17．某校打印资料，每份成本元，固定排版费元．设打印份的总费用为元. (1)写出关于的函数关系式； (2)求打印份时的总费用. 18．设函数，则 (1)求函数的定义域； (2)求， ，的值. 1.（2026·内蒙古·真题T05）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 3.（2023·内蒙古·真题T13）若函数定义域是，则函数的定义域是________． 4.（2022·内蒙古·真题T14）函数的定义域是______. 5.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 6.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 7.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 8.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 9.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题5 函数的概念及表示 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合具体函数求定义域，即可求解. 【详解】因为是二次函数，定义域为全体实数R. 故选：C. 2．已知函数，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将直接代入解析式即可. 【详解】因为函数，所以， 故选：D. 3．若函数满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将自变量代入即可求出参数值. 【详解】已知函数满足， 则， 故选：C 4．函数的图像经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点的坐标代入函数的解析式验证即可． 【详解】因为，所以函数的图像不经过点，A错误； 因为，所以函数的图像经过点，B正确； 因为，所以函数的图像不经过点，C错误； 因为，所以函数的图像不经过点，D错误,     故选：B. 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将自变量直接代入解析式即可求解. 【详解】已知， 则， 故选：D 6．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同一函数的概念进行分析判断即可. 【详解】选项A，函数的定义域为；函数的定义域为， 两个函数定义域不同，所以与不是同一函数； 选项B，函数的定义域为， 函数，其定义域为， 虽然两个函数定义域相同，但对应法则不同，所以与不是同一函数； 选项C，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域和对应法则都相同，所以与是同一函数； 选项D，函数与的定义域都是，但对应法则不同，所以与不是同一函数. 故选：C. 7．电动车库存台，单价元，售出台，营业额，正确解析式（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立函数模型，再由台数为自然数，不超库存确定定义域即可. 【详解】已知单价元，售出台，营业额， 且库存台，可得， 故选：C 8．函数，的图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义域，及函数的表示方法，即可求解. 【详解】因为， 所以函数的定义域是， 所以函数图像是个孤立的点，B选项正确. 故选：B. 二、填空题 9．若，则______. 【答案】 【分析】先分别求出与，再做差化简即可. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故答案为： 10．若，则对应的函数值是______. 【答案】11 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】若，则. 故答案为：11. 11．若，当时，______. 【答案】55 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】，当时，. 故答案为：55. 12．对于函数，若存在常数，使得对任意（定义域），都有，则称为“—等差函数”．若函数是“—等差函数”，则______． 【答案】0 【分析】根据题意列出方程即可得解. 【详解】，，又是—等差函数， 所以即，化简为， 因为对所有成立，则且， 解得， 故答案为：. 13．已知函数，且，则______. 【答案】 【分析】根据把代入函数，解得，再代入即可求解. 【详解】因为函数，又， 所以，则. 故答案为：. 14．设函数，则________. 【答案】4 【分析】将代入函数解析式计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：4. 三、解答题 15．已知函数. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1)7 (2)5 【分析】（1）根据题意，结合函数解析式，代入即可求解； （2）根据题意，结合函数解析式，令，即可求得自变量x的值. 【详解】（1）因为函数，所以. （2）因为，即，解得. 16．求函数 的定义域. 【答案】 【分析】求出令函数有意义的x的取值范围即可. 【详解】已知函数， 则被开方数， 分母， 得且， 故函数的定义域为. 17．已知函数. (1)求，，时的函数值； (2)判断点是否在其图像上. 【答案】(1)；； (2)在 【分析】（1）根据函数表达式计算给定自变量对应的函数值即可； （2）通过判断给定的点的坐标是否满足函数表达式来确定该点是否在函数图像上. 【详解】（1）已知函数， 所以； ； . （2）当时，， 所以点在函数的图像上. 18．已知，且 . (1)求； (2)求. 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）由代入解方程即可得出结果； （2）由（1）求得解析式，代入即可. 【详解】（1）， 由，得，解得：. （2）由（1）可知， 所以. 一、单选题 1．已知的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式函数以及抽象函数的定义域求解即可. 【详解】已知的定义域为， 要使有意义，则，解得. 为了使函数有意义，则，解得. 因此的定义域为. 故选：A. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的求法，分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为. 故选：D. 3．函数 的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0和分母不等于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数 有意义， 必须有，解得， 所以该函数的定义域为， 故选：C. 4．已知函数，则（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据抽象函数的解析式求解即可. 【详解】令，则，，所以. 故选：B. 5．已知一次函数图像经过和，其解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出一次函数解析式，然后将两点代入，列方程组即可求解. 【详解】设一次函数解析式为， 代入点和， 得， 则一次函数解析式为：， 故选：B 6．学校组织春游，全班统一乘坐大巴出发，大巴全程匀速行驶，行驶20分钟后到达加油站加油，停留10分钟，加油结束后大巴再次以原速度匀速行驶30分钟抵达目的地．设大巴行驶的总路程为（千米）与时间（分钟），则关于的函数图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据路程与时间的关系分析即可求解. 【详解】大巴全程匀速行驶，行驶20分钟,随着时间增加路程也增加，所以图像上升. 在途中加油停留10分钟，随着时间增加，路程不变，故图像为水平线段. 加油结束后大巴再次以原速度匀速行驶30分钟抵达目的地，随着时间增长路程也增加，故图像上升. 故选：A. 7．已知函数，则（     ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 因为，所以 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 故选：B. 8．已知函数 则（   ） A．0 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 因为，则， 故选：B. 二、填空题 9．函数 的定义域为______. 【答案】 【分析】分母不能为，即可求出定义域. 【详解】要使函数 有意义， 则，所以定义域为， 故答案为： 10．若，当时，______. 【答案】160 【分析】根据函数的解析式代入求解即可. 【详解】已知，当时，. 故答案为：. 11．已知函数，则的解集是______. 【答案】 【分析】根据题意列出不等式即可得解. 【详解】函数， ， 解得， 故答案为：. 12．函数中， ______. 【答案】17 【分析】把代入表达式计算即可. 【详解】因为函数， 所以. 故答案为： 13．若，则 ______. 【答案】 【分析】将自变量分别代入解析式，列式计算即可求解. 【详解】已知， 则， 得， 故答案为： 14．点集对应的一个解析式可写为______. 【答案】，（答案不唯一） 【分析】观察三个点中横纵坐标的关系，即可得出解析式. 【详解】观察点集发现， 每个点的纵坐标都是横坐标的二倍， 三个点都满足， 因此解析式可写为：，. 故答案为：，（答案不唯一）. 三、解答题 15．已知函数. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1)5 (2)5 【分析】（1）将代入函数表达式进行计算； （2）由建立方程求解即可. 【详解】（1）函数，可得. （2）已知且， 则，解得. 16．求下列函数的定义域． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数的分母不等于零求解即可； （2）根据偶次方根的被开方数大于或等于零求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则需满足：，解得：， 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，则需满足：, 解得：，所以函数的定义域为：. 17．某校打印资料，每份成本元，固定排版费元．设打印份的总费用为元. (1)写出关于的函数关系式； (2)求打印份时的总费用. 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题目中的数量关系建立函数关系式； （2）将代入函数关系式求解即可. 【详解】（1）已知每份成本元，则打印份的费用为元， 又已知固定排版费元，打印份的总费用为元，则. （2）已知， ∴当时，（元）， 故打印份时的总费用为30元. 18．设函数，则 (1)求函数的定义域； (2)求， ，的值. 【答案】(1). (2)，， 【分析】（1）函数的定义域是各分段自变量取值范围的并集. （2）根据自变量所在区间，选择对应的函数表达式代入计算. 【详解】（1）函数的分段区间为：，， 将这些区间合并，得到函数的定义域为. （2）因为，所以. 因为，得. 因为，代入，得. 1.（2026·内蒙古·真题T05）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，分母的性质及指数幂的运算法则列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以定义域为， 故选： . 2.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令代入中整理即可. 【详解】已知，且， 令，则， 即，整理得， 故答案为：. 3.（2023·内蒙古·真题T13）若函数定义域是，则函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的定义域，再代入由指数函数的单调性求解不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， 解得， 则函数的定义域. 故答案为：. 4.（2022·内蒙古·真题T14）函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由求具体函数的定义域的解法求解即可. 【详解】因为函数为， 所以，解得， 即函数的定义域是， 故答案为:. 5.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为25，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数顶点式设解析式，代入已知点求解参数得到解析式； （2）解一元二次不等式得到   的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴判断区间单调性，求解对应区间的最值. 【小问1详解】 已知二次函数图象顶点为，设二次函数顶点式为， 将点 代入解析式得：，解得， 代入顶点式展开得：. 【小问2详解】 由题意 ，代入解析式得： ， 可得，解得， 即 的取值范围为. 【小问3详解】 二次函数的二次项系数 ，图象开口向上，对称轴为直线 . 给定区间全部位于对称轴左侧， 因此函数在上单调递减. 函数在区间左端点处取得最大值： 函数在区间右端点   处取得最小值：. 6.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】（1）. （2），日销售利润最大为元. 【解析】 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 7.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 【答案】平方米 【解析】 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 8.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不定点的定义，将两个定点代入函数即可求解 （2）根据两个相异的不动点转换成，由此构造成不等式，结合函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意， 即， 解得． 所以，. 【小问2详解】 函数总有两个相异的不动点， 即关于x的方程有两个不等根， 化简得到， 所以，即， 由题意，关于b的不等式恒成立，所以． 解得：． 9.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程的两根一正一负可以用和两根之积小于0判断解决. （2）当时，不等式恒成立，就是，由得整理不等式求解即可. 【小问1详解】 设方程有一正根和一个负根， 则 ， 解得， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 当时,不等式恒成立， 即， 因为， 所以，， 而，当且仅当时等号成立， 所以， 所以a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $