专题5 函数的概念及表示（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题5 函数的概念及表示 ( 【复习目标】 1. 理解 函数 的概念 ， 会求函数的定义域、值域、解析式 . 2. 会判断两个函数是否是相同函数. 3. 理解分段函数和复合函数的含义，并会求相应的函数值 . ) 【考点1 函数的概念】 1．函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的 值域 函数值y的集合叫做函数的 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 【即时训练】 一、单选题 1．下列说法符合函数定义的是（　　） A．一个自变量值对应两个函数值 B．每个允许的自变量值都有唯一函数值 C．函数值不能相同 D．自变量不能为负数 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D．或 3．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 5．已知函数，则（   ） A．15 B．17 C．21 D．27 二、填空题 6．已知，且，则实数___________ 7．已知函数，若，求的值______ 8．函数的定义域是________ 9．函数的图像经过点和，则函数的解析式为_____________ 10．已知函数，则  _____________. 三、解答题 11．求函数的定义域. 12．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若，求的值. 【考点2 分段、复合函数】 1．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的 ，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的 ． 【即时训练】 一、单选题 1．计算分段函数值时，首先应确定（　　） A．自变量所属范围 B．图像颜色 C．函数名称 D．题号 2．分段函数是指函数（    ） A．用一个式子定义 B．在不同范围用不同式子定义 C．没有定义域 D．只有一个函数值 3．已知函数，则（    ） A．2 B． C． D． 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．设函数，则的值为（    ） A． B． C．3 D．2 二、填空题 6．设，则______. 7．已知函数，分别由下表给出， 1 2 3 4 1 3 1 3 1 2 3 4 3 2 5 2 则的值是______． 8．设，则________. 9．已知函数则________． 10．已知函数则函数的定义域为_____.（用区间表示） 三、简答题 11．设函数 (1)求函数的定义域 (2)求的值 12．某城市的出租车按如下方法收费：行驶里程在0到3公里（含3公里）的车费10元；行驶里程超过3公里的每公里车费1.3元． (1)试写出以行驶里程（公里）为自变量，车费（元）为函数值的函数解析式． (2)某乘客的车费为16.5元，则他的行驶里程为多少公里？ 1.（2026·内蒙古·真题T05）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 3.（2023·内蒙古·真题T13）若函数定义域是，则函数的定义域是________． 4.（2022·内蒙古·真题T14）函数的定义域是______. 5.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 6.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 7.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 8.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 9.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题5 函数的概念及表示 ( 【复习目标】 1. 理解 函数 的概念 ， 会求函数的定义域、值域、解析式 . 2. 会判断两个函数是否是相同函数. 3. 理解分段函数和复合函数的含义，并会求相应的函数值 . ) 【考点1 函数的概念】 1．函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 【即时训练】 一、单选题 1．下列说法符合函数定义的是（　　） A．一个自变量值对应两个函数值 B．每个允许的自变量值都有唯一函数值 C．函数值不能相同 D．自变量不能为负数 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】函数要求每个允许的自变量值都有唯一确定的函数值，故错误，正确； 函数值可以相同，故错误； 自变量可以为负数，故错误， 故选：. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式的分母不为零的定义域规则，求解不等式即可得到结果。 【详解】函数中需，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为 对恒成立，求解即可. 【详解】函数 的定义域为， 则 对恒成立， 所以，解得 ， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】令，因为函数的定义域是，即， 所以，即，故函数的定义域是； 令，则函数的定义域是，即， 所以，即，故函数的定义域是． 故选：D. 5．已知函数，则（   ） A．15 B．17 C．21 D．27 【答案】D 【分析】根据函数的解析式求解即可. 【详解】令，则． 进而. 故选：D. 二、填空题 6．已知，且，则实数___________ 【答案】/ 【分析】根据题意利用换元法得出，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 所以，即， 因为，则，解得， 故答案为：. 7．已知函数，若，求的值______ 【答案】 【分析】将代入函数解析式中得到，再将代入函数解析式中即可得解. 【详解】函数， ， 整理得， 则， 故答案为：. 8．函数的定义域是________ 【答案】 【分析】由零次幂的底数不能为0，分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则须满足，解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 9．函数的图像经过点和，则函数的解析式为_____________ 【答案】 【分析】将两个已知点的坐标代入一次函数解析式，构建关于参数的二元一次方程组，求解参数即可. 【详解】因为函数的图像经过点和， 所以，解得：， 所以函数的解析式为：. 故答案为：. 10．已知函数，则  _____________. 【答案】1 【分析】先计算内层 ，再计算外层 即可. 【详解】因为，所以， 再代入外层，因为 ，所以 . 因此，. 故答案为：1. 三、解答题 11．求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据分式函数以及根式函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则， 解得且. 因此函数的定义域为. 12．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或55 【分析】（1）根据分式有意义的条件求解. （2）根据函数的解析式以及一元二次方程求解即可. 【详解】（1）函数的自变量应满足：，即， 所以函数的定义域是. （2）因为，所以， 化简得，， 或55． 【考点2 分段、复合函数】 1．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 【即时训练】 一、单选题 1．计算分段函数值时，首先应确定（　　） A．自变量所属范围 B．图像颜色 C．函数名称 D．题号 【答案】A 【分析】根据题意，结合分段函数的概念，即可求解. 【详解】计算分段函数值时，首先应确定自变量所属范围. 故选：A. 2．分段函数是指函数（    ） A．用一个式子定义 B．在不同范围用不同式子定义 C．没有定义域 D．只有一个函数值 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义求解即可. 【详解】分段函数在不同取值范围采用不同解析式. 故选：B. 3．已知函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义，先计算内层函数的值，再根据该值所属区间代入对应解析式计算外层函数值. 【详解】已知函数， 因为，所以，因为， ， 故选：D. 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式依次计算即可. 【详解】由题，， 则， ， ， 则， . 故选：A 5．设函数，则的值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，结合分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为函数，所以. 故选：C. 二、填空题 6．设，则______. 【答案】6 【分析】根据分段函数的解析式代数求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 7．已知函数，分别由下表给出， 1 2 3 4 1 3 1 3 1 2 3 4 3 2 5 2 则的值是______． 【答案】5 【分析】根据表格，先求，再求的值. 【详解】根据表格可知，则， 故答案为：5. 8．设，则________. 【答案】9 【分析】根据分段函数的定义，从内到外依次计算函数值即可. 【详解】. 故答案为：9 9．已知函数则________． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式计算内层的值，再将所得结果代入解析式计算外层函数值即可. 【详解】，， 又，. 故答案为：. 10．已知函数则函数的定义域为_____.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域是各段函数自变量取值范围的并集即可解答. 【详解】已知函数 所以函数的定义域为. 故答案为：. 三、简答题 11．设函数 (1)求函数的定义域 (2)求的值 【答案】(1) (2)4;3;0; 【分析】（1）根据函数的解析式求解即可. （2）根据函数的解析式，代入求解即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的定义域为. （2）因为， 所以. 12．某城市的出租车按如下方法收费：行驶里程在0到3公里（含3公里）的车费10元；行驶里程超过3公里的每公里车费1.3元． (1)试写出以行驶里程（公里）为自变量，车费（元）为函数值的函数解析式． (2)某乘客的车费为16.5元，则他的行驶里程为多少公里？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解析式应分为小于等于三公里和大于三公里两种情况，然后根据题意列出分段函数. （2）代入第二种情况的解析式即可求解. 【详解】（1）设行驶里程公里，车费为元. 由题可知第一种情况不超过三公里为元即当时， 第二种情况大于三公里，每公里元； 由此得：即 （2），解得，他的行驶里程为公里 1.（2026·内蒙古·真题T05）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，分母的性质及指数幂的运算法则列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以定义域为， 故选： . 2.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令代入中整理即可. 【详解】已知，且， 令，则， 即，整理得， 故答案为：. 3.（2023·内蒙古·真题T13）若函数定义域是，则函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的定义域，再代入由指数函数的单调性求解不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， 解得， 则函数的定义域. 故答案为：. 4.（2022·内蒙古·真题T14）函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由求具体函数的定义域的解法求解即可. 【详解】因为函数为， 所以，解得， 即函数的定义域是， 故答案为:. 5.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为25，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数顶点式设解析式，代入已知点求解参数得到解析式； （2）解一元二次不等式得到   的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴判断区间单调性，求解对应区间的最值. 【小问1详解】 已知二次函数图象顶点为，设二次函数顶点式为， 将点 代入解析式得：，解得， 代入顶点式展开得：. 【小问2详解】 由题意 ，代入解析式得： ， 可得，解得， 即 的取值范围为. 【小问3详解】 二次函数的二次项系数 ，图象开口向上，对称轴为直线 . 给定区间全部位于对称轴左侧， 因此函数在上单调递减. 函数在区间左端点处取得最大值： 函数在区间右端点   处取得最小值：. 6.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】（1）. （2），日销售利润最大为元. 【解析】 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 7.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 【答案】平方米 【解析】 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 8.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不定点的定义，将两个定点代入函数即可求解 （2）根据两个相异的不动点转换成，由此构造成不等式，结合函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意， 即， 解得． 所以，. 【小问2详解】 函数总有两个相异的不动点， 即关于x的方程有两个不等根， 化简得到， 所以，即， 由题意，关于b的不等式恒成立，所以． 解得：． 9.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程的两根一正一负可以用和两根之积小于0判断解决. （2）当时，不等式恒成立，就是，由得整理不等式求解即可. 【小问1详解】 设方程有一正根和一个负根， 则 ， 解得， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 当时,不等式恒成立， 即， 因为， 所以，， 而，当且仅当时等号成立， 所以， 所以a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $