综合测试卷（四）-《数学 基础模块上下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣中职数学基础模块核心考点，通过跨章节整合的综合测试卷，系统考查代数、几何、统计知识，强化知识应用与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|12题|重概念辨析与运算（集合、函数、不等式、数列）|函数与不等式联动，概念生成与应用拓展结合| |几何|8题|重空间构建与推理（三角函数、向量、解析几何、立体几何）|向量与几何融合，空间观念与逻辑推理统一| |统计|2题|重数据分析与应用（茎叶图、方差）|数据意识与实际情境关联，体现数学语言表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上、下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 基于基础模块上下册内容设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知，则（    ） A． B． C． D． 2.设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 3.设全集，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4. 若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 5.若不等式的解集为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 6.某工厂去年产值为，计划今后5年内每一年比上一年增长，这5年的最后一年的产值为（   ） A． B． C． D． 7.已知为实数，集合，，函数的解析式为，则（    ） A．4 B． C． D． 8.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9.下列说法正确的是（   ） A．余弦函数的定义域为 B．余弦函数的值域为 C．正弦函数的最小正周期为 D．正弦函数在定义域上是奇函数 10.点到直线的距离为，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 11.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是的中位线，的面积为，则k的值是（   ） A． B． C．6 D． 12.为了保障广大人民群众的身体健康，有关部门对辖区内15家药店所销售的、两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的、型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是（   ） A．估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率 B．I组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数 C．I组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数 D．I组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 13.已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 14.如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B ． C． D． 15.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16.函数的定义域为______（用区间表示）； 17.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______； 18._______； 19.一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程的两根，则这个样本的方差是________； 20.已知，则向量的最大值是______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.已知向量，其中． (1)若，求实数的值；(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 22.设二次函数（）满足下列条件：①当时，的最小值为0，且成立；②当时，有最大值6. (1)求的解析式；(2)解不等式． 23.已知点，，圆，过点的直线与圆相切，为圆上的动点． (1)求直线的方程；(2)求面积的最小值． 24.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上、下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 基于基础模块上下册内容设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合交集、并集、补集的概念、性质和运算，即可判断求解. 【详解】由题意画出韦恩图，如图所示： 因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为，，所以，故D错误． 故选：B． 2.设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】根据集合与元素的关系分析求解即可； 【详解】由，则知， 当时，， 同理时,， 同理时,， 经过这一系列的推导后，又回到了最初设的元素， 说明集合中的元素在这四个元素之间循环出现, 又因为，则互不相等， 所以集合中有且仅有4个元素； 故选：C. 3.设全集，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】全集是实数集，是全集R中除去集合的所有元素，    观察数轴可知，或， 故选：D 4.若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的解集写出解集端点处满足的方程，求解方程即可. 【详解】由不等式的解集端点性质知和必为方程的解， 也即且，解得. 故选：A. 5.若不等式的解集为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】把问题转化为不等式在上恒成立问题，利用判别式求解即可. 【详解】若不等式的解集为， 则不等式在上恒成立， 因为二次项系数为，所以只需， 即， 即，解得， 故选：C. 6.某工厂去年产值为，计划今后5年内每一年比上一年增长，这5年的最后一年的产值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得，从去年起，每年的产值构成一个等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由已知可得每年的产值构成数列，是以为首项，公比为1.1的等比数列， 由题意可知这年的最后一年的产值为， 根据等比数列的通项公式可得. 所以这个厂这年的最后一年的产值为. 故选：B. 7.已知为实数，集合，，函数的解析式为，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知集合与集合元素相同，列出方程组即可得解. 【详解】，，函数的解析式为， ，解得， ． 故选：. 8.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，列不等式，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，即，则 因为为增函数， 解得. 故选：B． 9.下列说法正确的是（   ） A．余弦函数的定义域为 B．余弦函数的值域为 C．正弦函数的最小正周期为 D．正弦函数在定义域上是奇函数 【答案】D 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质，即可求解. 【详解】选项A中，余弦函数的定义域为，错误， 选项B中，余弦函数的值域为，错误， 选项C中，正弦函数的最小正周期为，错误， 选线D中，正弦函数在定义域为，， 则函数在定义域上是奇函数，正确，故选：D. 10.点到直线的距离为，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】首先将直线化为点斜式，确定直线所过定点，由当直线时，有最大值，此时的最大值为，再由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】由直线， 变形为，则直线恒过定点， 因为当直线时，有最大值， 此时最大距离，所以的最大值为. 故选：A. 11.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是的中位线，的面积为，则k的值是（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】设点A的坐标是为，得出，再根据三角形面积公式求出，即可确定的值. 【详解】设点A的坐标是为， 则， 是的中位线， ， 的面积为，轴， ，即， 又点是反比例函数图象上的一点 ，故选：B． 12.为了保障广大人民群众的身体健康，有关部门对辖区内15家药店所销售的、两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的、型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是（   ） A．估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率 B．I组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数 C．I组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数 D．I组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 【答案】D 【分析】由茎叶图分别求出、两种型号不合格口罩数，并求出合格率、众数、中位数和方差即可得解. 【详解】对于A选项，由茎叶图可知，型号口罩的不合格数为， 型口罩的不合格数为 ， 型号口罩的合格率为， 型口罩的合格率为， 所以型口罩的合格率小于型口罩的合格率，A选项正确； 对于B选项，I组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数为11，B选项正确； 对于C选项，I组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的中位数为11，C选项正确； 对于D选项，由茎叶图数据可知，I组数据更集中，方差更小，同时由排除法可知D选项不正确. 故选：D. 13.已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直可求出的值，再结合向量内积的坐标表示及运算求解即可. 【详解】由，得， 则，，， 所以. 故选：. 14.如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B ． C． D． 【答案】A 【分析】求出球体的半径，利用球体的体积公式可得结果. 【详解】由题意可知，与截面圆所在平面垂直， 设球的半径为，则， 所以，则， 因此，球的体积. 故选：A. 15.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一次函数和二次函数的性质，求出分段函数的最小值和最大值，即可求出值域. 【详解】函数，因为且，函数图像开口向上，所以当时，， 当时，，当时，， 故当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3， 故函数的值域为. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．函数的定义域为______.（用区间表示） 【答案】 【分析】列出使得函数有意义的不等式组，求解不该等式组即可. 【详解】要使函数有意义， 必须使即 解得或， 故函数的定义域为. 故答案为：. 17.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可得，列出不等式即可求解. 【详解】因为关于的不等式在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 18._______ 【答案】 【分析】各项根式内的数转化为完全平方的形式，再根据根式的性质进行化简计算. 【详解】. . . 所以. 故答案为：. 19.一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程的两根，则这个样本的方差是________． 【答案】. 【分析】根据平均数和方差的公式求解. 【详解】根据平均数和方差的公式可知， 由于一个样本a，3，5，7的平均数是b， 那么可知， 同时a，b是方程的两根，则可知， 那么解方程可知，，那么可知样本的方差为: ; 故答案为. 20.已知，则向量的最大值是______. 【答案】8 【分析】将向量先平方后开方，根据向量的运算性质和模的性质，当向量和同向时，二者夹角的余弦值最大，此时取得最大值. 【详解】因为，设向量和向量夹角为， 所以， 所以当与同向时，即时，取得最大值，为. 故答案为：8. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.已知向量，其中． (1)若，求实数的值；(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 解：（1）， ，解得． （2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 22.设二次函数（）满足下列条件： ①当时，的最小值为0，且成立； ②当时，有最大值6. (1)求的解析式；(2)解不等式． 【分析】（1）根据确定对称轴，由题意可设，结合时的最大值为确定的值； （2）将的解析式代入不等式，解一元二次不等式即可. 解：（1）对于二次函数，已知，那么对称轴为， 因为当时，的最小值为，所以，且顶点坐标为， 可设，作出函数的图像，    由图像得时，所以的最大值为， 由题意得，解得，所以. （2）由（1）知， 则不等式可化为， 化简为，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 23.已知点，，圆，过点的直线与圆相切，为圆上的动点． (1)求直线的方程；(2)求面积的最小值． 【分析】（1）按直线斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时结合点到直线距离求解即可. （2）先求出圆心到直线的距离，减去半径即为点到直线的最小距离，据此求解即可. 解：（1）由圆，即得圆心，半径． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知此直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （2）由题意得，直线的方程为． 因为圆心到直线的距离为，为圆上的动点， 所以点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值为． 24.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． 【分析】作出圆锥的一个轴截面，设正方体的棱长，由相似三角形，列出方程，即可求解. 解：作出圆锥的一个轴截面如图所示，其中AB，AC为母线，BC为底面直径， DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线． 设正方体的棱长为x，则，． 依题意，得， ， 即此正方体的棱长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $