【选择题专项】16解三角形-2027年浙江省（单独考试）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 以正弦定理、余弦定理为核心，分6大题型系统训练解三角形问题，涵盖基础计算到实际应用，培养推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求边长|5题（含2022模考题）|已知两角一边、两边及夹角等求边长|从定理直接应用到中线等变式| |求角|9题|已知边求角、边角比求角|体现“边化角”“角化边”转化思想| |判定形状|5题|利用边角关系判断三角形类型|结合定理推导边角等量关系| |求比值|5题|求边或角的比值|强化比例性质与定理结合应用| |面积应用|5题（含2026模考题）|结合面积公式求边角|面积公式与正余弦定理综合| |实际应用|4题（含2023真题）|测量距离、高度等情境问题|数学眼光观察现实，建立解三角形模型|

2027年浙江省单独考试 数学 专项冲刺练习 选择题专项 16解三角形 题型1 正弦定理和余弦定理求边长 1. 在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2. 在中，，，是中点，则（    ） A． B． C．2 D． 3. 已知分别为三个内角的对边，且，边（    ） A． B． C． D． 4. （2022·浙江省职教高考一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为. 已知，是方程的两根，则边c的长度为（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 6. （2026学年浙江省职教高考研究联合体适应性考试）如图所示，在中，已知，且，点和点为线段上的两个点，且，，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 题型2 正弦定理和余弦定理求角 7. 在中，已知，，则角B等于（    ） A． B．或 C． D．或 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 9. 在中，角对应的边分别为，已知，则（   ）. A． B． C． D． 10. 已知在△ABC中，a：b：c=1： ：2，则等于（      ） A．1 : 2 : 3 B．1 : : 2 C．1 : 3 : 2 D．2 : : 1 11. 若的三边长之比分别为，则该三角形的最大角与最小角之和为（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° 12. 在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 13. 在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 14. 设的内角所对的边分别是，若边上的高为，且，则（　　） A． B． C． D． 15. 在中，已知三个内角,满足，则最小内角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 题型3 正弦定理和余弦定理判定三角形形状 16. 中，若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 17. 在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 18. 若，则为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．有一个内角为的直角三角形 D．有一个内角为的等腰三角形 19. 已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 20. 记的内角对边分别为，已知，若，则的形状是（    ） A．等腰锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰钝角三角形 D．不等腰钝角三角形 题型4 正弦定理和余弦定理求边或角的比值 21. 的内角A，，所对的边分别为，，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 22. 已知，，分别为内角，，的对边，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 23. 在中，已知，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则等于（   ）. A．2 B．3 C． D． 25. 已知中，角所对的边分别为.设的面积为，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．-2 题型5 三角形面积公式及应用 26. 已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 27. 已知分别为内角的对边，的面积，则（ ） A． B． C． D． 28. 已知内角A，B，C所对应的边分别为，若，，则的面积为（　　） A．3 B． C． D． 29.（2026浙江省2026年宁波、嘉兴职教高考第二次模拟考试）如图，在中，为边上一点，是边长为3的正三角形.且的面积为，则边长为（   ）    A．5 B． C． D． 30.（2022浙江省高职考试研究联合体高三第一次调研考试）若把三边长为a，b，c的三角形记为，则四个三角形，，，中，面积最大的是 （    ） A． B． C． D． 题型5 正弦定理判定三角形解的个数 31. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 32. 在中，，，，则此三角形解的情况是（    ） A．无解 B．一个解 C．两个解 D．无法确定 33. 满足（其中分别为角所对的边）的三角形有（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 34. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，已知，则此三角形（ ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 题型6 正余弦定理实际应用 35.（2023浙江省单招单考高三考前适应性练习）如图在河的一侧选定两点A、B，望对岸标记物C，测得，AB=120米，则BC为（    ）米    A．30 B． C． D． 36. 已知飞机的飞行航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行26到达B处，测得目标C的俯角为75°，此时B处与地面目标C的距离为（    ）    A． B． C．5 D． 37. 如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（    ） A．10km B．20km C．km D．km 38. 胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位．该塔是苏军撤离旅顺之前，为纪念世界反法西斯战争胜利10周年而建．基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼．某同学为测量胜利塔的高度MN，在胜利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，胜利塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得胜利塔顶部M的仰角为，那么胜利塔的高度约为（    ）    A． B． C．40m D．45m 试卷第1页，共3页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年浙江省单独考试 数学 专项冲刺练习 选择题专项 16解三角形 题型1 正弦定理和余弦定理求边长 1. 在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据三角形内角和定理以及正弦定理即可求解. 【详解】因为， 所以； 由正弦定理得， 所以 故选：D. 2. 在中，，，是中点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理结合题干条件代入计算即可. 【详解】在中，，，是中点，则， 在中，由余弦定理得， 因为，所以. 故选：D. 3. 已知分别为三个内角的对边，且，边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为， 所以在三角形中，由余弦定理可得， . 故选：A. 4. （2022·浙江省职教高考一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为. 已知，是方程的两根，则边c的长度为（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】解方程可得，然后由余弦定理求． 【详解】方程即，则方程的两根为5和8， 由题意，不妨设，又， 由余弦定理得，则． 故选：D． 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 6. （2026学年浙江省职教高考研究联合体适应性考试）如图所示，在中，已知，且，点和点为线段上的两个点，且，，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】先根据直角三角形中边角关系求出，再在中，由余弦定理求出，可得，进而求出的长． 【详解】由得. 又，， ， 在中，由余弦定理得， ， ， 所以. 故选：A. 题型2 正弦定理和余弦定理求角 7. 在中，已知，，则角B等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据题意，由正弦定理可求，由，三角形中大边对大角可得，即可求解. 【详解】，由正弦定理可得，， 由可得，，则 故选：A 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据已知条件，利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以. 故选：B. 9. 在中，角对应的边分别为，已知，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理结合题干条件代入计算即可. 【详解】在中，已知， 由余弦定理得：. 故选：A. 10. 已知在△ABC中，a：b：c=1： ：2，则等于（      ） A．1 : 2 : 3 B．1 : : 2 C．1 : 3 : 2 D．2 : : 1 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由已知不妨设，利用余弦定理计算可求结果. 【详解】因为a：b：c=1： ：2，不妨设， 由余弦定理知，所以， 由余弦定理知，所以，所以， 所以. 故选：C. 11. 若的三边长之比分别为，则该三角形的最大角与最小角之和为（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意设三角形的三个边长分别为，最大边长和最小边长所对的角是最大角和最小角，根据余弦定理求解第三个角余弦值，并求出其大小，最后通过内角和定理计算即可. 【详解】设三角形的三个边长分别为，最大边长和最小边长所对的角是最大角和最小角， 则最大角和最小角之外的第三个角的余弦值为，大小为， 所以该三角形的最大角与最小角之和为120°. 故选：B． 12. 在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、给值求角型问题、余弦定理及辨析、余弦定理解三角形 【分析】将已知条件变形后，根据余弦定理可得，从而求解. 【详解】由，变形为， ， ， 而A为三角形内角， . 故选：D 13. 在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先由余弦定理求，再由余弦定理得即可. 【详解】已知，，， 由余弦定理， 得，所以， 由余弦定理. 故选：B. 14. 设的内角所对的边分别是，若边上的高为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平方关系求参数、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 【分析】根据题意，结合三角形的面积公式及余弦定理，可得，根据同角三角函数的平方关系和正弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为中，边上的高为， 所以三角形的面积， 所以，所以， 又， 所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 15. 在中，已知三个内角,满足，则最小内角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理和余弦定理边角互化，结合同角三角函数的平方关系，代数求解即可. 【详解】设内角的对边分别为， 因为， 所以，设， 则最小内角的余弦值 ， 所以， 故选：B. 题型3 正弦定理和余弦定理判定三角形形状 16. 中，若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】由已知条件结合正弦定理，诱导公式及两角和差的正弦公式进行化简即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可知， 因为，所以， 则， 所以，则为等腰三角形， 故选：. 17. 在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】在中，，由正弦定理可知，展开后逆用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】在中，若， 所以由正弦定理可知， 又， ， 即， 所以， 因为， 所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 18. 若，则为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．有一个内角为的直角三角形 D．有一个内角为的等腰三角形 【答案】B 【知识点】已知三角函数值求角、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据正弦定理得，再由同角三角函数的商数关系可得，即可判定三角形的形状. 【详解】已知，由正弦定理， 可得， 则由得，， 即，所以， 在中，， 所以，， 所以为等腰三角形. 故选：B. 19. 已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理求得，根据题意和正弦定理可得，即可求解. 【详解】由，得， 而，又， 所以. ，由正弦定理得， 即，得， 所以或，得或（舍去）， 所以，即为等边三角形. 故选：B 20. 记的内角对边分别为，已知，若，则的形状是（    ） A．等腰锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰钝角三角形 D．不等腰钝角三角形 【答案】C 【知识点】已知三角函数值求角、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用用正弦定理的边角变换，结合余弦定理求得，再利用三角恒等变换，结合三角函数的性质求得，进而求得，从而得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，，则， 所以， 又，所以，则， ， 又，所以，所以，即， 则，所以为等腰钝角三角形. 故选：C. 题型4 正弦定理和余弦定理求边或角的比值 21. 的内角A，，所对的边分别为，，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理得到的关系，再利用余弦定理得到的关系，从而得解. 【详解】，由正弦定理得，即， 又，则， ，则 故选：D. 22. 已知，，分别为内角，，的对边，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】利用题目给出的条件由三角形的正弦定理和余弦定理进行化简，然后通过代入已知条件即可求解出所需的比值. 【详解】由 可得， 即有， 因为，所以， 则， 由，可得，化为，则. 故选：B. 23. 在中，已知，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理及余弦定理即可求出所求的值 【详解】因为，， 根据余弦定理可得， ， 化简得. 因为， 所以， 再根据正弦定理边角互化， 可得. 故选：B. 24. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则等于（   ）. A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据题意，结合正弦定理边角互化，二倍角公式及余弦定理，即可求解. 【详解】因为，所以， 因为中，，所以， 所以，解得， 又，， 所以，即， 又，所以. 故选：D. 25. 已知中，角所对的边分别为.设的面积为，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．-2 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】由已知条件结合三角形面积公式可得，再将所求式子利用余弦定理化简可得解. 【详解】，又，可得， 又， . 故选：B. 题型5 三角形面积公式及应用 26. 已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及应用 【分析】由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为，所以或． 故选：D. 27. 已知分别为内角的对边，的面积，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理整理即可求解. 【详解】由余弦定理得：， 又因为的面积， 所以， 则， 又因为是内角， 所以. 故选：C. 28. 已知内角A，B，C所对应的边分别为，若，，则的面积为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理解得，再由三角形的面积公式计算. 【详解】由余弦定理可知，， 由于，所以， 因此，解得， 的面积为， 故选：C. 29.（2026浙江省2026年宁波、嘉兴职教高考第二次模拟考试）如图，在中，为边上一点，是边长为3的正三角形.且的面积为，则边长为（   ）    A．5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理求解即可. 【详解】因为是边长为3的正三角形，所以， 因为的面积为，所以，解得， 因此. 所以. 故选：C. 30.（2022浙江省高职考试研究联合体高三第一次调研考试）若把三边长为a，b，c的三角形记为，则四个三角形，，，中，面积最大的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角形的面积公式结合余弦定理计算比较即可. 【详解】四个三角形均有， 由三角形面积公式得， 要使三角形面积最大，只需最小. 中，， 则，， 中，， 则，， 中，， 则，， 中，， 则，， 综上，四个三角形中，中且最小， 则四个三角形中，面积最大的是. 故选：D. 题型5 正弦定理判定三角形解的个数 31. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】运用正弦定理计算出，结合有，计算出即可得. 【详解】由，得， 又 ，，故只能为锐角，即， 故该三角形只有一解． 故选：A. 32. 在中，，，，则此三角形解的情况是（    ） A．无解 B．一个解 C．两个解 D．无法确定 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理求出，结合即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 所以. 因为,所以只有一个解， 所以此三角形解的情况是一个解. 故选:B. 33. 满足（其中分别为角所对的边）的三角形有（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理解三角形即可求解. 【详解】中，， 由正弦定理， 得，无解． 即满足条件的三角形为个. 故选：A. 34. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，已知，则此三角形（ ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理求得，根据边角关系验证角的大小，即可求解. 【详解】由正弦定理得， 解得， 因为，所以， 又因为， 所以或， 故此三角形有两解. 故选：C 题型6 正余弦定理实际应用 35.（2023浙江省单招单考高三考前适应性练习）如图在河的一侧选定两点A、B，望对岸标记物C，测得，AB=120米，则BC为（    ）米    A．30 B． C． D． 【答案】B 【知识点】距离测量问题 【分析】利用三角形内角和得到角，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为 所以， 由正弦定理得， 因为， 所以. 故选：B. 36. 已知飞机的飞行航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行26到达B处，测得目标C的俯角为75°，此时B处与地面目标C的距离为（    ）    A． B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由题知， 在中，， 所以， 由正弦定理可知： (km). 故选：D. 37. 如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（    ） A．10km B．20km C．km D．km 【答案】C 【知识点】角度测量问题、正、余弦定理的其他应用 【分析】三角形为等腰三角形，利用正弦定理求出的长，即为这时船与灯塔的距离. 【详解】由题意，可得，，则， 在中，由正统定理得． 故这时船与灯塔之间的离是km. 故选：C. 38. 胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位．该塔是苏军撤离旅顺之前，为纪念世界反法西斯战争胜利10周年而建．基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼．某同学为测量胜利塔的高度MN，在胜利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，胜利塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得胜利塔顶部M的仰角为，那么胜利塔的高度约为（    ）    A． B． C．40m D．45m 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据锐角三角函数的定义以及正弦定理，结合图象，可得答案. 【详解】由已知在中，，，，所以， 在中，，， 所以，又， 由正弦定理可得，所以，所以， 在中，，，，所以. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第3页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $