27.4 二次函数与一元二次方程 讲义 2026--2027学年沪教版（五四 制）九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统梳理抛物线与坐标轴交点坐标求法、交点个数与判别式关系、交点式解析式及图象法解方程不等式等知识点，构建从基础到综合的递进学习支架。 资料以题型为载体，通过例题与变式训练强化数形结合，培养几何直观与推理意识，如利用函数图象确定方程根的范围、求截线长等。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过强化练习查漏补缺，提升应用意识与解题能力。

27.4 二次函数与一元二次方程学习目标 一· 二次函数与坐标轴的交点知识详解 1. 抛物线与坐标轴的交点坐标 （1）抛物线与y轴交点——令x=0,y=c⇒（0，c） （2）抛物线与x轴交点——令y=0,=0⇒（）、（0） 2. 抛物线与x轴的交点坐标个数 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0⇒抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0⇒抛物线与 x 轴无交点。 3. 二次函数的交点式—— 二· 利用图象法解一元二次方程、不等式 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 （以a>0为例） 一元二次方程 =0 为一元二次方程的两个根 一元二次方程有两个重根 一元二次方程 没有实数根 一元二次不等式 >0 不等式的解集为x< 不等式的解集为 x 不等式的解集为 x为任意数 一元二次不等式 <0 不等式的解集为 不等式的解集为 空集 不等式的解集为 空集 【题型01】 求抛物线与坐标轴的交点坐标题型精讲 【例1】．已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【变式1-2】已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【变式1-3】. 二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【变式1-4】.已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【变式1-5】．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）． (1)求点、点、点坐标； (2)若抛物线顶点为，求的面积； 【题型02】待定系数法求二次函数解析式 【例2】．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．已知二次函数的图像的顶点坐标为，过点，则的值为__________． 【变式2-2】．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【题型03】利用交点式求二次函数表达式 【例3】 已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【变式3-1】. 抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【变式3-2】已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【变式3-3】．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【变式3-4】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【题型04】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例4】．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【变式4-1】．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是 ________________ ． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y 0.02 0.04 【变式4-2】 关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．与坐标轴只有两个交点 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【变式4-3】 已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【变式4-4】 . 二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【题型05】：求 x 轴与抛物线的截线长 【例5】．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-1】．抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【变式5-2】 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【变式5-3】. 已知，依据下表，它的其中一个解的范围是________． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【变式5-3】．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 【变式5-4】. 九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 【题型06】：利用不等式求自变量或函数值的范围 【例6】．二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【变式6-2】．抛物线开口向上，且过，下列结论： ①若抛物线过点，则； ②若，则不等式的解为； ③若，，为抛物线上两点，则时； ④若抛物线过点，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 其中正确结论的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】．已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为_____________； （2）若，则x的取值范围为_____________． 【题型07】 综合应用 【例7】 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式7-1】 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【变式7-2】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【变式7-3】. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式7-4】 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式7-4】. 如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 选择题强化训练 1．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 3．已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 填空题 6．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 7．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 8．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 解答题 9．已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 10．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.4 二次函数与一元二次方程学习目标 一· 二次函数与坐标轴的交点知识详解 1. 抛物线与坐标轴的交点坐标 （1）抛物线与y轴交点——令x=0,y=c⇒（0，c） （2）抛物线与x轴交点——令y=0,=0⇒（）、（0） 2. 抛物线与x轴的交点坐标个数 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0⇒抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0⇒抛物线与 x 轴无交点。 3. 二次函数的交点式—— 二· 利用图象法解一元二次方程、不等式 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 （以a>0为例） 一元二次方程 =0 为一元二次方程的两个根 一元二次方程有两个重根 一元二次方程 没有实数根 一元二次不等式 >0 不等式的解集为x< 不等式的解集为 x 不等式的解集为 x为任意数 一元二次不等式 <0 不等式的解集为 不等式的解集为 空集 不等式的解集为 空集 【题型01】 求抛物线与坐标轴的交点坐标题型精讲 【例1】．已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，由原二次函数与轴的交点可得其因式形式，从而用表示和，再代入新二次函数表达式并化简，最后求解方程得到与轴的交点横坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于点和， ∴， ∴，， 对于新二次函数， 代入，得，， 令，则， ∵， ∴，即， ∴或， ∴新图像与轴交点的横坐标为，， 故选：． 【变式1-1】．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 【变式1-2】已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 【变式1-3】. 二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． 【变式1-4】.已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 【变式1-5】．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）． (1)求点、点、点坐标； (2)若抛物线顶点为，求的面积； 【答案】(1)，， (2)8 【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，三角形的面积，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点： （1）令，求出x的值，可求出A、C的坐标，令，求出y的值，可求出B 的坐标； （2）求出顶点M的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解∶当时，，解得，， ∵点在点的右边， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴的面积为． 【题型02】待定系数法求二次函数解析式 【例2】．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象的顶点为，设出二次函数顶点式，代入点求得答案即可． 【详解】解：二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为，由于抛物线过点，则有： ，解得； 因此抛物线的解析式为：． 故选：D． 【变式2-1】．已知二次函数的图像的顶点坐标为，过点，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的图像的顶点坐标为，可以设二次函数的解析式为，把点的坐标代入解析式，可得：，解方程即可求出的值． 【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数过点， 可得：， 整理得：， 解得：． 故答案为： ． 【变式2-2】．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 【题型03】利用交点式求二次函数表达式 【例3】 已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 【变式3-1】. 抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：有题意得二次函数解析式为， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 【变式3-3】．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 【变式3-4】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 【题型04】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例4】．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 【变式4-1】．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是 ________________ ． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y 0.02 0.04 【答案】 【分析】方程的解是二次函数中时对应的自变量的值，根据表格中的符号变化，即可确定方程解的取值范围． 【详解】解：由表格数据可得，当时，，当时，， ∵二次函数的图象是连续不断的曲线， ∴当时，相应的自变量的取值范围为． 故答案为：． 【变式4-2】 关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．与坐标轴只有两个交点 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．通过将抛物线化为顶点式，判断其开口方向、对称轴、增减性及与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵， ∵△=0， ∴二次项系数图像与轴有一个交点； 令，得， ∴二次项系数图像与轴有一个交点， ∴与坐标轴有两个交点，B正确； 对称轴为，C正确； ∵开口向上，对称轴， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 故选：D． 【变式4-3】 已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 【变式4-4】 . 二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． 【题型05】：求 x 轴与抛物线的截线长 【例5】．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 【变式5-1】．抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 【变式5-2】 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 【变式5-3】. 已知，依据下表，它的其中一个解的范围是________． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【答案】 【分析】本本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．观察表格可以发现的值和0.75最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：当时，； 当时，， 当在的范围内取某一值时，， 方程的一个解的范围是为． 故答案为． 【变式5-3】．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．通过观察表格中的值随的变化，发现当时值为，当时值为，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一个解的取值范围． 【详解】解：∵当时，； 当时，， 由对应的二次函数图象可知，x在范围内取某一个值时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 故选：C． 【变式5-4】. 九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 【答案】(1)，3，1，，1 (2)，， 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根． （1）观察画出的抛物线，取1和2的中间数代入表达式中试值； （2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近似值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ． x的近似值可能为1或2 当时， ． （精确到1）． 故答案为：，3，1，，1． （2）解：由（1）可知． 当时，， 当时，． ． 取中间值，当时，， 当时 ，，． ． 精确到0.1，． 【题型06】：利用不等式求自变量或函数值的范围 【例6】．二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的最小值，再求出，时的函数值，即可解决问题． 【详解】解：二次函数， ∴抛物线对称轴为y轴，即直线，开口向上，y的最小值为0， 当时，y随x的增大而增大， 时，；时，， 所以当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 【变式6-1】．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在x轴下方时对应的取值范围即可得答案． 【详解】解：由图可知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． ∵抛物线开口向下，， 或． 故选：D． 【变式6-2】．抛物线开口向上，且过，下列结论： ①若抛物线过点，则； ②若，则不等式的解为； ③若，，为抛物线上两点，则时； ④若抛物线过点，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 其中正确结论的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数综合运用；根据抛物线的对称轴、根与系数的关系、顶点坐标以及二次函数的增减性，结合各选项条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵抛物线过和， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线过和， ∴不等式的解为，故②错误； ③∵抛物线开口向上，且过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴在直线左边， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点一定在的下方，故④正确． 其中正确结论的个数是3个． 故选：C． 【变式6-3】．已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为_____________； （2）若，则x的取值范围为_____________． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【题型07】 综合应用 解题贴士 1）利用二次函数的图像可以求一元二次不等式的解集； 2）由二次函数与一次函数表达式联立成方程组可解决抛物线与直线的交点问题。 【例7】 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【详解】观察图象知，当函数值时，图像为在x轴上方的部分。自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【变式7-1】 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据两函数图象即可得出结论； （3）根据图象可知当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方即可得出结论． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 设二次函数的解析式为，代入、、， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，时，两函数的函数值都随x增大而增大， 故答案为：； （3）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方， ∴当时，一次函数值大于二次函数值， 故答案为：． 【变式7-2】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【详解】（1）对于抛物线， 令，则 点， 令，则，解得，点， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的函数解析式为； （2）设点的坐标为， 点的坐标为，， 当时，有最大值，的最大值为1． 【变式7-3】. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 【变式7-4】 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式7-4】. 如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：观察图象可知当或时，当， 故答案为：或． 选择题强化训练 1．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与轴交点的求法，熟练掌握“求函数与轴交点时，令计算值”是解题的关键．求二次函数与轴的交点，只需令，计算对应的值即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标为 ∴令，代入，得 ∴交点坐标为 故选：． 2．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 3．已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”，根据抛物线与轴的交点情况的含义判断即可． 【详解】解： ∵二次函数与轴只有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 4．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 5．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 填空题 6．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 8．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 解答题 9．已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 10．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的点的坐标为，代入函数解析式得出，根据，，解不等式即可求解； （3）先求得抛物线与坐标轴的交点，，不重合，则，分情况讨论，当在直线上时，得出；当不在直线上时，直线与抛物线交于点和，分和两种情况讨论，分别列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ∴； （2）解：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，为 ∵在； ∴ 解得： ∵且 ∴ 解不等式得或， 解不等式得， 又因， ∴ ∴的最大值为； （3）解：当时， 解得：或 ∴， ∵ ∴顶点坐标为 过点作直线轴， 则 解得： ∵不重合，则， 当在直线上时，，解得：或（舍去） 当时，，即点，直线为轴，不符合题意，则 当不在直线上时，直线与抛物线交于点和 ①当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则； ∴或； ②当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则（矛盾，舍去） ∴ 综上所述，或或． 学科网（北京）股份有限公司 $