专题16 统计与概率（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以考情为导向，构建“概念辨析-公式应用-综合建模”三阶方法体系，覆盖统计与概率全考点，突出数据分析与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件的判断|3道真题|互斥/对立/独立事件概念辨析|从事件关系定义到逻辑推理| |概率的计算|4道真题|公式直用与性质综合|由简单运算到复杂情境应用| |随机变量|3道真题|分布列与期望求参|从变量分布到数字特征提取| |统计与概率综合|6道真题|图表选择与回归模型比较|统计推断与概率计算融合|

专题16 统计与概率 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．结构稳定、位置前移：每卷均设"选填题1—3道＋解答题1道（14分）"；解答题位置自2025年秋考起前移至第17题，成为第一道解答大题。 2．权重稳中有升：三年平均每卷约20.7分，约占全卷13.8%；2026秋考单卷达27分（4题），创三年新高。 3．概念辨析题稳定出现：互斥、对立、独立三大事件关系每卷至少考查1次，以选择题为主。 4．随机变量期望高频考查：分布列求期望近两年连续出现在填空（2025秋考第6题、2026秋考第8题）。 5．统计推断方法全面铺开：分层抽样、百分位数、独立性检验、线性回归、相关系数等新课标内容三年内均已进入试卷，覆盖面趋于完整。 6．素养导向鲜明：命题从"会算"转向"会用"，弱化机械套公式，强化"读数据—建模—推断"的数据分析能力。 事件的判断 2026秋考第14题 2024春考第15题 概率的计算 2026秋考第4题 2025秋考第13题 2025春考第15题 2024秋考第8题 相关系数与随机变量 2026秋考第8题 2025秋考第6题 2024秋考第13题 统计与概率综合解答 2026秋考第17题 2026春考第17题 2025春考第19题 2025秋考第17题 2024春考第19题 2024秋考第19题 （一）2026秋考 1．题量与分值：概率统计直接考查4题27分（填空第4、8题，选择第14题，解答第17题），为三年单卷之最。 2．"概念—公式—综合"三层递进：第4题互斥事件加法（公式直用）→第8题分布列期望求参（性质综合）→第14题独立与对立判断（概念辨析）→第17题统计与概率综合（建模应用），在同一模块内形成由易到难的完整梯度。 3．解答题首次考查"统计图表选择"：第17题第(2)问要求判断研究相关性的恰当图表（散点图），打破"给定图表计算"的旧套路，改考"依据数据特征选择工具"的分析素养。 4．相关分析与回归建模成为解答题核心：相关系数从2024秋考第13题的"意义理解"（选择）升级为2026秋考第17题的"区间判断＋回归模型比较"，并引入指数型回归与线性回归的拟合比较，对统计建模能力要求显著提升。 5．情境聚焦城市治理：以工厂环保监测数据为载体，呼应上海"智慧城市、环保治理"导向，体现"数学服务现实"的命题取向。 （二）2026春考 第17题以"市民夜校"课程为素材，考查分层抽样、平均值估计与事件独立性，突出抽样方法与统计估计；情境贴近市民文化生活，难度适中，兼顾基础与素养。 （三）总体评价 2026年春秋两考共同印证：概率统计模块已形成"小分值题稳定覆盖＋一道14分综合大题"的成熟结构；命题重心由"算得出"转向"建得了模、选得对法、断得合理"，对考生的数据分析、数学建模、逻辑推理素养提出更高要求；新课标新增内容在三年内完成一轮全覆盖后，2026年进入"综合运用与深度建模"阶段。 考向一 事件的判断 典例1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. 考向二 概率的计算 典例2．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________． 【答案】/ 【详解】因为互斥，所以. 考向三 随机变量 典例3．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________． 【答案】 【详解】因为随机变量的分布为，且， 所以，且， 解得. 考向四 统计与概率综合解答 典例4．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为. （2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现. 随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正， 又因为相关系数，故相关系数在区间上. （3）采用方程时，2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为 ， 所以，可得. 故采用方程时， 2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小. 考向一 事件的判断 1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 考向二 概率的计算 2．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 3．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 考向三 相关系数与随机变量 4．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 【答案】 【详解】由题设有. 故答案为：. 5．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 6．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 【答案】0.85 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 考向四 统计与概率综合解答 7．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、独立事件的判断 【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； （2）由题可得人的平均年龄为：； (3)不相互独立，理由如下： 由题可得，，， 注意到，则事件A与事件B不相互独立. 8．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【答案】(1)；； (2) (3) 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 9．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； (2)； (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【详解】（1）甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． （2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件， . （3）， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 10．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【答案】(1) (2) (3)有 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 11．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】(1) (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差克，平均数克，预估平均质量为克 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 一、单选题 1．（2026·上海浦东新·三模）现有下表所示的一组观测数据（；），若与的线性回归方程为，则对应的离差为（   ） A．11.6 B．8.4 C．7.4 D．1.6 【答案】D 【详解】由观测数据可知，当 时，， 而对应计算回归预测值，可得， 因此根据离差定义. 2．（2026·上海黄浦·三模）某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（     ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 【答案】B 【详解】由于且，故拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系. 3．（2026·上海·三模）已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ ､为互斥事件”是“ ､为对立事件”的必要非充分条件. 4．（2026·上海静安·三模）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①分析图1的相关系数观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内； 随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义， 两个变量呈负相关，故； ②分析图2的相关系数观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内； 随着的增大，总体呈增大趋势； 根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故； 此外，观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近， 说明图2的线性相关性更强，即 选项，已知且，且，故 成立； 选项，因为且，所以，故选项B错误； 选项，因为且，则，选项C错误； 选项，因为且，则，显然不可能大于1，故选项D错误. 5．（2026·上海浦东新·三模）下列命题中不正确的是（   ） A．线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C．线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D．用最小二乘法求回归方程是为了使最小 【答案】B 【详解】对于A，线性回归直线一定经过样本点的中心，故A正确； 对于B，线性回归直线是样本点的‘最佳’拟合直线，可能不经过任何一个样本点，故B错误； 对于C，线性回归直线中的系数为， 则变量与具有负的线性相关关系，故C正确： 对于D，最小二乘法的核心思想就是通过寻找最佳的回归系数， 使得所有的观测值与回归直线上的预测值之间的残差平方和达到最小， 数学表达式是，故D正确. 6．（2026·上海·模拟预测）下列调查中，适合采用抽样调查的是（     ） A．调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况 B．虹桥高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查上海市中学生的周末作业完成时间 【答案】D 【详解】对于A，调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况，总体较小（仅30人），容易进行全面调查，不适合抽样调查，故A错误； 对于B，安检涉及安全风险，必须对每位旅客进行全面检查，不适合抽样调查，故B错误； 对于C，飞机零部件检查要求全面性，任何遗漏都可能造成安全事件，不适合抽样调查，故C错误； 对于D，调查对象是全市范围的中学生，总体较大，适合抽样调查，故D正确. 7．（2026·上海·模拟预测）若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】对于数据，中位数为：三个数排序后中间项为中位数，可得， 对于数据，平均数为：，得，因此，结合得， ①平均数一定是：五个数的总和为：， 平均数，①正确； ②中位数可能是：五个数从小到大排序，结合和， 可知这五个数从小到大排序为， 中位数是第三个数，当时，，排序为，中位数为， 符合条件，因此中位数可能是，②正确； ③方差一定不是，方差公式：， 代入化简得：，，令，函数对称轴为， 又该函数开口向上，故该函数在区间单调递减， 得，而，不在方差取值范围内，因此方差一定不是，③正确. 8．（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（    ） A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【详解】对于选项A，由条件可知该组数据包含个数据，第三四分位数即分位数， 又，因此第三四分位数为，A错误； 对于选项B，多选题正确答案为1个或多个，4个选项中每个选项有选/不选两种可能， 总情况为种，减去「都不选」的无效情况，共种可能的正确答案，B错误； 对于选项C，残差定义为：实际值减预测值， 将代入回归方程可得时的预测值， 故残差为，C错误， 对于选项D，正态分布的密度曲线的对称轴为， 因为，所以，由对称性得， 又因为该正态分布的对称轴为，所以， 所以，D正确. 二、填空题 9．（2026·上海·三模）小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 【答案】 【详解】对7个样本数据从小到大排序，可得：42,47,54,55,58,70,90；；因此排序后第5个数据就是第60百分位数，即58. 10．（2026·上海·模拟预测）已知事件与事件相互独立，如果，，________． 【答案】 【详解】由，得， 因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 所以. 11．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 【答案】 【详解】3人全排列，总的基本事件数为种， 若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列， 所以甲和乙不相邻的概率为：. 12．（2026·上海·模拟预测）已知随机变量服从分布 ，则__________． 【答案】0 【详解】由题可得：，解得：,所以, 则 13．（2026·上海·三模）已知服从二项分布，则________． 【答案】 【详解】由题意可知. 14．（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 【答案】43 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字， 读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)， 60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个）， 故选出来的第5个个体的编号为43． 15．（2026·上海·模拟预测）立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 【答案】 【详解】抽到的两个红包可能性有种， 由奇数加奇数为偶数，偶数加偶数为偶数， 则其中奖金数额之和为偶数的可能性有种， 故抽到的奖金数额之和为偶数的概率为. 16．（2026·上海浦东新·三模）已知随机变量服从正态分布，若，则______________． 【答案】0.37 【详解】由随机变量服从正态分布，， 得. 17．（2026·上海浦东新·三模）已知随机事件，满足，，．则______________． 【答案】 【详解】由题意得 ，所以. 18．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 【答案】 【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种. 志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况： ① A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种； ② A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种. 因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种. 故所求概率为. 19．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 【答案】 【详解】设分别对应，（）. 则， 所以的方差为： ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且. 所以当或时，该组数据的方差相等，且取得最大值，为. 所以该组数据方差的最大值为：. 20．（2026·上海·三模）某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 【答案】54 【详解】由题意得，则，不妨设，则， 当时，，此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，， 而，故第40百分位数为，不满足题意； 当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55， 而，故第40百分位数为，则，于是， 而，可知第70百分位数是，即第70百分位数的最大值是54. 21．（2026·上海·三模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 【答案】 【详解】从12人中选6人，有种； 由题意，当6人来自除高一（3）班、高一（7）班以外的8个班时，有种； 当6人有1人来自高一（3）班或高一（7）班，其余5人来自另外的8个班时，有种； 当6人有1人来自高一（3）班、1人来自高一（7）班，其余4人来自另外的8个班时，有种， 故共有种． ∴这6名主力队员来自不同的班级的概率为. 22．（2026·上海黄浦·三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001） 【答案】0.706 【分析】先计算全班所有学生生日互不相同的概率，再用对立事件概率关系计算即可. 【详解】设全班30名学生生日全部互不相同为事件A，所以， 所以全班30名学生中至少有2名学生在同一天出生的概率为 23．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 【答案】 【详解】由，则与同分布， 由，则， 显然，即与同分布， 随机变量X，Y相互独立，所以与同分布， 则，即的概率分布关于对称， 其中为连续性随机变量，则为连续型随机变量，故， 所以. 24．（2026·上海·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，，、．若在满足的点中等可能地选取一点，则选取的点满足的概率为__________． 【答案】 【详解】因为点，，，、．， 由可得，即， 因、，则只能取等情况. 当时，可取等9种情况； 当时，可取等18种情况； 当时，可取等18种情况； 当时，可取等14种情况； 当时，可取等10种情况，故共有种情况. 由选取的点满足，即得， 当时，，则有共4种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共6种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共7种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共5种情况； 当时，，则有共1种情况； 当时，，则有共4种情况； 由上分析，满足的整点共有个， 故所求概率为. 25．（2026·上海闵行·模拟预测）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 【答案】 【详解】每次投掷，到达终点的概率为，不能到达终点的概率为， ，，，， ， 设①， ②， 则①②得 ， 所以， 所以. 三、解答题 26．（2026·上海长宁·二模）一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. (1)求该组数据的极差和第25百分位数； (2)依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） (3)体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 【答案】(1)36；55 (2) (3)； 【详解】（1）将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88， 故极差， 因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55. （2）， 因回归方程为过样本中心点，故， 得 （3）由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计， 所以， 男生肥胖的预期值. 27．（2026·上海·模拟预测）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 【答案】(1)没有； (2)，； (3)82人 【详解】（1）提出零假设：该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别无关， 显著性水平， 计算， 因为，所以接受原假设， 即没有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关； （2）， 故； （3）由（2），得， 设，则， 故， 故成绩在范围内的学生约为82人． 28．（2026·上海杨浦·模拟预测）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大．为了解教师对AI大模型使用情况，现从用分层随机抽样的方法在上海随机抽取了200名教师，对使用元宝、通义千问、豆包、文心一言四种国产AI大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用元宝、通义千问、豆包、文心一言的AI大模型人次如下： 大模型种类 元宝 通义千问 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)已知上海约有20000名教师，则其中男性教师约有________人，其中使用4种AI大模型的种数与人数________近似满足正态分布（选填“是”或“否”），下列最不适合用于分析上述表格数据的是（    ） A茎叶图         B．散点图           C．频率分布直方图           D．扇形图 (2)从上海教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型，求：，并判断事件和事件是否独立； (3)从上海使用3种AI大模型（元宝、通义千问、豆包、文心一言中的3种）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求：的分布，及其数学期望，方差． 【答案】(1)8000 ；否；A (2)，不独立 (3) . 【详解】（1）由题意可得，用分层随机抽样的方法在上海随机抽取了200名教师中男教师的概率为， 所以上海约有20000名教师，则其中男性教师约有人， 因为使用AI大模型人数分布不是连续分布， 故使用4种AI大模型的种数与人数不近似满足正态分布，答案填否； 四种统计图特点： 茎叶图：能直接看到每一个具体数据值，不会丢失细节信息，适用于小样本数据的快速探索性分析； 散点图：分析两个变量的关联，核心作用是反映两个变量之间的相关性和变化趋势； 频率分布直方图：能清晰呈现数据的分布特征，直观反映数据的集中区间和离散程度，适用于大样本数据的分布分析； 扇形图：用扇形面积占圆面积的比例，直观表示各部分占总体的百分比； 所以最不适合用于分析上述表格数据的是茎叶图； （2）由题设可得，， 故. 因为，故不独立； （3）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故；. 29．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】(1)②①③； (2)； (3) 【详解】（1）相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③； （2）由题意的值可能为：， ，，， 所以，， 所以； （3）由已知，，，， ，则， ， 记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件， 则. 30．（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)（i）无关；（ii） 【详解】（1）分层抽样：男生360人，女生180人，比例． 男生抽30人，则女生抽15人，则． （2）（i） 因为，故在置信水平下无显著关联． （ii）样本，按总体比例（男生女生）， 则样本中男生人，女生人． 选物理74人中女生18人，则选物理男生人． 则选历史男生人，选历史女生人． 从16人中随机抽4人，为其中男生数，服从超几何分布． 则． 31．（2026·上海杨浦·模拟预测）某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． (1)求：该厂商生产口罩质量指标值的平均数； (2)若从这批口罩中抽取质量排名前40%的优质口罩送往医院，求：这批口罩中质量指标值的最小值； (3)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求：的分布列及方差； 【答案】(1)123 (2)125 (3)分布列见详解；方差为． 【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为： . （2）由题设可得该质量指标的最小值即质量指标值的第60百分位数 因为， 故第百分位数落在内，设其为， 则， 解得：，故第百分位数为． （3）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则：一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为， 又，，， 故的分布列如下： 数学期望为， 方差为． 32．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. (3)证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 33．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】(1)②①③ (2)的分布为： 期望 (3) 【详解】（1）由， 故按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序为②①③； （2）由题意，个零件中直径大于的有个，不大于的有个， 随机抽取个，的可能取值为，，， ，，， 故的分布为： ； （3）由，， 故， 记个零件中直径小于的个数为，各零件检验独立，故， 则 . 34．（2026·上海杨浦·模拟预测）某区连续几年的GDP（国内生产总值）情况，如下表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ (1)表中前4年数据的极差为_________，方差为_________，第20百分位数为_________； (2)我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． 假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，这是数学建模中拟合函数的思想．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即拟合误差，来进行模型分析，一般拟合误差越小越适宜．） 例如，分析直线AB，即上的点：可知，求得拟合误差． ①：请依据以上方式，求出关于直线的拟合方差值：______； ②：请你在直线与直线进行预测的两个方案中选择合适的那个预估，预估该区第五年的GDP． 【答案】(1)3.5；1.776875；10.0 (2)①0.0125；②直线更合适，14.8百亿元 【详解】（1）这组数据的极差为， 平均数为， 故方差为， ，故从小到大，选取第1个数作为20分位数，即10.0； （2）①：设直线的表达式为， 根据题意，解得， 直线的表达式为， 分析直线，拟合误差， ②：， 直线更合适， 当时，，即第五年的GDP约为14.8百亿元 35．（2026·上海·三模）混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量； ③记随机变量，利用的期望和方差进行估算，设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立． (1)在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； (2)请提出一个合理假设，使得服从二项分布：______________________________． 记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和．（参考公式：，） 【答案】(1) (2)假设：鱼塘里的鱼足够多（答案不唯一，符合题意即可），， 【详解】（1）设事件M：“第一次记录的是鱼苗A”，事件N：“第二次记录的是鱼苗A”， 由题意可得：，， 所以. （2）假设：鱼塘里的鱼足够多，此时， 则的均值，的方差， 所以，解得或， 又因为，则， 所以，． 36．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 【答案】(1)采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率 (2)①；② 0 1 2 3 【详解】（1）当时，每局比赛乙队获胜的概率为， 采用方案一，三局两胜制下乙获胜分两种情况：胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率； 采用方案二，五局三胜制下乙获胜分三种情况：胜、胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率， 而，所以采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率. （2）①当时，甲队最终获胜的事件为，五局三胜制下甲获胜分三种情况：胜、胜和胜， ， 比赛恰好进行了四局的事件为，则， 所以求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为. ②甲队得分的所有可能取值为， ，即乙以或胜甲，； ，即乙以胜甲，； ，即甲以胜乙，； ，即甲以或胜乙，， 所以的分布为 0 1 2 3 期望. 37．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【答案】(1) (2)，判定规则在正常状态下误判率约4.2%，虽偏低但仍存在误报，基本合理但略偏保守. (3)，元 【详解】（1）令， 则, 因为， 所以， 即. （2）设为次射门中出现严重失误的次数， 则, 则需要校准的概率, 因为， 所以，， 所以， 在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”， 即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数， 可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感； 若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受. 综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化. （3）机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次， 设为次射门中出现严重失误的次数，则， 则， 因为， , 所以， 设每天校准次数为随机变量，则, 则每天校准次数的期望为次， 所以日均校准成本的期望元，即百元. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 统计与概率 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．结构稳定、位置前移：每卷均设"选填题1—3道＋解答题1道（14分）"；解答题位置自2025年秋考起前移至第17题，成为第一道解答大题。 2．权重稳中有升：三年平均每卷约20.7分，约占全卷13.8%；2026秋考单卷达27分（4题），创三年新高。 3．概念辨析题稳定出现：互斥、对立、独立三大事件关系每卷至少考查1次，以选择题为主。 4．随机变量期望高频考查：分布列求期望近两年连续出现在填空（2025秋考第6题、2026秋考第8题）。 5．统计推断方法全面铺开：分层抽样、百分位数、独立性检验、线性回归、相关系数等新课标内容三年内均已进入试卷，覆盖面趋于完整。 6．素养导向鲜明：命题从"会算"转向"会用"，弱化机械套公式，强化"读数据—建模—推断"的数据分析能力。 事件的判断 2026秋考第14题 2024春考第15题 概率的计算 2026秋考第4题 2025秋考第13题 2025春考第15题 2024秋考第8题 相关系数与随机变量 2026秋考第8题 2025秋考第6题 2024秋考第13题 统计与概率综合解答 2026秋考第17题 2026春考第17题 2025春考第19题 2025秋考第17题 2024春考第19题 2024秋考第19题 （一）2026秋考 1．题量与分值：概率统计直接考查4题27分（填空第4、8题，选择第14题，解答第17题），为三年单卷之最。 2．"概念—公式—综合"三层递进：第4题互斥事件加法（公式直用）→第8题分布列期望求参（性质综合）→第14题独立与对立判断（概念辨析）→第17题统计与概率综合（建模应用），在同一模块内形成由易到难的完整梯度。 3．解答题首次考查"统计图表选择"：第17题第(2)问要求判断研究相关性的恰当图表（散点图），打破"给定图表计算"的旧套路，改考"依据数据特征选择工具"的分析素养。 4．相关分析与回归建模成为解答题核心：相关系数从2024秋考第13题的"意义理解"（选择）升级为2026秋考第17题的"区间判断＋回归模型比较"，并引入指数型回归与线性回归的拟合比较，对统计建模能力要求显著提升。 5．情境聚焦城市治理：以工厂环保监测数据为载体，呼应上海"智慧城市、环保治理"导向，体现"数学服务现实"的命题取向。 （二）2026春考 第17题以"市民夜校"课程为素材，考查分层抽样、平均值估计与事件独立性，突出抽样方法与统计估计；情境贴近市民文化生活，难度适中，兼顾基础与素养。 （三）总体评价 2026年春秋两考共同印证：概率统计模块已形成"小分值题稳定覆盖＋一道14分综合大题"的成熟结构；命题重心由"算得出"转向"建得了模、选得对法、断得合理"，对考生的数据分析、数学建模、逻辑推理素养提出更高要求；新课标新增内容在三年内完成一轮全覆盖后，2026年进入"综合运用与深度建模"阶段。 考向一 事件的判断 典例1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 考向二 概率的计算 典例2．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________． 考向三 随机变量 典例3．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________． 考向四 统计与概率综合解答 典例4．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 考向一 事件的判断 1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 考向二 概率的计算 2．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 3．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 考向三 相关系数与随机变量 4．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 5．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 6．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 考向四 统计与概率综合解答 7．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 8．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 9．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 10．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 11．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 一、单选题 1．（2026·上海浦东新·三模）现有下表所示的一组观测数据（；），若与的线性回归方程为，则对应的离差为（   ） A．11.6 B．8.4 C．7.4 D．1.6 2．（2026·上海黄浦·三模）某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（     ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 3．（2026·上海·三模）已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．（2026·上海静安·三模）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·上海浦东新·三模）下列命题中不正确的是（   ） A．线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C．线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D．用最小二乘法求回归方程是为了使最小 6．（2026·上海·模拟预测）下列调查中，适合采用抽样调查的是（     ） A．调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况 B．虹桥高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查上海市中学生的周末作业完成时间 7．（2026·上海·模拟预测）若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（    ） A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D．若随机变量服从正态分布，且，则 二、填空题 9．（2026·上海·三模）小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 10．（2026·上海·模拟预测）已知事件与事件相互独立，如果，，________． 11．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 12．（2026·上海·模拟预测）已知随机变量服从分布 ，则__________． 13．（2026·上海·三模）已知服从二项分布，则________． 14．（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 15．（2026·上海·模拟预测）立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 16．（2026·上海浦东新·三模）已知随机变量服从正态分布，若，则______________． 17．（2026·上海浦东新·三模）已知随机事件，满足，，．则______________． 18．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 19．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 20．（2026·上海·三模）某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 21．（2026·上海·三模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 22．（2026·上海黄浦·三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001） 23．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 24．（2026·上海·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，，、．若在满足的点中等可能地选取一点，则选取的点满足的概率为__________． 25．（2026·上海闵行·模拟预测）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 三、解答题 26．（2026·上海长宁·二模）一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. (1)求该组数据的极差和第25百分位数； (2)依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） (3)体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 27．（2026·上海·模拟预测）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 28．（2026·上海杨浦·模拟预测）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大．为了解教师对AI大模型使用情况，现从用分层随机抽样的方法在上海随机抽取了200名教师，对使用元宝、通义千问、豆包、文心一言四种国产AI大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用元宝、通义千问、豆包、文心一言的AI大模型人次如下： 大模型种类 元宝 通义千问 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)已知上海约有20000名教师，则其中男性教师约有________人，其中使用4种AI大模型的种数与人数________近似满足正态分布（选填“是”或“否”），下列最不适合用于分析上述表格数据的是（    ） A茎叶图         B．散点图           C．频率分布直方图           D．扇形图 (2)从上海教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型，求：，并判断事件和事件是否独立； (3)从上海使用3种AI大模型（元宝、通义千问、豆包、文心一言中的3种）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求：的分布，及其数学期望，方差． 29．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 30．（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 31．（2026·上海杨浦·模拟预测）某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． (1)求：该厂商生产口罩质量指标值的平均数； (2)若从这批口罩中抽取质量排名前40%的优质口罩送往医院，求：这批口罩中质量指标值的最小值； (3)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求：的分布列及方差； 32．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 33．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 34．（2026·上海杨浦·模拟预测）某区连续几年的GDP（国内生产总值）情况，如下表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ (1)表中前4年数据的极差为_________，方差为_________，第20百分位数为_________； (2)我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． 假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，这是数学建模中拟合函数的思想．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即拟合误差，来进行模型分析，一般拟合误差越小越适宜．） 例如，分析直线AB，即上的点：可知，求得拟合误差． ①：请依据以上方式，求出关于直线的拟合方差值：______； ②：请你在直线与直线进行预测的两个方案中选择合适的那个预估，预估该区第五年的GDP． 35．（2026·上海·三模）混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量； ③记随机变量，利用的期望和方差进行估算，设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立． (1)在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； (2)请提出一个合理假设，使得服从二项分布：______________________________． 记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和．（参考公式：，） 36．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 37．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $