第1章 一元二次方程（4个考点+6个易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一元二次方程”单元内容，涵盖概念判定、解的性质、四种解法及实际应用，搭建了从基础定义到解法选择再到问题解决的递进式学习支架。 清单以“知识点-易错点-对点训练”三级架构呈现知识体系，如将“二次项系数不为0”设为易错点1并附分类讨论方法，培养学生的运算能力与推理意识。特别设计“解法适用条件对照表”和“应用题检验步骤”，不同层次学生可高效掌握要点，教师可据此设计分层教学，提升课堂针对性。

第1章 一元二次方程 知识点一、一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.核心判定条件，需同时满足三点：第一，方程为整式方程，等号两边均为整式，分母中不含有未知数；第二，方程仅含一个未知数；第三，未知数的最高次数是2。 3.判定注意事项：判断方程是否为一元二次方程，需先将方程化简整理，再核对五大核心要点，分别是化简后、单个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0、整式方程。 4.一般形式：任意一元二次方程整理后均可化为。其中为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 5.关键细节：一次项系数和常数项可取任意实数，二次项系数必须不为0，若，方程无二次项，不再是一元二次方程。确定各项系数前，必须先将方程化为标准一般形式。 知识点二、一元二次方程的解（根） 1.定义：能够使一元二次方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也可称为方程的根。 2.根的基本性质：一元二次方程一定有两个根，但不一定是两个实数根。若是方程的两个实数根，则满足、，可利用该性质求解参数、代数式的值。 知识点三、一元二次方程的四种解法 1.直接开平方法 适用题型：仅适用于可化为或形式的一元二次方程。 求解方法：若方程为，则；若方程为，则，进而解出未知数。 核心要点：等号左侧必须是完整的平方形式，右侧为非负数；解题本质是降次，将二次方程转化为两个一元一次方程求解，依据平方根的定义运算。若右侧数值小于0，方程无实数根。 2.配方法 核心原理：将一元二次方程通过恒等变形，配成的完全平方式，再结合直接开平方法求解。 解题步骤：第一，将方程整理为一般形式；第二，方程两边同除以二次项系数，使二次项系数化为1，并将常数项移至方程右侧；第三，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；第四，将左侧整理为完全平方式，右侧合并为常数；第五，若右侧常数非负，开平方求解，若右侧为负数，方程无实数根。 3.公式法 求根公式：对于一元二次方程，当判别式时，方程的根为。 解题步骤：第一，将方程化为标准一般形式，准确确定的数值（注意正负符号）；第二，计算判别式，若，方程无实数根；第三，若，将代入求根公式，计算得出方程的实数根。 适用条件：必须同时满足二次项系数、判别式两个条件。 4.因式分解法 核心原理：解一元二次方程最简便、最常用的方法，核心思想为降次转化。先将方程移项，使等式右侧为0，再将左侧多项式因式分解，化为两个一次因式相乘的形式，令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程求解。 解题步骤：第一，移项整理，使方程右边恒为0；第二，对方程左侧的整式进行因式分解，拆解为两个一次因式的乘积；第三，分别令两个因式等于0，得到两个一元一次方程；第四，求解一元一次方程，所得根即为原一元二次方程的根。 知识点四、一元二次方程的实际应用 1.通用解题步骤：仔细审题，梳理题目已知条件与等量关系，合理设未知数，根据等量关系列出一元二次方程，解方程求出未知数的值，检验解的合理性（舍去不符合实际意义的解），最后规范作答。 2.常见应用题型 数字问题：若一个两位数的十位数字为，个位数字为，则该两位数可表示为，可结合数字倍数、和差关系列方程求解。 增长率问题：增长率计算公式为增长率=增长数量/原数量×100%。设初始量为，平均增长百分率为，则一次增长后数值为，两次增长后数值为，递减问题同理可将加号改为减号。 几何形积问题：利用几何图形的边长、面积、体积公式，或勾股定理、相似三角形比例关系建立等量等式，列出一元二次方程，求解图形边长、面积等未知量，解题后需结合图形边长为正的实际条件检验结果。 易错点1 忽略一元二次方程二次项系数 易错提醒 易错总结：判断方程是不是一元二次方程、含参数题目中，常常直接看未知数最高次数为2，忘记二次项系数不能等于0；当题目没有明确说明是一元二次方程时，直接默认，造成答案出错。 处理方法：判定一元二次方程或者求解参数后，必须检验二次项系数；若题目未指明是一元二次方程，要分和两种情况分类讨论。 【对点训练】 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 2．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 3．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴，其根的判别式， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即，则选项B正确； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 易错点2 直接开平方法忽略正负号以及右边非负条件 易错提醒 易错总结：对、开平方，只写正根漏掉负根；没有注意时方程没有实数根，依旧强行计算求根。 处理方法：当时，解为，解为；若，直接判定方程无实数根。 【对点训练】 4．方程的根为________． 【答案】， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 5．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 6．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解 易错点3 配方法时，二次项系数不为1直接加一次项系数一半的平方 易错提醒 易错总结：原方程二次项系数不是1，没有先除以二次项系数，就直接两边加上一次项系数一半的平方，等式变形错误。 处理方法：配方法第一步，先化为一般形式，方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1之后，再两边加上一次项系数一半的平方。 【对点训练】 7．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 8．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 9．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 易错点4 公式法忽略判别式的前提条件 易错提醒 易错总结：直接代入求根公式，不计算判别式；当，仍然计算实数根，忘记此时方程无实数根。 处理方法：求根公式使用前提是且；先算判别式，直接写方程无实数根，不再代入公式计算。 【对点训练】 10．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【详解】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 11．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m的取值范围是 _______． 【答案】 【分析】 【详解】解：方程， 得到或， 解得：或， 方程的三根可作为一个三角形的三边长， ，且，， 解得：， 故答案为：． 12．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 易错点5 因式分解法解方程，随意两边同时除以含未知数的代数式 易错提醒 易错总结：因式分解解方程时，方程两边同时除以含有未知数的因式，直接丢掉一个根，出现漏根情况。 处理方法：因式分解法必须先移项，使方程右边等于0，左边分解成因式乘积，再令每一个因式等于0求解，禁止两边同除含有未知数的式子。 【对点训练】 13．若分式的值为0，则x的值为（     ） A．或2 B．0 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得且， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴ ， ∴ . 14．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 15．已知代数式和的值互为相反数，求的值． 【答案】， 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 因式分解，得， 即或， 解得，． 易错点6 应用题求解后不检验实际意义 易错提醒 易错总结：解出一元二次方程的根之后，直接全部当作答案，不结合实际情境，保留负数、大于实际意义的解。 处理方法：应用题求出方程的解之后，要检验解是否符合现实意义，边长、增长率不能为负，舍去不符合题意的根再作答。 【对点训练】 16．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 17．（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 18．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 【答案】A 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，； ∵每件盈利不少于25元， ∴，即， ∴． 1．方程的解为_____． 【答案】， 【详解】解：， ， ，， ，． 2．方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 【答案】 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ． 方程有两个相等的实数根， ， 变形得， 解得或， 又， ． 4．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 5．已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 【答案】 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 6．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 7．如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 将代入关于的方程， 可得， 解得． 故选：B． 8．方程的解为___________． 【答案】， 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 9．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 10．解方程： (1)， (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， 因式分解，得， 或， ， 11．阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 12．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【答案】 ；；；；；；；；； 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 13．对于实数a、b，新定义一种运算“※”，． 例如：∵，∴． (1)计算：______，______； (2)若x※2与3※x的值相等，求x的值． 【答案】(1)，6 (2)1或或4 【分析】 【详解】（1）解：2※； ． 故答案为，6； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解一元二次方程． 14．在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， (1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； (2)你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 【答案】(1)乙，常数项移到方程右边时未变号 (2)解：利用公式法： ，，， ， ， ，． 【详解】（1）解：乙，常数项移到方程右边时未变号； （2）解：略 15．小李解方程的过程如下： 解：方程的两边同除以，得，解得． 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程． 【答案】两边同除以时，未考虑到可能为． 正确解答：， 移项，得， 提取公因式，得，即， 或， 解得，． 【详解】略 16．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 17．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 18．目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ 【答案】(1)9000元 (2)10元 【分析】 【详解】（1）解：∵原来的销售额为元，增加了1000元， ∴降价后，草莓园当天的销售额为（元）； （2）解：设草莓园采摘套票降价了x元，根据题意得： ， 解得：，， 当降价为50元时，票价为（元）， ∵， ∴此时小于成本价，降价措施不合理， ∴舍去， 答：降价了10元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程 知识点一、一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.核心判定条件，需同时满足三点：第一，方程为整式方程，等号两边均为整式，分母中不含有未知数；第二，方程仅含一个未知数；第三，未知数的最高次数是2。 3.判定注意事项：判断方程是否为一元二次方程，需先将方程化简整理，再核对五大核心要点，分别是化简后、单个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0、整式方程。 4.一般形式：任意一元二次方程整理后均可化为。其中为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 5.关键细节：一次项系数和常数项可取任意实数，二次项系数必须不为0，若，方程无二次项，不再是一元二次方程。确定各项系数前，必须先将方程化为标准一般形式。 知识点二、一元二次方程的解（根） 1.定义：能够使一元二次方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也可称为方程的根。 2.根的基本性质：一元二次方程一定有两个根，但不一定是两个实数根。若是方程的两个实数根，则满足、，可利用该性质求解参数、代数式的值。 知识点三、一元二次方程的四种解法 1.直接开平方法 适用题型：仅适用于可化为或形式的一元二次方程。 求解方法：若方程为，则；若方程为，则，进而解出未知数。 核心要点：等号左侧必须是完整的平方形式，右侧为非负数；解题本质是降次，将二次方程转化为两个一元一次方程求解，依据平方根的定义运算。若右侧数值小于0，方程无实数根。 2.配方法 核心原理：将一元二次方程通过恒等变形，配成的完全平方式，再结合直接开平方法求解。 解题步骤：第一，将方程整理为一般形式；第二，方程两边同除以二次项系数，使二次项系数化为1，并将常数项移至方程右侧；第三，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；第四，将左侧整理为完全平方式，右侧合并为常数；第五，若右侧常数非负，开平方求解，若右侧为负数，方程无实数根。 3.公式法 求根公式：对于一元二次方程，当判别式时，方程的根为。 解题步骤：第一，将方程化为标准一般形式，准确确定的数值（注意正负符号）；第二，计算判别式，若，方程无实数根；第三，若，将代入求根公式，计算得出方程的实数根。 适用条件：必须同时满足二次项系数、判别式两个条件。 4.因式分解法 核心原理：解一元二次方程最简便、最常用的方法，核心思想为降次转化。先将方程移项，使等式右侧为0，再将左侧多项式因式分解，化为两个一次因式相乘的形式，令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程求解。 解题步骤：第一，移项整理，使方程右边恒为0；第二，对方程左侧的整式进行因式分解，拆解为两个一次因式的乘积；第三，分别令两个因式等于0，得到两个一元一次方程；第四，求解一元一次方程，所得根即为原一元二次方程的根。 知识点四、一元二次方程的实际应用 1.通用解题步骤：仔细审题，梳理题目已知条件与等量关系，合理设未知数，根据等量关系列出一元二次方程，解方程求出未知数的值，检验解的合理性（舍去不符合实际意义的解），最后规范作答。 2.常见应用题型 数字问题：若一个两位数的十位数字为，个位数字为，则该两位数可表示为，可结合数字倍数、和差关系列方程求解。 增长率问题：增长率计算公式为增长率=增长数量/原数量×100%。设初始量为，平均增长百分率为，则一次增长后数值为，两次增长后数值为，递减问题同理可将加号改为减号。 几何形积问题：利用几何图形的边长、面积、体积公式，或勾股定理、相似三角形比例关系建立等量等式，列出一元二次方程，求解图形边长、面积等未知量，解题后需结合图形边长为正的实际条件检验结果。 易错点1 忽略一元二次方程二次项系数 易错总结：判断方程是不是一元二次方程、含参数题目中，常常直接看未知数最高次数为2，忘记二次项系数不能等于0；当题目没有明确说明是一元二次方程时，直接默认，造成答案出错。 处理方法：判定一元二次方程或者求解参数后，必须检验二次项系数；若题目未指明是一元二次方程，要分和两种情况分类讨论。 【对点训练】 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 2．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 3．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 易错点2 直接开平方法忽略正负号以及右边非负条件 易错总结：对、开平方，只写正根漏掉负根；没有注意时方程没有实数根，依旧强行计算求根。 处理方法：当时，解为，解为；若，直接判定方程无实数根。 【对点训练】 4．方程的根为________． 5．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 易错点3 配方法时，二次项系数不为1直接加一次项系数一半的平方 易错总结：原方程二次项系数不是1，没有先除以二次项系数，就直接两边加上一次项系数一半的平方，等式变形错误。 处理方法：配方法第一步，先化为一般形式，方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1之后，再两边加上一次项系数一半的平方。 【对点训练】 7．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 8．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 9．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 易错点4 公式法忽略判别式的前提条件 易错总结：直接代入求根公式，不计算判别式；当，仍然计算实数根，忘记此时方程无实数根。 处理方法：求根公式使用前提是且；先算判别式，直接写方程无实数根，不再代入公式计算。 【对点训练】 10．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 11．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m的取值范围是 _______． 12．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 易错点5 因式分解法解方程，随意两边同时除以含未知数的代数式 易错总结：因式分解解方程时，方程两边同时除以含有未知数的因式，直接丢掉一个根，出现漏根情况。 处理方法：因式分解法必须先移项，使方程右边等于0，左边分解成因式乘积，再令每一个因式等于0求解，禁止两边同除含有未知数的式子。 【对点训练】 13．若分式的值为0，则x的值为（     ） A．或2 B．0 C．2 D． 14．方程的根是（     ） A． B． C． D． 15．已知代数式和的值互为相反数，求的值． 易错点6 应用题求解后不检验实际意义 易错总结：解出一元二次方程的根之后，直接全部当作答案，不结合实际情境，保留负数、大于实际意义的解。 处理方法：应用题求出方程的解之后，要检验解是否符合现实意义，边长、增长率不能为负，舍去不符合题意的根再作答。 【对点训练】 16．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 18．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 1．方程的解为_____． 2．方程的解是（） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 4．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 5．已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 6．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 7．如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．方程的解为___________． 9．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 10．解方程： (1)， (2)． 11．阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 12．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 13．对于实数a、b，新定义一种运算“※”，． 例如：∵，∴． (1)计算：______，______； (2)若x※2与3※x的值相等，求x的值． 14．在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， (1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； (2)你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 15．小李解方程的过程如下： 解：方程的两边同除以，得，解得． 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程． 16．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 17．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 18．目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $