2.2.1 向量的加法运算（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦向量的加法运算，涵盖定义、三角形法则、平行四边形法则、特殊向量相加及运算律。通过“连续位移合成”实际问题导入，从生活情境抽象数学概念，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以渡轮速度、零件位移等实际情境为载体，发展直观想象和数学建模素养，通过即时练习、例题及课堂背诵强化作图法则与运算律，小结用表格系统梳理知识。学生能提升数学运算能力，教师可借助结构化资源高效教学。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法运算 学习目标 1．理解向量的和、向量加法、三角形法则和平行四边形法则，掌握特殊向量相加及交换律、结合律。 2．能根据向量位置选择作图法则，利用首尾相接和运算律进行简单化简，并解决位移、速度等合成问题。 3．经历从实际情境抽象向量加法、由图形归纳法则并解释实际问题的过程，发展直观想象、数学运算和数学建模素养。 连续位移怎样合成？ 小张从昆明A经重庆B到成都C，接连两次位移向量、的结果，与从A直接到C的位移向量有什么关系？ 答案：两次位移的结果与直接位移相同，向量=向量+向量。 解析：连续位移首尾相接，合位移由最初起点A指向最终终点C。 连续位移的结果可概括为两个向量相加。 向量的和与三角形法则 一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量、，在平面上任取一点A，依次作向量=、向量=，称向量为与的和，也称向量为与的和向量，记作+。 求两个向量的和的运算称为向量的加法。 上述借助三角形作出和向量的方法，称为向量加法的三角形法则。 ● A ● B ● C 即时练习：首尾相接 （1）已知 ，向量 由哪条有向线段表示？ 答案： 解析：两题都直接应用三角形法则：起点为首个向量起点，终点为末个向量终点。 （2）依次首尾相接 ， 等于什么？ 答案： 解析：两题都直接应用三角形法则：起点为首个向量起点，终点为末个向量终点。 平行向量与特殊向量相加 平行的非零向量也按首尾相接确定和。 多个向量相加 各个向量首尾相接，和向量由首个起点指向末个终点。 首个起点 末个终点 即时练习：特殊情形与多向量 （1）填空： 。 （2）化简： 答案： 解析：先使用零向量与相反向量的规定，再应用多个向量首尾相接的几何意义。 例1：平行四边形中的向量表示 如图2-23所示，在平行四边形ABCD中用向量、表示向量。 观察图形，先用三角形法则表示，再利用平行四边形的边关系。 例1：平行四边形法则 ● A ● B ● C ● D 答案：向量=向量+向量。 解析：先由三角形法则得向量=向量+向量，再用平行四边形中向量=向量替换。 以两个共起点的非零向量为邻边作平行四边形，以该起点为起点的对角线向量是两向量的和。 向量加法的运算律 交换律 结合律 交换律用于调整加数顺序，结合律用于改变括号位置。 即时练习：两种作图法 （1）已知 ，以 为邻边作平行四边形OACB，哪条向量表示 ？ 答案： 解析：共起点的两个向量以邻边作平行四边形时，对角线向量为和；首尾相接对应三角形法则。 （2）若要求用首尾相接的方法作 ，应选用什么法则？ 答案：（2）三角形法则 解析：共起点的两个向量以邻边作平行四边形时，对角线向量为和；首尾相接对应三角形法则。 即时练习：交换律与结合律 （1）填空： （2）填空： 。 解析：分别对应向量加法交换律和结合律。 例2：用三角形法则作和 已知向量、，请分别用三角形法则和平行四边形法则作向量+。 ● O ● A ● B 例2：用平行四边形法则作和 三角形法则 ● O ● A ● B 平行四边形法则 ● E ● F ● G ● H 答案：三角形法则：首尾相接，起点指向终点。平行四边形法则：共起点作邻边，以同一起点出发的对角线表示和。 解析：两种作法得到同一个和向量，区别在于给定向量的摆放方式和辅助图形。 例3：渡轮实际航行速度 渡轮静水速度为12 km/h、方向正北，水流速度为5 km/h、方向正东，求实际航行速度。 静水速度：12 km/h，方向正北 水流速度：5 km/h，方向正东 实际航行速度的大小与方向？ 例3：解答 ● A ● B ● C ● D 用平行四边形法则作合速度。 答案：大小13 km/h，方向北偏东约22°37′。 解析：用平行四边形法则作合速度；勾股定理求大小13；由tanθ=5/12求方向角。 即时练习：位移与合力 （1）一个零件先向东移动3 mm，再向北移动4 mm，合位移大小是多少？ 答案：（1）5 mm 解析：（1）用三角形法则和勾股定理；（2）平行且同向的向量首尾相接，大小相加。 （2）两个同向的力大小分别为4 N和6 N，它们的合力大小和方向怎样？ 答案：（2）10 N，方向与两个力相同 解析：（1）用三角形法则和勾股定理；（2）平行且同向的向量首尾相接，大小相加。 课堂背诵：向量加法与三角形法则 说出向量加法的含义，并用“首尾相接、起点、终点”完整表述三角形法则。 求两个向量的和 首尾相接 首个起点→末个终点 答案：求两个向量的和的运算称为向量的加法；作图时把两个向量首尾相接，由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量就是它们的和。 解析：背诵评价同时检查术语和和向量方向，不能只说“连起来”。 课堂背诵：特殊向量与多个向量 说出零向量、相反向量参与加法的两个等式，并表述多个向量首尾相接时怎样确定和向量。 零向量 相反向量 首个起点→末个终点 答案：+0=0+=；+(-)=0；多个向量首尾相接时，由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量为和向量。 解析：评价要点是两个等式完整、起点与终点方向准确。 课堂背诵：平行四边形法则与运算律 说出平行四边形法则及向量加法的交换律、结合律。 共起点、邻边、对角线 交换律 结合律 答案：以两个共起点的非零向量为邻边作平行四边形，以该起点为起点的对角线向量是两向量的和；+=+；+(+)=(+)+。 解析：平行四边形法则必须说清共起点、邻边和对角线方向；两个运算律等式不得缺项。 师生互动：两种法则与首尾顺序 1．同一组向量、分别用三角形法则和平行四边形法则作和，所得和向量是否相同？两种作法的关键区别是什么？ 答案：所得和向量相同；三角形法则把向量首尾相接，平行四边形法则把两个向量移到同一起点并作为邻边。 解析：向量的位置可以平移而大小、方向不变，两种法则只是作图组织不同。 2．为什么向量+向量可以直接写成向量，而向量+向量不能照此写成向量？ 答案：前式中的终点B是的起点，满足首尾相接；后式中和的终点都在B，不满足该首尾顺序。 解析：判断能否直接合并时应逐项核对前一个向量终点与后一个向量起点。 逐项核对前一向量的终点与后一向量的起点。 课堂练习（一）：首尾相接 1．若向量=，向量=，则+等于（ ）。A.向量 B.向量 C.向量 D.向量 答案：B 解析：向量与向量首尾相接，和向量由A指向C。 2．判断并说明理由：向量+向量=向量。 答案：错误。向量与向量不满足首尾相接，不能直接合并为向量。 解析：向量的起点是C、终点是B；前一向量的终点B并不是后一向量的起点C。 课堂练习（二）：平行四边形与运算律 3．已知向量=、向量=，以、为邻边作平行四边形OACB。用、表示向量。 答案：向量=+。 解析：以共起点向量、为邻边，起点O指向对角顶点C的向量为它们的和。 4．判断等式+(+)=(+)+是否成立，并说明依据。 【答案】成立。利用结合律和交换律：+(+)=(+)+=+(+)=(+)+ 【解析】依次用结合律改变括号位置，再用交换律调整加数顺序。 课堂练习（三）：化简与实际应用 1．化简：向量+向量+向量+向量。 答案：向量。 解析：四个向量依次首尾相接，和向量从首个起点P指向末个终点T。 2．传送带把工件先向东输送2 m，又沿同一方向输送3 m。写出合位移的大小和方向，并说明所用方法。 答案：合位移大小为5 m，方向向东；使用平行同向向量首尾相接的加法。 解析：两个位移同向且首尾相接，和向量方向不变，大小为2+3=5。 课堂小结 归纳项目 学生补全 参考答案 向量加法的含义 ________ 三角形法则关键词 ________ 平行四边形法则关键词 ________ 特殊向量等式 ________ 多个向量的和 ________ 交换律 ________ 结合律 ________ 求两个向量的和的运算 首尾相接，首个起点指向末个终点 共起点、邻边、对角线 +0=0+=；+(-)=0 首个起点指向末个终点 +=+ +(+)=(+)+ 概念—作图法则—特殊情形—运算律 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $