2.2.1 向量的加法运算（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学教案聚焦向量的加法运算，以昆明到重庆再到成都的连续位移情境导入，承接向量概念、相等向量等旧知，为向量减法及坐标运算奠定基础，构建知识支架。 亮点在于通过情境抽象发展数学眼光，对比三角形与平行四边形法则培养数学思维，结合渡轮速度合成等实例强化数学语言，讲练结合与即时练习助学生提升直观想象和数学运算能力，教师易上手且课堂效率高。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法运算 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材由昆明—重庆—成都连续位移情境出发，先借三角形中首尾相接的有向线段定义向量的和与向量加法，随后讨论平行向量、零向量和相反向量参与加法及多个向量相加的几何意义；再由例1归纳平行四边形法则，给出交换律、结合律，并通过例2比较两种作图法，最后用例3把向量加法用于速度合成。 本课承接向量概念、相等向量和平行向量等知识，是建立向量线性运算体系的起点。掌握两种作图法、特殊情形和运算律后，可继续学习向量减法及后续坐标、数量积等运算，并为解决位移、速度等实际合成问题奠定基础。 学情分析 学生已经理解向量由大小和方向确定，能够用有向线段表示向量，并具备平行四边形、勾股定理和锐角三角函数等基础。学习向量加法时，容易忽略首尾顺序、混淆和向量的起点与终点，或只会记忆法则而不能根据向量位置选择作图方法。教学中应借连续位移和速度合成建立直观联系，通过两种法则对照、口头复述和即时练习强化规范表达。 教学目标 1．理解向量的和、向量加法、三角形法则和平行四边形法则，掌握零向量、相反向量参与加法的规定以及向量加法交换律、结合律。 2．能根据向量的位置关系选择合适法则作和向量，能利用首尾相接和运算律进行简单化简，并解决位移、速度等合成问题。 3．经历从实际情境抽象向量加法、由图形归纳法则并用于解释实际问题的过程，发展直观想象、数学运算和数学建模素养。 教学重难点 教学重点：向量加法的三角形法则、平行四边形法则及向量加法运算律。 教学难点：准确确定和向量的起点、终点与方向，并根据具体情形选择作图法则解决问题。 教学方法 情境问题法、直观演示法、讲练结合法、对比归纳法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 情境与问题 小张乘飞机从昆明到重庆，再由重庆到成都。把昆明、重庆、成都分别记为点A、B、C，飞机两段航程产生连续位移。 两个位移、的结果与从直接到的位移有什么关系？ 【答案】连续位移的结果与直接位移相同，即。 【解析】两个位移首尾相接，合位移由起点指向终点。 教师引导学生把连续位移的结果概括为两个向量相加，明确本课要研究和向量的作法、运算规律及实际意义。 以连续位移构成问题—观察—回答—归纳闭环，从实际结果自然抽象向量的和。 新知讲授 一、向量和、三角形法则与特殊向量相加 一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量、，在平面上任取一点，依次作，，得到一个三角形，称为与的和，也称为与的和向量，记作。 求两个向量的和的运算称为向量的加法。 上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则。 因此，和向量的方向是从首个向量起点指向末个向量终点。 平行的非零向量也按首尾相接确定和；并规定，。 表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义。 即时练习1　（1）已知、，向量由哪条有向线段表示？（2）依次首尾相接、，等于什么？ 【答案】（1）；（2）。 【解析】两题都直接应用三角形法则：起点为首个向量起点，终点为末个向量终点。 即时练习2　（1）填空：，。（2）化简：。 【答案】（1），；（2）。 【解析】先使用零向量与相反向量的规定，再应用多个向量首尾相接的几何意义。 二、平行四边形法则与向量加法运算律 例1　如图2-23所示，在平行四边形ABCD中用向量AB、AD表示向量AC。 解　根据向量加法的三角形法则，。 在平行四边形中，，所以。 一般地，给定两个非零向量与，以线段和为邻边作平行四边形，则就是与的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则。 向量加法满足交换律与结合律：；。 例2　已知向量、，如图2-24(1)所示。请分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量。 解　三角形法则：任取点，作、，则。 平行四边形法则：任取点，作、，以、为邻边作平行四边形，连接，则。 即时练习3　（1）、，以、为邻边作平行四边形，哪条向量表示？（2）若要求用首尾相接的方法作，应选用什么法则？ 【答案】（1）；（2）三角形法则。 【解析】共起点的两个向量以邻边作平行四边形时，对角线向量为和；首尾相接对应三角形法则。 即时练习4　（1）填空：。（2）填空：。 【答案】（1）；（2）。 【解析】分别对应向量加法交换律和结合律。 三、向量加法的实际应用 例3　一艘渡轮要从南岸到北岸，它在静水中速度的大小为12 km/h，方向正北。若水流速度的大小为5 km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度。 【答案】渡轮实际航行速度大小为13 km/h，方向为北偏东约22°37′。 【解析】用表示渡轮在静水中的速度，用表示水流速度，以、为邻边作平行四边形，为实际航行速度。 在直角三角形中， km/h。 ，。 即时练习5　（1）一个零件先向东移动3 mm，再向北移动4 mm，合位移大小是多少？（2）两个同向的力大小分别为4 N和6 N，它们的合力大小和方向怎样？ 【答案】（1）5 mm；（2）10 N，方向与两个力相同。 【解析】（1）用三角形法则和勾股定理；（2）平行且同向的向量首尾相接，大小相加。 以图示串联定义、两种法则、运算律与实际应用，并用即时练习反馈。 课堂背诵 合上教材，完成核心表述检查。 1．说出向量加法的含义，并用“首尾相接、起点、终点”完整表述三角形法则。 【答案】求两个向量的和的运算称为向量的加法；作图时把两个向量首尾相接，由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量就是它们的和。 【解析】背诵评价同时检查术语和和向量方向，不能只说“连起来”。 2．说出零向量、相反向量参与加法的两个等式，并表述多个向量首尾相接时怎样确定和向量。 【答案】；；多个向量首尾相接时，由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量为和向量。 【解析】评价要点是两个等式完整、起点与终点方向准确。 3．说出平行四边形法则及向量加法的交换律、结合律。 【答案】以两个共起点的非零向量为邻边作平行四边形，以该起点为起点的对角线向量是两向量的和；；。 【解析】平行四边形法则必须说清共起点、邻边和对角线方向；两个运算律等式不得缺项。 用三组完整复述检查定义、特殊情形、两种法则和运算律，强化关键词与规范表达。 师生互动 两种法则比较与首尾顺序辨析 1．同一组向量、分别用三角形法则和平行四边形法则作和，所得和向量是否相同？两种作法的关键区别是什么？ 【答案】所得和向量相同；三角形法则把向量首尾相接，平行四边形法则把两个向量移到同一起点并作为邻边。 【解析】向量的位置可以平移而大小、方向不变，两种法则只是作图组织不同。 2．为什么可以直接写成，而不能照此写成？ 【答案】前式中的终点是的起点，满足首尾相接；后式中和的终点都在，不满足该首尾顺序。 【解析】判断能否直接合并时应逐项核对前一个向量终点与后一个向量起点。 学生先独立判断，再同桌说明依据；教师根据回答追问“起点在哪里、终点在哪里”，纠正只看字母是否相同的判断方式。 用同一和向量的两种作法与一组易错式对照，诊断法则选择和首尾顺序理解。 课堂练习 完成下列6题，写出必要的判断或说明。 1． 若，，则等于（　）。 A．　B．　C．　D． 【答案】B。 【解析】与首尾相接，和向量由指向。 2．判断并说明理由：。 【答案】错误。与不满足首尾相接，不能直接合并为。 【解析】的起点是、终点是；前一向量的终点并不是后一向量的起点。 3．已知、，以、为邻边作平行四边形。用、表示。 【答案】。 【解析】以共起点向量、为邻边，起点指向对角顶点的向量为它们的和。 4．判断等式是否成立，并说明依据。 【答案】成立。利用结合律和交换律：。 【解析】依次用结合律改变括号位置，再用交换律调整加数顺序。 5．化简：。 【答案】。 【解析】四个向量依次首尾相接，和向量从首个起点指向末个终点。 6．传送带把工件先向东输送2 m，又沿同一方向输送3 m。写出合位移的大小和方向，并说明所用方法。 【答案】合位移大小为5 m，方向向东；使用平行同向向量首尾相接的加法。 【解析】两个位移同向且首尾相接，和向量方向不变，大小为。 六题覆盖首尾相接、平行四边形法则、运算律、化简和实际位移，分层反馈课堂达标情况。 课堂小结 完成课堂小结表。 归纳项目 学生补全 参考答案 向量加法的含义 ________ 求两个向量的和的运算 三角形法则关键词 ________ 首尾相接，首个起点指向末个终点 平行四边形法则关键词 ________ 共起点、邻边、对角线 零向量与相反向量 ________ ； 多个向量首尾相接的和 ________ 首个起点指向末个终点 交换律 ________ 结合律 ________ 教师引导学生按“含义—作图法则—特殊情形—运算律”回顾，并检查首尾顺序。 用七项表格填空建立概念、法则、特殊情形和运算律之间的联系，形成可复用的知识框架。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本节课从连续位移入手，学生可借助图形理解和向量，并在两种作图法比较中明确首尾相接、共起点和对角线等关键词。后续可优化例题与即时练习衔接，增加学生上台作图、口头说明起点与终点的机会，并用短式化简开展同桌互检，促进几何直观、符号表达与实际应用相互联系。 学科网（北京）股份有限公司 $