2.1 向量之间的基本关系（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦平面向量中相等、相反、平行（共线）向量的概念及零向量特殊规定，通过教材图2-4四组向量的模与方向比较导入，衔接向量的模和方向旧知，自然引出向量关系分类，搭建知识学习支架。 此资料以问题探究和直观演示为特色，通过即时检查、例3综合应用、小组合作找三角形中位线图中向量关系等环节，培养数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。学生在规范表达理由中深化理解，教师可依托清晰流程高效教学，助力夯实向量基础。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第二章 平面向量 2.1 向量的概念——向量之间的基本关系 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材承接向量由大小和方向确定、向量的模及几何表示，以例2图2-4中的四组向量比较为起点，先从模和方向的同异形成相等向量与相反向量，再由方向相同或相反概括平行向量，并通过平移说明平行向量也称共线向量，最后在平行四边形中综合辨认三类关系。 本课完成2.1的概念体系，使学生能够依据模和方向准确描述向量之间的关系，为向量加减法、数乘、内积、坐标表示以及用向量研究直线位置关系奠定概念基础。 学情分析 学生已经理解向量由大小和方向确定，能够从有向线段和方格纸中读取模与方向；但判断向量关系时容易只看模或只看方向，把平行误认为同向，把表示向量的有向线段位置当成向量本身，并忽略零向量的特殊规定。教学中应坚持“先比较方向，再按需要比较模”，借图形平移和反例辨析形成稳定判断方法。 教学目标 1．理解相等向量、相反向量、平行向量和共线向量的概念及记法，掌握零向量的两个特殊规定。 2．能依据向量的模和方向判断两个向量的基本关系，并能在平行四边形、三角形等图形中规范写出符合条件的向量。 3．通过观察、比较、平移和理由说明，形成从图形特征抽象向量关系的能力，提升数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点：相等向量、相反向量、平行（共线）向量的定义、记法及零向量规定。 教学难点：同时依据模和方向准确判断向量关系，理解平行向量允许反向且与表示位置无关。 教学方法 问题探究法、直观演示法、对比归纳法、合作交流法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察图2-4，比较向量的模和方向。 教师引导学生回顾例2中各向量的模和方向，说明这幅图中的有向线段虽然位置不同，但向量之间的关系仍由大小和方向确定。 1．向量与之间有什么关系？ 【答案】模相等，但是方向不同，它们是不同的向量。 【解析】仅有模相等不能判定两个向量相等。 2．向量与之间有什么关系？ 【答案】模不相等，但是方向相同，它们是不同的向量，同时是平行向量。 【解析】方向相同的两个非零向量平行，但模不同不能相等。 3．向量与之间有什么关系？ 【答案】模相等且方向相同，是相等向量。 【解析】向量由大小和方向确定，与表示它的有向线段所在位置无关。 4．向量与之间有什么关系？ 【答案】模相等、方向相反，互为相反向量，同时是平行向量。 【解析】判断向量关系需要把模和方向结合起来比较。 教师归纳：不同的模和方向组合会形成不同的向量关系，本课将依次给出这些关系的准确名称和判断标准。 复用学生熟悉的教材图，通过四组模与方向比较形成认知需要，自然引出向量关系的分类标准。 新知讲授 一、相等向量 一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量。 向量与相等时，记作。 相等向量只比较大小和方向，不比较表示它们的有向线段起点或所在位置。把一个向量平移后，只要长度和箭头方向不变，所得向量与原向量相等。 即时检查1：判断：“两个向量的模相等，它们一定是相等向量。” 【答案】错误。 【解析】相等向量还必须方向相同。 即时检查2：把一个向量平移到另一位置，保持长度和箭头方向不变，所得向量与原向量是否相等？ 【答案】相等。 【解析】两个向量模相等、方向相同，向量关系与表示位置无关。 二、相反向量 与非零向量的模相等、方向相反的向量称为的相反向量，记作。 规定：零向量的相反向量仍是零向量。 非零向量与它的相反向量模相等、方向相反；相反关系是相互的。 即时检查3：点、不重合，向量与是否互为相反向量？ 【答案】是。 【解析】两向量模相等，方向相反。 即时检查4：零向量的相反向量是什么？ 【答案】仍是零向量。 【解析】这是教材对零向量相反关系的规定。 三、平行向量与共线向量 观察图2-4可见，有些向量方向相同，有些方向相反，但表示它们的有向线段所在直线互相平行。 一般地，方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量。 当向量与平行时，记作。 规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量，都有。 温馨提示 ，，。 任意一组平行向量都可以平移到同一直线上。因此，平行向量也称共线向量。 这里的“共线”是指向量经过平移后可以位于同一直线上，不要求原来表示向量的有向线段就在同一直线上。 即时检查5：两个非零向量方向相同、模不相等，它们是否平行？ 【答案】平行。 【解析】平行向量只要求方向相同或相反，不要求模相等。 即时检查6：零向量是否与任意向量共线？ 【答案】是。 【解析】零向量与任何向量平行，而平行向量也称共线向量。 知识检测：填空。 模相等、方向相同的两个向量是____向量；模相等、方向相反的两个非零向量互为____向量；方向相同或相反的两个非零向量是____向量。 【答案】相等；相反；平行。 【解析】三空依次对应三类向量关系定义。 例3 如图2-6所示，点O为平行四边形ABCD对角线的交点。 1．写出向量的平行向量； 2．写出与向量相等的向量； 3．写出向量的相反向量。 分析：由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。 解：（1）向量的平行向量有、、。 （2）与向量相等的向量只有。 （3）向量的相反向量有、。 【答案】（1）、、；（2）；（3）、。 【解析】先用平行四边形的边、对角线性质确定模和方向，再按三类定义逐项判断。 按相等、相反、平行的依赖顺序形成定义，用平移解释共线含义，再以教材例3综合应用判断标准。 课堂背诵 合上教材，完成四项核心表述检查。 1．补全相等向量的定义和记法。 【答案】模相等且方向相同的两个向量称为相等向量；向量a与b相等时，记作a=b。 【解析】关键词是“模相等、方向相同”。 2．补全相反向量的定义及零向量规定。 【答案】与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作-a；零向量的相反向量仍是零向量。 【解析】定义对象是非零向量，零向量另有规定。 3．补全平行向量的定义、记法及零向量规定。 【答案】方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量，记作a∥b；零向量与任何一个向量平行。 【解析】平行允许同向或反向，零向量按规定处理。 4．平行向量为什么也称共线向量？ 【答案】任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也称共线向量。 【解析】共线描述的是平移后可以位于同一直线，不要求原有向线段在同一直线上。 用定义补全和理由复述检查学生是否准确记住关键词、符号与零向量的特殊规定。 师生互动 教材练习2.1第5题：小组找向量并说明依据 如图2-13所示，点D、E、F分别是三角形ABC各边的中点，连接DE、DF、EF。学生先独立观察，再在小组内逐项核对方向和长度，代表汇报答案与理由。 1．写出向量的共线向量。 【答案】、、、、、、。 【解析】这些向量所在直线与平行，方向可以相同或相反。 2．写出与向量相等的向量。 【答案】、。 【解析】三角形中位线与平行且等于的一半，、与模相等、方向相同。 3．写出向量的相反向量。 【答案】、、。 【解析】这些向量与模相等、方向相反。 教师归纳：识图时先确定方向关系，再利用中点和中位线性质比较长度；只有模和方向都符合，才能写入答案。 用同构三角形任务组织独立观察与小组互检，在理由表达中诊断只看方向或只看长度的错误。 课堂练习 完成下列6题，并对第1、6题说明理由。 1．判断：两个单位向量一定是相等向量。 【答案】错误。 【解析】单位向量的模都为1，但方向可能不同。 2．判断：向量与向量相等。 【答案】错误。 【解析】当、不重合时，两向量模相等、方向相反，互为相反向量。 3．判断：方向分别为竖直向下和竖直向上的两个力是共线向量。 【答案】正确。 【解析】两个非零向量方向相反，属于平行向量，也称共线向量。 4．判断：零向量与任一向量共线。 【答案】正确。 【解析】零向量与任何向量平行，平行向量也称共线向量。 5．判断：一人向左走5 m的位移和向右走5 m的位移是一对相反向量。 【答案】正确。 【解析】两个位移模相等、方向相反。 6．判断：若向量∥，∥，则∥。 【答案】错误。 【解析】当为零向量时，、都与平行，但与不一定平行。 以连续判断形成基础达标检测，并用零向量反例提升条件意识，便于集中反馈典型错误。 课堂小结 学生从“模、方向、特殊规定”三个方面概括本课。 问题：相等向量、相反向量、平行向量分别怎样判断？零向量有哪些特殊规定？ 【答案】相等向量模相等、方向相同；相反向量模相等、方向相反；平行向量方向相同或相反，不要求模相等；零向量的相反向量仍是零向量，零向量与任何向量平行。 【解析】判断时先比较方向，再按需要比较模，最后检查零向量规定；向量关系与表示位置无关。 教师补充：任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也称共线向量。 用统一判断框架整理三类关系和零向量规定，回应导入比较，形成可迁移的识别方法。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本节课由图2-4的四组比较引出三类向量关系，学生能够借助模和方向完成多数判断，但在“平行允许反向”“共线不要求原有向线段位于同一直线”以及零向量规定上仍可能出现混淆。教学中应关注例3和三角形互动题的表达质量，适当增加平移演示和反例追问，并根据课堂作答情况调整基础判断与综合识图的衔接，使定义记忆、图形辨认和理由说明同步落实。 学科网（北京）股份有限公司 $