2.1 向量及其几何表示（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦向量的概念，通过海洋科考船航行情境导入，引导学生从位移、力等实例中区分数量与向量，逐步构建向量的模、单位向量、零向量等概念，结合有向线段几何表示形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，如用科考船问题揭示向量的方向与大小要素，通过概念辨析表和即时检查培养数学思维，例题结合比例尺和方格纸强化数学运算与直观想象。采用情境教学与例题解析结合的方法，帮助学生发展核心素养，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第二章 平面向量 2.1 向量的概念 向量及其几何表示 学习目标 1．结合航行、位移和力等情境，理解向量是既有大小又有方向的量，能区分数量与向量。 2．理解向量的模、单位向量、零向量和有向线段，掌握零向量方向的规定，能规范读写向量及其模。 3．能用有向线段表示向量，并能根据比例尺或方格纸求简单向量的模、判断方向，发展数学抽象、直观想象和数学运算素养。 向量：从力的表示到现代应用 约公元前350年 亚里士多德认为力可以表示成向量。 约17世纪 牛顿最先使用有向线段表示向量。 20世纪以来 向量成为重要数学工具，广泛应用于机械设计与控制、卫星定位等领域。 本章将学习什么 引入向量后，平行、平移、垂直、距离、夹角等几何问题可以借助向量运算处理，体现“数形结合”思想。 概念 线性运算 内积 坐标表示 运用向量知识解决平面内两条直线位置关系的相关问题。 培养直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 相同航程，为什么不能到达同一点？ 某海洋科考船从点A沿东北方向航行100 n mile到达点B。如果船沿其他方向航行100 n mile，能不能到达点B呢？ 答案：不能。 解析：到达点B的位移既要有100 n mile这一大小，还要有从A指向B的东北方向。航程相同而方向改变，终点会改变。 大小与方向共同确定向量 数量与向量 数量 在给定了单位后，用实数就可以表示出来。 示例：质量5 kg、温度20 ℃。 向量 必须同时说明大小和方向。 示例：向东3 m的位移、竖直向下10 N的力。 在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量。 a、b 向量的记法 同一个向量可用印刷体或手写体表示。 （1）印刷体：小写黑体英文字母 （2）手写体：在字母上方加箭头 即时检查：数量还是向量 1．下列量中，哪些是数量，哪些是向量：质量5 kg、温度20 ℃、向东的位移3 m、竖直向下的力10 N？ 答案：质量5 kg、温度20 ℃是数量；向东的位移3 m、竖直向下的力10 N是向量。 解析：只需大小即可确定的是数量；必须同时说明大小和方向才能确定的是向量。 2．只说“速度为80 km/h”，能否完整表示一辆汽车向东行驶的速度？ 答案：不能。 解析：80 km/h只给出了速度的大小，没有给出向东这一方向，不能完整确定速度向量。 向量的模、单位向量和零向量 向量的模 向量a的大小也称为向量a的模。 单位向量 模为1的向量称为单位向量。 零向量 规定：模为零的向量为零向量。零向量的方向是任意的。 0 即时检查：单位向量与零向量 1．已知向量a的模为1，向量b的模为3，哪个是单位向量？ 答案：向量a是单位向量。 解析：单位向量的判定标准是模等于1，与具体方向无关。 2．判断：“零向量没有方向”是否正确。 答案：不正确。 解析：教材规定零向量的方向是任意的，不能表述为没有方向。       有向线段 一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段。 起点A—终点B 起点写在前，终点写在后。 AB 向量的几何表示 有向线段的长度 表示向量的大小 有向线段的方向 表示向量的方向 即时检查：按单位长度表示力 用1 cm表示5 N，画一个方向水平向右、大小为15 N的力向量，有向线段应画多长？箭头指向哪里？ 答案：有向线段长3 cm，箭头水平向右。 解析：15÷5=3，长度表示大小；箭头指向表示方向。 3 cm 例1：冰球位移 图2-3(1)是按1∶1000比例尺绘制的甲运动员带球、传球的示意图，甲运动员从点A带球到了点B，然后将球传给了位于点C的乙运动员。尝试用有向线段分别表示冰球、甲运动员的位移，并指出它们的大小和方向（精确到1 m）。 例1：解答 甲运动员的位移 答案：甲运动员的位移用向量AB表示，大小约22 m，方向正北； 冰球的位移用向量AC表示，大小约13.5 m，方向正东。 冰球的位移 解析：有向线段的起点、终点对应运动的起点、终点；按1∶1000比例尺换算实际长度，再由箭头指向判断方向。     例2：方格纸上的向量 如图2-4所示，在坐标纸（正方形小方格的边长为1个单位）上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量。 先读格数，再求模、判方向。 例2：结果 第一组：图中的四个斜向量 四个斜向量的方向和模如下： 第二组：图中的三个轴向量 竖直方向的向量模为2、方向正北；另外两个单位向量的模均为1。 即时检查：求模与方向 一个向量向右3格、向上4格，它的模是多少？方向指向哪里？ 答案：设该向量如下式所示，则模为5，方向指向右上方。 概念辨析 对象 含义 性质 向量 大小＋方向 向量的模 向量的大小 有向线段 有确定方向的线段 零向量 模为0，方向任意 研究对象 数量 表示工具 特殊向量 课堂背诵：定义与特殊向量 1．补全向量的定义。 答案：在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量。 解析：关键词是“大小”和“方向”，两个要素缺一不可。 2．补全单位向量和零向量的规定。 答案：模为1的向量称为单位向量；模为零的向量为零向量，零向量的方向是任意的。 解析：同时抓住模的数值和零向量方向的特殊规定。 课堂背诵：几何表示 有向线段怎样表示向量？ 答案：有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。 解析：长度对应大小，箭头指向对应方向。 长度表示大小　箭头指向表示方向 师生互动：读图互检 1．完整描述图中三个指定向量的模、方向及是否为单位向量。 逐项核对：模、方向和单位向量判定如下。 2．只给出一个向量的模，能完整确定它吗？反向后仍是单位向量吗？ 不能，还缺方向；仍是单位向量，因为单位向量只要求模为1。 师生互动：大小、方向与单位向量 1．只说图2-4中向量a的模为　　　　　，能否完整确定这个向量？还缺少什么信息？ 答案：不能，还缺少方向信息；图中向量a的方向为东北。 解析：向量由大小和方向共同确定，模只表示向量的大小。 2．若把图2-4中向量i的箭头改为正西、长度仍为1个单位，改画后的向量是不是单位向量？ 答案：是单位向量。 解析：单位向量只要求模为1，方向可以不同。       课堂练习（一）：按单位长度表示力 在图2-11所示的坐标纸上用有向线段表示力（1个单位长度表示10 N）：（1）方向正北、大小为20 N的力，用向量AB表示；（2）方向正东、大小为50 N的力，用向量CD表示。 答案：（1）从A起向正北画2个单位长度到B；（2）从C起向正东画5个单位长度到D。 解析：20÷10=2，50÷10=5；长度表示力的大小，箭头方向表示力的方向。 A B C D     课堂练习（二）：按模和方向画向量 在图2-14所示的坐标纸（小方格的边长为1个单位）上画出向量OA、OB、OC，其中：，，。点A在点O的正南方向；点B在点O的西北方向；点C在点O的西南方向。 答案：从O向正南画4格得到A；向西4格、向北4格得到B；向西5格、向南5格得到C，箭头均由O指向终点。 解析：45°斜向量的模由两条相等直角边确定： ，。 A B C       课堂练习（三）：向量辨析 1．判断下列各量是否为向量：身高、加速度、面积、风速。 答案：加速度、风速是向量；身高、面积是数量。 解析：加速度和风速需要大小与方向共同确定；身高和面积只需大小。 2．判断：“单位向量的模都是1，所以所有单位向量的方向相同。” 答案：错误。 解析：单位向量只限定模为1，没有限定方向；模相同不代表方向相同。 课堂练习（四）：方格纸上求模和方向 一个向量在方格纸上向左6格、向下8格，求它的模并说明方向。 答案：模为10，方向指向左下方。 解析：模为；水平、竖直分量均指向负向，所以向量指向左下方。 左下方向 课堂小结 对象 含义 性质 向量 大小＋方向 向量的模 向量的大小 有向线段 有确定方向的线段 零向量 模为0，方向任意 研究对象 数量 表示工具 特殊向量 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $