2.1 向量及其几何表示（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦向量的概念及几何表示，通过章首应用领域介绍与海洋科考船航行情境导入，联系学生已有长度、方向知识，引出向量的大小和方向要素，为后续学习向量模、单位向量等搭建基础。 以情境问题法和直观演示法为主，结合航行情境、冰球位移例题、方格纸练习，发展数学抽象和直观想象素养，通过对比数量与向量、概念辨析培养数学思维，规范读写与作图训练数学语言表达，帮助学生建立概念联系，教师易操作且能有效突破重难点。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第二章 平面向量 2.1 向量的概念——向量及其几何表示 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材先联系学生已有的长度、方向、线段和比例尺知识，以海洋科考船航行情境说明仅有大小不能确定位置变化；继而比较数量与位移，抽象出向量的大小、方向两个要素，再依次给出向量的记法、模、单位向量、零向量、有向线段和几何表示，最后用冰球位移与方格纸例题巩固概念。 本课是第2章章首概念课，也是平面向量12学时学习的起点。向量的大小、方向、模与几何表示，是后续学习向量之间的基本关系、线性运算、内积、坐标表示以及用向量研究直线位置关系的共同基础。 学情分析 学生熟悉路程、速度、力、线段、基本方位、比例尺和勾股定理，能够从图形中读取长度与方向；但容易把有大小的量都看成向量，把向量与向量的模混同，或误认为零向量没有方向。教学中应从熟悉情境出发，反复用“大小和方向缺一不可”组织比较，并通过有向线段、比例尺和方格纸建立直观表象。 教学目标 1．结合航行、位移和力等情境，理解向量是既有大小又有方向的量，能区分数量与向量。 2．理解向量的模、单位向量、零向量和有向线段，掌握零向量方向的规定，能规范读写向量及其模。 3．能用有向线段表示向量，并能根据比例尺或方格纸求简单向量的模、判断方向，发展数学抽象、直观想象和数学运算素养。 教学重难点 教学重点：向量的概念、模、单位向量、零向量及向量的几何表示。 教学难点：区分向量、向量的模与表示向量的有向线段，准确理解零向量方向的规定。 教学方法 情境问题法、直观演示法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 章首导入：从应用领域认识平面向量 教师展示第2章章首页图片，组织学生阅读章导语。 大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就认为力可以表示成向量；大约17世纪时，英国科学家牛顿最先使用有向线段表示向量；到20世纪，向量已发展成为一种重要的数学工具，并被广泛应用于机械设计与控制、卫星定位等领域。引入向量后，几何学中的平行、平移、垂直、距离、夹角等问题都可以借助向量的运算来处理，体现了数学中的“数形结合”思想。本章主要学习平面向量的概念、线性运算、内积、坐标表示等内容，并运用所学的向量知识解决平面内两条直线位置关系的相关问题，培养和提升直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 教师展示图2-1，提出航行问题。 问题：某海洋科考船从点沿东北方向航行到达点。如果船沿其他方向航行，能不能到达点呢？ 【答案】不能。 【解析】到达点的位移既要有这一大小，还要有从指向的东北方向。航程相同而方向改变，终点会改变。 教师追问：质量、温度等量只给出数值和单位就能确定，位移为什么还必须说明方向？学生比较后初步形成“大小与方向共同确定”的认识。 用章首页与航行情境建立学习背景，从“相同航程为何不能到达同一点”自然引出大小和方向两个要素。 新知讲授 一、数量与向量 质量、温度、面积等量在给定单位后都可以用实数表示。 在给定了单位后，它们用实数就可以表示出来，这样的量称为数量。 位移、速度、力等量不仅有大小，还有方向。 在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量。 向量常用小写黑体英文字母表示，手写时在字母上方加箭头，如、。 即时检查1：下列量中，哪些是数量，哪些是向量：质量5 kg、温度20 ℃、向东的位移3 m、竖直向下的力10 N？ 【答案】质量5 kg、温度20 ℃是数量；向东的位移3 m、竖直向下的力10 N是向量。 【解析】只需大小即可确定的是数量；必须同时说明大小和方向才能确定的是向量。 即时检查2：只说“速度为”，能否完整表示一辆汽车向东行驶的速度？ 【答案】不能。 【解析】只给出了速度的大小，没有给出向东这一方向，不能完整确定速度向量。 二、向量的模、单位向量和零向量 向量的大小也称为向量的模，记为。模为1的向量称为单位向量。 规定：模为零的向量为零向量，记作或。零向量的方向是任意的。 即时检查3：已知向量的模为1，向量的模为3，哪个是单位向量？ 【答案】向量是单位向量。 【解析】单位向量的判定标准是模等于1，与具体方向无关。 即时检查4：判断：“零向量没有方向”是否正确。 【答案】不正确。 【解析】教材规定零向量的方向是任意的，不能表述为没有方向。 三、有向线段与向量的几何表示 一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段。 以点为起点、点为终点的有向线段记作。起点写在前，终点写在后。 一般地，人们常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。这也是向量的几何表示。 即时检查5：用1 cm表示5 N，画一个方向水平向右、大小为15 N的力向量，有向线段应画多长？箭头指向哪里？ 【答案】有向线段长，箭头水平向右。 【解析】，长度表示大小；箭头指向表示方向。 例1　冰球位移 2022年2月，我国成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，并取得历史最好成绩。冰球是最受关注的项目之一。图2-3(1)是按比例尺绘制的甲运动员带球、传球的示意图，甲运动员从点带球到了点，然后将球传给了位于点的乙运动员。尝试用有向线段分别表示冰球、甲运动员的位移，并指出它们的大小和方向（精确到）。 解：用表示甲运动员的位移，，方向是正北。 用表示冰球的位移，，方向是正东。 【答案】甲运动员的位移用表示，大小约，方向正北；冰球的位移用表示，大小约，方向正东。 【解析】有向线段的起点、终点对应运动的起点、终点；按比例尺换算实际长度，再由箭头指向判断方向。 例2　方格纸上的向量 如图2-4所示，在坐标纸（正方形小方格的边长为1个单位）上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量。 【答案】，东北方向；，东北方向。 ，西南方向；，东北方向。 ，正北方向；，正东方向；，正北方向。单位向量为、。 【解析】横向、纵向格数构成直角三角形时用勾股定理求模；箭头指向确定方向；模等于1的向量是单位向量。 即时检查6：在方格纸上，一个向量向右3格、向上4格，它的模是多少，方向大致指向哪里？ 【答案】模为5，方向指向右上方。 【解析】由勾股定理得模为；两个分量均为正，所以指向右上方。 概念辨析：说出“向量”“向量的模”“表示向量的有向线段”三者的区别。 【答案】向量是既有大小又有方向的量；向量的模是向量的大小，是数量；有向线段是向量的一种几何表示。 【解析】向量是研究对象，模是它的大小，有向线段是表示工具，三者不能混同。 按“概念—特殊向量—几何表示—教材例题”逐层展开，通过比较、图示和计算建立稳定的概念联系。 课堂背诵 合上教材，完成核心表述检查。 1．补全向量的定义。 【答案】在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量。 【解析】关键词是“大小”和“方向”，两个要素缺一不可。 2．补全单位向量和零向量的规定。 【答案】模为1的向量称为单位向量；模为零的向量为零向量，零向量的方向是任意的。 【解析】同时抓住模的数值和零向量方向的特殊规定。 3．有向线段怎样表示向量？ 【答案】有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。 【解析】长度对应大小，箭头指向对应方向。 用三组短句复述检查定义、特殊向量和几何表示，帮助学生准确保留教材核心表述。 师生互动 读图描述与同桌互检 教师再次出示图2-4，先请学生独立完成第1题，再与同桌逐项核对模、方向和单位向量判断；第2、3题由学生口头作答，教师根据回答追问理由。 1．观察图2-4，分别用“模、方向、是否为单位向量”完整描述向量、、。 【答案】向量的模为，方向为东北，不是单位向量；向量的模为，方向为西南，不是单位向量；向量的模为1，方向为正东，是单位向量。 【解析】先由横向、纵向格数求模，再按箭头指向判断方向，最后用模是否等于1判断单位向量。 2．只说图2-4中向量的模为，能否完整确定这个向量？还缺少什么信息？ 【答案】不能，还缺少方向信息；图中向量的方向为东北。 【解析】向量由大小和方向共同确定，模只表示向量的大小。 3．若把图2-4中向量的箭头改为正西、长度仍为1个单位，改画后的向量是不是单位向量？ 【答案】是单位向量。 【解析】单位向量只要求模为1，方向可以不同。 教师归纳：描述一个向量必须同时说明大小和方向；判断单位向量只看模是否为1。同桌互检时要逐项核对，不能只核对计算结果。 借教材图组织独立描述和同桌互检，在口头追问中诊断学生是否遗漏方向或混淆单位向量判据。 课堂练习 完成下列5题，写出必要的判断或作图依据。 1．在图2-11所示的坐标纸上用有向线段表示力（1个单位长度表示10 N）：（1）方向正北、大小为20 N的力，用向量表示；（2）方向正东、大小为50 N的力，用向量表示。 【答案】（1）从起向正北画个单位长度到；（2）从起向正东画个单位长度到。 【解析】，；长度表示力的大小，箭头方向表示力的方向。 2．在图2-14所示的坐标纸（小方格的边长为个单位）上画出、、，其中：，点在点的正南方向；，点在点的西北方向；，点在点的西南方向。 【答案】从向正南画4格得到；向西4格、向北4格得到；向西5格、向南5格得到，箭头均由指向终点。 【解析】45°斜向量的模由两条相等直角边确定：，。 3．判断下列各量是否为向量：身高、加速度、面积、风速。 【答案】加速度、风速是向量；身高、面积是数量。 【解析】加速度和风速需要大小与方向共同确定；身高和面积只需大小。 4．判断：“单位向量的模都是1，所以所有单位向量的方向相同。” 【答案】错误。 【解析】单位向量只限定模为1，没有限定方向；模相同不代表方向相同。 5．一个向量在方格纸上向左6格、向下8格，求它的模并说明方向。 【答案】模为10，方向指向左下方。 【解析】模为；水平、竖直分量均指向负向，所以向量指向左下方。 练习覆盖作图、求模、分类和判断，由教材题过渡到独立应用，集中反馈概念理解与几何表示能力。 课堂小结 学生用“研究对象、两个要素、几何表示”概括本课知识。 【答案】研究对象是向量；两个要素是大小和方向；几何表示常用有向线段，长度表示大小，箭头指向表示方向。 【解析】三个关键词把向量定义、模与有向线段连接成完整知识链。 教师补充：向量的模是数量；模为1的是单位向量；零向量的模为0、方向任意。解决向量问题要同时关注大小和方向。 以关键词串联定义、模和有向线段，回应导入问题，形成便于回忆和后续学习的知识框架。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本节课以科考船航行情境引出向量，借助有向线段和方格纸把大小、方向与几何表示对应起来。课堂中需重点观察学生是否混淆向量与模，是否把零向量说成“没有方向”。后续可依据即时检查放慢符号读写，增加口头描述、同桌互检和黑板作图，并调整例2与练习的交流节奏，使概念理解和规范表达同步落实。 学科网（北京）股份有限公司 $